Три математические задачи, ответы на которые «обескураживают»

Хочу привести три задачи, которые в свое время произвели на меня сильное впечатление, так как ответы на них, казалось, противоречили здравому смыслу.

Мы положили один кирпич на другой и сдвинули верхний вдоль длинной стороны на максимальное расстояние таким образом, чтобы он не упал (то есть чтобы центр тяжести верхнего кирпича не вышел за границы опоры). Затем мы взяли эти два кирпича (в таком же положении) и положили на третий, сдвинув максимально в ту же сторону, но так, чтобы конструкция оставалась в равновесии. Продолжая данный процесс, на какое максимальное расстояние мы сможем сдвинуть верхний кирпич относительно нижнего так, чтобы конструкция продолжала оставаться в равновесии?

Для удобства примем, что сила тяжести равномерно распределена по бесконечной плоской опоре, а прочность кирпичей не ограничивает высоту конструкции.

Если один кирпич положить на другой, то максимальное расстояние, на которое можно выдвинуть верхний кирпич вдоль длинной стороны будет достигнуто, когда центр тяжести верхнего кирпича (его середина) совпадет с боковой гранью нижнего. Когда дело касается двух кирпичей, то максимальный сдвиг будет достигнут, когда их общий центр тяжести совпадет с боковой гранью нижнего. И так далее.

Если суммировать длины выступающих участков кирпичей, то мы получим следующий ряд:

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …

Это гармонический ряд, каждый член которого поделен на 2. А мы знаем, что гармонический ряд расходится. Следовательно, сдвиг верхнего кирпича относительно нижнего может быть сколь угодно большим.

Представьте, что мы опоясали земной шар верёвкой по экватору. Для чистоты эксперимента будем рассматривать Землю как идеальный шар с длиной экватора 40 000 км без перепадов рельефа.

Затем в одном из участков мы оборвали веревку, добавили 10 метров и равномерно приподняли ее над поверхностью. Вопрос – на какую высоту поднимется веревка над поверхностью Земли?

Формула длины окружности:

L = 2πR

Отсюда радиус Земли R1 составит:

R1 = L1/2π = 40000000/(2*3,14) = 6369426,75 м

Радиус окружности R2, образованной веревкой:

R2 = L2/2π = 40000010/(2*3,14) = 6369428,35 м

Таким образом прирост радиуса (и, соответственно, высота поднятия веревки) составит:

6369428,35 – 6369426,75 = 1,6 м

Покажем, что высота подъема веревки не зависит от изначальной длины окружности:

L1 = 2πR1

L2 = L1 + 10

L1 + 10 = 2πR2

L1 = 2πR2 – 10

2πR2 – 10 = 2πR1

R2 – R1 = 10/2π

Имеется резиновая веревка длиной 1 км, которая может бесконечно растягиваться. Один конец веревки прикреплен к стене, веревка натянута. На конце, прикрепленном к стене, сидит муравей.

Каждую секунду муравей проползает по веревке 1 см. Однако, после этого веревку равномерно растягивают, увеличивая ее длину на 1 км. Этот процесс повторяется.

Сможет ли муравей когда-нибудь доползти до другого конца веревки?

Так как по условию задачи мы имеем дело с равномерно растягивающейся веревкой, муравей перемещается не только когда сам ползет, но и когда растягивается веревка. Несмотря на то, что веревка растягивается значительно быстрее перемещения муравья, увеличение расстояния между вторым концом веревки и муравьем происходит с отрицательным ускорением. И рано или поздно оно начнет уменьшаться. На это потребуется время, значительно превышающее возраст Вселенной, но оно не бесконечно.

Источник: habr.com