Сложные узлы на самом деле легче развязывать, чем простые.

Математики решили давнюю проблему в теории узлов, обнаружив, что связывание двух узлов может фактически привести к образованию узла, который легче развязать, — в противоположность тому, что ожидалось.

Почему распутать два маленьких узла сложнее, чем один большой? Удивительно, но математики обнаружили, что более крупные и, казалось бы, более сложные узлы, созданные путём соединения двух более простых, иногда легче распутать, опровергая гипотезу, выдвинутую почти 90 лет назад.

«Мы искали контрпример, не особо рассчитывая на его нахождение, поскольку эта гипотеза существовала уже очень давно», — говорит Марк Бриттенхэм из Университета Небраски в Линкольне. «В глубине души мы считали, что эта гипотеза, скорее всего, верна. Это было очень неожиданно и очень удивительно».

Математики, такие как Бриттенхэм, изучают узлы, рассматривая их как запутанные петли с соединёнными концами. Одна из важнейших концепций теории узлов заключается в том, что у каждого узла есть число раз развязывания, которое представляет собой число раз, которое вам придётся разрезать нить, продеть через образовавшийся разрыв другой конец петли и затем снова соединить концы, прежде чем получится круг без каких-либо пересечений, известный как «развязывание узла».

Вычисление числа развязывания узлов может быть очень трудоёмкой задачей, и всё ещё существуют узлы с числом пересечений всего 10, которые не имеют решения. Поэтому для анализа узлов бывает полезно разбить их на два или более простых узла. Те из них, которые невозможно разбить дальше, называются простыми узлами, по аналогии с простыми числами.

Но давняя загадка заключается в том, даст ли сумма чисел развязывания двух узлов число развязываний большего узла. Интуитивно казалось, что развязать составной узел будет по меньшей мере так же сложно, как и сумму его составляющих, и в 1937 году было высказано предположение, что развязать составной узел проще простого.

Теперь Бриттенхэм и Сьюзен Хермиллер, также из Университета Небраски в Линкольне, показали, что существуют случаи, когда это неверно. «Эта гипотеза существует уже 88 лет, и по мере того, как люди продолжают не находить в ней никаких ошибок, у них появляется всё больше надежды на её истинность», — говорит Хермиллер. «Сначала мы нашли один, а затем быстро нашли бесконечное множество пар узлов, для которых сумма узлов, связанных между собой, имела число развязываний, строго меньшее суммы чисел развязываний двух частей».

«Мы показали, что понимаем распутывание чисел гораздо хуже, чем предполагалось», — говорит Бриттенхэм. «Возможно, существуют — даже для узлов, не являющихся связными суммами, — более эффективные способы их распутывания, чем мы когда-либо предполагали. Мы надеемся, что это действительно открыло исследователям новые возможности для дальнейших исследований».

В то время как поиск и проверка контрпримеров требовали объединения имеющихся знаний, интуиции и вычислительной мощности, заключительный этап проверки доказательства был выполнен значительно более простым и практичным способом: узел был завязан на куске веревки и физически распутан, чтобы показать, что предсказанное исследователями число развязываний было верным.

Андраш Юхаш из Оксфордского университета, который ранее сотрудничал с компанией DeepMind, занимающейся разработкой искусственного интеллекта, над доказательством другой гипотезы в теории узлов, говорит, что он и компания безуспешно пытались решить эту последнюю проблему с аддитивными множествами таким же образом, но безуспешно.

«Мы потратили как минимум год или два на поиски контрпримера, но безуспешно, поэтому мы сдались», — говорит Юхас. «Возможно, для поиска контрпримеров, которые подобны иголке в стоге сена, ИИ — не лучший инструмент. Думаю, этот контрпример было сложно найти, потому что мы очень усердно искали».

Несмотря на множество практических приложений теории узлов, от криптографии до молекулярной биологии, Николас Джексон из Уорикского университета (Великобритания) не спешит утверждать, что этот новый результат может быть использован с пользой. «Полагаю, теперь мы понимаем, как работают окружности в трёх измерениях, немного лучше, чем раньше», — говорит он. «То, что мы не так хорошо понимали пару месяцев назад, теперь понято немного лучше».

arXiv DOI: 10.48550/arXiv.2506.24088

Реклама

Подпишитесь на нашу еженедельную рассылку

Получайте еженедельную порцию открытий на свой почтовый ящик! Мы также будем держать вас в курсе событий и специальных предложений журнала New Scientist.

Зарегистрироваться

Источник: www.newscientist.com