Вывод ОТО в геометрической алгебре

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в пространстве Минковского. Получилось гораздо проще все и короче, чем у Ландау, где куда более сложный вывод растянулся на множество параграфов и делался через принцип наименьшего действия.

Но еще большее упрощение получается, если выводить общую теорию относительности.

Новое геометрическое уравнение ОТО сразу включает в себя не только уравнения Эйнштейна, но также еще и сразу второе тождество Бьянки, часто используемое в ОТО. Вот это новое уравнение, которое описывает всю общую теории относительности:

1. Основная идея.

Вся общая теория относительности выводится из одной идеи — вместо написания бивекторных уравнений поля в плоском пространстве-времени, самое простейшее из которых давало уравнения Максвелла, напишем простейшее бивекторное уравнение из всех возможных, определяющее саму геометрию.

Вместо того чтобы начинать с метрического тензора , используем реперное поле, которое уже было введено в прошлой статье

Это четыре линейно независимых базисных вектора в каждой точке. Их скалярное произведение определяет метрику:

Таким образом:

• гравитация изменение реперов от точки к точке,

• геометрия становится физическим полем.

Задача теперь заключается в том, чтобы написать самое простое уравнение, которое только возможно, которое описывает динамику этого поля.

2. Самое простое уравнение на кривизну.

Так как зависят от координат, возникает необходимость учитывать вращение локального репера. Вводится ковариантная производная:

где:
бивектор связности (гравитационный калибровочный потенциал)
коммутатор, генерирующий вращения Лоренца:

Такая добавка к обычному градиенту удовлетворяет двум требованиям

• она простейшая бивекторная

• она локально сохраняет инвариантность Лоренца

Физический смысл этой добавки в том, что при переходе от одной точке к другой набор базисных векторов в пространстве-времени непрерывно поворачивается. Бивектор связности определяет мгновенную скорость этого поворота в точке, только и всего. Он устроен не сложнее, чем обычная угловая скорость в механике, это то же самое.

Некоммутативность ковариантных производных определяет кривизну:

Развернем определение:

Это — бивекторная форма тензора Римана. Он полностью описывает кривизну пространства-времени, которая задана простейшим бивектором кривизны.

3. Один единственный шаг для получения ОТО.

Теперь, чтобы получить общую теорию относительности, нужно сделать абсолютно то же самое, что мы делали, получая уравнения Максвелла. Нужно продифференцировать тензор Римана один раз и приравнять чему-нибудь.

Правая часть тут оказывается мультивектором энергии-импульса.

Левая часть здесь внутреннее произведение. Геометрическое произведение даст также второе уравнение, тут всё аналогично уравнениям Максвелла: внутреннее произведение дает динамические уравнения, внешнее произведение дает геометрические.

Это уравнение — полностью эквивалентно уравнению Эйнштейна в ОТО.

Таким образом, получился удивительно простой и элегантный вывод ОТО:

1. Ввели метрику.

2. Ввели учет искривления метрики в простейшей бивекторной форме.

3. Взяли ротор от производной — получили бивектор Римана, определяющий кривизну.

4. Написали производную бивектора Римана, получили уравнения ОТО.

Затем при желании то, что написано выше, можно расписать в координатах — это очень громоздко получается, но совершенно тривиально.

4. Дополнение. Связь с обозначениями Эйнштейна.

В чуть более привычном виде получается, если развернуть

Теорема, которая позволяет это развернуть, называется второе тождество Бьянки.

В геометрической алгебре оно является уравнением, полностью аналогичным геометрическим соотношениям в уравнениях Максвелла в прошлой статье:

Это уравнение означает, что внешняя ковариантная производная от бивектора кривизны тождественно равна нулю. Геометрически это выражает тот факт, что «граница границы равна нулю» и является фундаментальным свойством любой кривизны.

Вывод этот проделан далее в работе Хестенеса через введение вектора Риччи.

https://www.researchgate.net/publication/226117395_Gauge_Theory_Gravity_with_Geometric_Calculus

Сам вывод ОТО там проделан гораздо сложнее, чем в моей статье, потому что Хестенес в первую очередь озабочен там постепенным введением всех понятий из ОТО через геометрическую алгебру, а я сразу же вывел уравнение Эйнштейна напрямую, минуя весь этот путь, так как в новом матаппарате это всё становится совершенно не нужно. Стандартные тензорные обозначения, идущие от Эйнштейна и дифференциальной геометрии, оказываются просто слишком громоздким и неуклюжим способом выразить то, что выражено выше в статье в куда более простой форме.

Для примера покажу таблицу с формулами оттуда, которая показывает полное соответствие понятий геометрической алгебры и ОТО

Curvature

Curvature Contractions and Coderivative Identities

Bianchi Identity and its Contractions

При желании, конечно, можно весь курс по ОТО точно также переписать через ГА. Но, видимо, это не имеет никакого смысла — любые задачи по ОТО гораздо проще решать через алгебру Клиффорда напрямую, чем с использованием тензорного анализа и дифференциальной геометрии.

Источник: habr.com