О проблеме присуждения премии тысячелетия по уравнению Навье-Стокса | OpenAI

Прочитайте статью «Ссылка на формализованное доказательство Lean».

• Проблема
• Результат
• Как мы нашли доказательства
• Параллельная работа
• Прогресс и ответственность

• Проблема
• Результат
• Как мы нашли доказательства
• Параллельная работа
• Прогресс и ответственность

Мы делимся решением проблемы существования и гладкости уравнений Навье-Стокса, одной из задач, удостоенных Премии тысячелетия. Это доказательство, полученное с помощью внутренней системы OpenAI, показывает, что динамика уравнений Навье-Стокса для движения жидкости может развить сингулярность за конечное время. Мы публикуем как текст доказательства, так и его формализацию в Lean.

Проблемы, отмеченные Премией тысячелетия ( открывается в новом окне), представляют собой одни из самых глубоких вопросов на переднем крае математики. Вопрос о том, может ли плавное трехмерное движение жидкости нарушаться, остается нерешенным уже около 90 лет.

Одна из главных целей нашей работы — дать учёным возможность продвигать исследования и технологии, приносящие пользу всему человечеству. Для решения задачи Навье-Стокса мы использовали внутреннюю модель, которая значительно превосходит GPT-6 Astra. Мы считаем важным информировать мир о темпах прогресса в области искусственного интеллекта и о том, чего следует ожидать от будущих моделей.

Проблема

Уравнения Навье-Стокса используют второй закон движения Ньютона («F=ma») для описания движения жидкостей. Важно отметить, что они рассматривают жидкость как непрерывную среду, а не отслеживают отдельные молекулы. Эти уравнения используются в проектировании летательных аппаратов, прогнозировании погоды и изучении кровотока.

Фундаментальным открытым вопросом для этих динамических уравнений является вопрос о том, может ли континуальное приближение жидкости оказаться несостоятельным. В частности, могут ли уравнения Навье-Стокса для трехмерной несжимаемой жидкости с постоянной плотностью развить «сингулярность», даже если движение начинается плавно? Здесь сингулярность означает, что динамика приводит к неограниченному росту скоростей жидкости за конечный промежуток времени. Развитие сингулярности должно происходить, несмотря на наличие вязкости, которая стремится сгладить движение. Поскольку реальная жидкость не может двигаться бесконечно быстро, это будет означать нарушение того, как уравнения моделируют жидкость. Для продолжения моделирования системы потребуется отслеживать поведение каждой частицы в отдельности.

Уравнения восходят к работам Клода-Луи Навье и Джорджа Габриэля Стоукса XIX века. В 1934 году Жан Лерай доказал существование решений в обобщенном смысле, но вопрос о том, всегда ли они остаются гладкими, остался центральным и нерешенным. В 2000 году Институт математики Клэя назвал проблему существования и гладкости уравнений Навье-Стокса одной из семи проблем тысячелетия.

Результат

Наша система позволила получить аналитическое доказательство и формализацию в рамках концепции Lean, согласно которой изначально гладкая жидкость в состоянии покоя может развить сингулярность за конечное время. К жидкости приложена гладкая сила, и её энергия остаётся конечной на протяжении всей динамики, от состояния покоя до образования сингулярности. Это решает проблему присуждения премии тысячелетия Навье-Стокса, устанавливая утверждение «C» (а также «D») в официальной формулировке премии тысячелетия (открывается в новом окне) .

Решением является вихрь, вращающийся поток жидкости, который спирально закручивается внутрь и становится все более вытянутым, подобно спагетти. Эта центральная область сжимается, одновременно ускоряясь, таким образом, что ее энергия остается конечной, как того требуют законы физики. Техническая сложность заключается в том, чтобы уравнения объясняли это явление движением самой жидкости, а не, например, путем приложения бесконечной силы вручную. В более математическом плане, члены уравнений Навье-Стокса, описывающие движение — ускорение, градиенты давления, передача импульса, вязкость — должны одновременно становиться большими и точно компенсировать друг друга . Это детальное равновесие обеспечивает плавное взаимодействие внешних сил даже при неограниченном росте скорости жидкости.

Как мы нашли доказательства

С 28 августа мы обучаем новую внутреннюю модель, которая продемонстрировала беспрецедентные результаты в наших тестах, включая математические вычисления. Обучение этой модели продолжается, и ее производительность продолжает улучшаться.

Во вторник, 1 сентября, до нас дошли слухи о решении двух задач, финансируемых в рамках Премии тысячелетия. Вдохновленные этими слухами и резким улучшением результатов работы нашей внутренней модели, мы начали работу по ее оценке на всех открытых задачах Премии тысячелетия, а также на нескольких других важных задачах.

Мы использовали систему координирующих агентов, работающую на основе нашей внутренней модели. Агенты имели доступ к таким инструментам, как возможность чтения из кэшированной версии интернета и возможность запуска кода. Агенты были разделены на группы, способные обмениваться информацией внутри группы. Размер групп варьировался, и группа, которая вывела решение уравнений Навье-Стокса, включала порядка 10 000 одновременно работающих агентов. На протяжении всего процесса мы поддерживали те же строгие меры безопасности, которые применяем ко всем нашим оценкам моделей граничных условий, включая мониторинг и изоляцию.

Для каждой задачи мы предлагали различным группам агентов разные варианты формулировки задачи, охватывающие все варианты задачи. Для задачи Навье-Стокса мы предлагали версии «А» и «В» (частные формы задачи Навье-Стокса, которые привели бы к доказательству) и версии «С» и «D» (которые привели бы к опровержению) отдельным группам агентов.

В дополнение к задачам, включенным в программу «Премия тысячелетия», мы попросили нашу многоагентную систему решить ряд «более простых» задач. Одна из таких задач представляла собой аналогичную задачу о взрывном увеличении для предела уравнения Навье-Стокса без учета вязкости. Эта задача известна как задача о регулярности уравнений Эйлера, и наши агенты удивили нас, решив её. Конкретный вариант задачи, который они решили, был вариантом без внешнего воздействия на жидкость. Почти 100 агентов работали вместе около 50 часов, чтобы представить наше опровержение задачи о регулярности уравнений Эйлера.

Увидев решение Эйлера, мы решили, что уравнения Навье-Стокса — наиболее перспективная задача для работы. Поэтому мы решили направить наши ресурсы на решение уравнений Навье-Стокса. Для этого мы перенаправили агентов с других задач тысячелетия на выполнение решения Эйлера. Когда в ходе работы появилась более совершенная версия нашей внутренней модели, мы обновили наших агентов до этой модели.

Мы предложили различным группам агентов изучить разнообразные подходы. Через некоторое время мы провели перекрестное исследование групп агентов, используя Codex для обобщения наиболее полезных результатов, полученных каждой группой. Эти последующие задания основывались на промежуточных результатах самих агентов. Группа, которая нашла решение уравнений Навье-Стокса, была направлена именно таким образом.

Агенты пришли к своему решению в субботу, 5 сентября, примерно через 88 часов после запуска первых агентов. Формализация и проверка в рамках концепции «бережливого производства» заняли еще 17 часов с помощью GPT-6 Astra.

В ходе решения всех поставленных задач агенты отправили 4,9 миллиона сообщений и использовали около 300 миллиардов выходных токенов. В процессе решения задачи Навье-Стокса агенты отправили 2,7 миллиона сообщений и использовали приблизительно 130 миллиардов выходных токенов.

Параллельная работа

Наша работа началась 1 сентября после того, как мы услышали слух, который, как мы позже поняли, был связан с Левентом Альпёге, сотрудником компании Anthropic, и Тристаном Бакмастером, профессором математики в Нью-Йоркском университете. После завершения нашего проекта и проверки с помощью Lean (6 сентября), полагая, исходя из слуха, что у них также есть решение уравнений Навье-Стокса, мы связались с ними, чтобы предложить одновременную публикацию нашего результата и отметить их приоритет в совместном объявлении. В этот момент мы узнали, что у них есть решение задачи принудительного Эйлера. В ходе этих обсуждений мы предложили им ознакомиться со всеми использованными нами подсказками, а позже и с доказательством. Мы признаем приоритетность их работы над задачей принудительного Эйлера и поздравляем их с этим замечательным математическим достижением.

Мы (исследователи и агенты) не видели результатов их работы ни в каком виде до тех пор, пока они не опубликовали её публично — в частности, для решения этой проблемы не использовались никакие конкретные данные пользователей. Хотя это маловероятно, мы не можем исключить, что обезличенные данные, полученные в результате использования ими наших продуктов, помогли улучшить наши модели . Однако наши доказательства значительно различаются, и даже точные результаты, доказанные в случае Эйлера (с принудительным и непринудительным условием), отличаются.

Прогресс и ответственность

Наша цель при публикации этих результатов — сообщить о существенном прогрессе наших моделей искусственного интеллекта. Мы не претендуем на Премию тысячелетия за этот результат.

Этот рубеж представляет собой значительную работу математиков и исследователей в области искусственного интеллекта. Однако это не кульминация, а скорее моментальный снимок прогресса в разработке ИИ.

Мы считаем, что сейчас находимся на следующем этапе прогресса в области ИИ , и сегодняшние результаты являются тому подтверждением. Мы сосредоточены на понимании этой модели и использовании полученных знаний для определения направления и темпов дальнейшего развития возможностей. Одна из наших ключевых целей — создание управляемых, подотчетных и связанных с людьми систем ИИ, что может потребовать более взвешенного выбора темпов прогресса, поскольку мы продолжаем нашу миссию по обеспечению того, чтобы общий искусственный интеллект приносил пользу всему человечеству.

Источник: openai.com