Теорема Фробениуса

Эта заметка является продолжением статьи: url{https://habr.com/ru/articles/1044230/} <<Выпрямление векторных полей и коммутирование потоков>>

Возьмем гладкую функцию трех переменных (предположим для простоты, что её градиент нигде не обращается в ноль). Рассмотрим её поверхности уровня: begin{equation*} f(x, y, z) = C end{equation*}

При различных значениях константы мы получаем набор непересекающихся двумерных поверхностей. Пространство расслаивается на них, как слои в луковице. Если теперь в каждой точке пространства взять касательную плоскость к проходящей через неё поверхности уровня, мы получим поле двумерных плоскостей.

По построению это распределение интегрируемо, а поверхности уровня являются его интегральными поверхностями.

Обратно, допустим, кто-то задал нам совершенно произвольное гладкое поле двумерных плоскостей в и попросил найти для них интегральные поверхности.

Поле двумерных плоскостей можно задать двумя линейно независимыми в каждой точке векторными полями и . Тогда через каждую точку пространства проходит плоскость, содержащая векторы и .

Всегда ли мы сможем найти такую функцию , поверхности уровня которой будут везде касаться наших плоскостей?

Интуиция может подсказывать, что это всегда возможно, но это не так.

Ответ на вопрос дает теорема Фробениуса.

>>

Источник: habr.com