Три интересные логические задачи

Доброго дня, всем любителям математики! Представляю вашему вниманию еще три интересные, на мой взгляд, логические задачи. Первая часть находится здесь. Спасибо всем, кто участвовал в обсуждениях и находил неточности! Итак,

Путник взбирается на высокую гору по тропе как по серпантину. На это ему необходим весь день с утра до вечера, с учетом времени на отдых и перекусы. На вершине горы находится жилище. Путник, добравшись до него, проводит в нем ночь и на следующий день с утра отправляется в обратный путь. Он также шел до вечера. Вопрос – есть ли на этом пути точка, в которой путник находился в одно и то же время дня когда поднимался и когда спускался обратно?

Наложим график функции зависимости координаты путника от времени дня в первый и второй день. Эти графики пересекутся в искомой точке.

Трем приятелям нужно разделить ножом кусок масла на троих таким образом, чтобы каждый из приятелей посчитал, что получил как минимум одну треть от общего количества. Как им следует поступить?

Рассмотрим случай, когда приятелей двое. Тогда любой из них делит масло на две части таким образом, чтобы для него самого эти части казались равнозначными. Затем второй приятель забирает кусок, который на его взгляд не меньше одной второй. Задача решена.

При добавлении третьего приятеля начинаем решать задачу с того момента, когда была решена предыдущая. Каждый приятель делит свой кусок масла на три части так, чтобы, как и в предыдущем случае, для него эти части казались равнозначными. Затем третий приятель берет у каждого по одному наиболее понравившемуся кусочку. Таким образом, с его точки зрения, он получит как минимум одну треть с каждой половинки. А это как минимум одна треть от целого. Действительно, сложим одну треть от первой половины и одну треть от второй, вынесем за скобки одну треть и в скобках получим сумму половинок, то есть целое.

100 преступников отбывают наказание в тюрьме с пожизненным сроком, каждый в отдельной камере. Однажды от начальства тюрьмы каждому из них поступило предложение – всех их освободят, если они смогут выполнить следующее задание.

В пустующей камере есть лампочка с выключателем, свет выключен. В случайный день в нее будут запускать случайного заключенного, и он сможет либо включить, либо выключить лампочку, либо вообще не трогать выключатель. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока один из заключенных не скажет, что точно знает, что все заключенные побывали в этой камере хотя бы один раз (а это однажды обязательно произойдет, притом за этот период некоторые заключенные могут побывать в камере не один раз). Заключенным разрешено встретиться и придумать стратегию, но только один раз до начала испытания. Как им следует поступить? Для удобства примем, что заключенные и надзиратели бессмертны.

Заключенным нужно выбрать того, кто будет заходить в камеру и выключать свет каждый раз, когда он будет гореть, а всем остальным — включать свет, если он не горит при первом или очередном посещении камеры и не трогать его при последующих. Тогда тот заключенный, который выключает свет, сможет точно определить, что все остальные посетили камеру, когда выключит свет девяносто девять раз.

Источник: habr.com