Теорема Фробениуса
Эта заметка является продолжением статьи: url{https://habr.com/ru/articles/1044230/} <<Выпрямление векторных полей и коммутирование потоков>>
Возьмем гладкую функцию трех переменных 
(предположим для простоты, что её градиент нигде не обращается в ноль). Рассмотрим её поверхности уровня: begin{equation*} f(x, y, z) = C end{equation*}
При различных значениях константы 
мы получаем набор непересекающихся двумерных поверхностей. Пространство расслаивается на них, как слои в луковице. Если теперь в каждой точке пространства взять касательную плоскость к проходящей через неё поверхности уровня, мы получим поле двумерных плоскостей.
По построению это распределение интегрируемо, а поверхности уровня 
являются его интегральными поверхностями.
Обратно, допустим, кто-то задал нам совершенно произвольное гладкое поле двумерных плоскостей в 
и попросил найти для них интегральные поверхности.
Поле двумерных плоскостей можно задать двумя линейно независимыми в каждой точке 
векторными полями 
и 
. Тогда через каждую точку 
пространства проходит плоскость, содержащая векторы 
и 
.
Всегда ли мы сможем найти такую функцию 
, поверхности уровня которой будут везде касаться наших плоскостей?
Интуиция может подсказывать, что это всегда возможно, но это не так.
Ответ на вопрос дает теорема Фробениуса.
>>
Источник: habr.com
Оцените материал:
