В 2025 году математики посвятили себя исследованию пределов возможностей математики.

Где-то на грани математики таится число настолько великое, что оно разрушает сами основы нашего понимания — и в 2025 году мы приблизились на шаг к его обнаружению.

В 2025 году границы математики стали выглядеть несколько четче, когда участники онлайн-сообщества Busy Beaver Challenge приблизились к огромному числу, которое грозит противоречить логическим основам этой науки.

Это число — следующее в последовательности «Занятой Бобёр», серии всё возрастающих чисел, которая вытекает из, казалось бы, простого вопроса: как узнать, будет ли компьютерная программа работать вечно?

Чтобы это выяснить, исследователи обращаются к работам математика Алана Тьюринга, который показал, что любой компьютерный алгоритм можно имитировать, представив себе упрощенное устройство, называемое машиной Тьюринга. Более сложные алгоритмы соответствуют машинам Тьюринга с большим набором инструкций или, говоря математическим языком, с большим количеством состояний.

Каждое число Busy Beaver BB(n) соответствует максимально возможному времени выполнения для машины Тьюринга с n состояниями. Например, BB(1) равно 1, а BB(2) равно 6, поэтому увеличение сложности алгоритма вдвое увеличивает время его выполнения в шесть раз. Но темп этого увеличения оказывается чрезвычайно высоким, например, пятое число Busy Beaver равно 47 176 870.

Участники конкурса Busy Beaver Challenge в 2024 году точно определили значение BB(5), что положило конец 40-летней работе по изучению всех машин Тьюринга с пятью состояниями. Поэтому, естественно, 2025 год ознаменовался коллективной погоней за BB(6).

В июле член, известный как mxdys, обнаружил нижний предел своего размера, и это число оказалось не только намного больше, чем BB(5), но и поистине огромным даже по сравнению с числом частиц в нашей Вселенной.

Записать все его цифры физически невозможно, поэтому математики используют вместо этого обозначение, называемое тетрацией. Это эквивалентно многократному возведению числа в более высокую степень, например, 2, возведенное в тетрацию до 2, равно 2, возведенному в степень 2, возведенному в степень 2, что равно 16. BB(6) — это как минимум 2, возведенное в тетрацию до 2, возведенное в тетрацию до 2, возведенное в тетрацию до 9, гигантская башня итерированных тетраций.

Определение BB(6) будет не просто вопросом установления рекордов, но и может иметь глубокие последствия для всей математики. Это связано с тем, что Тьюринг доказал, что должны существовать машины Тьюринга, поведение которых нельзя предсказать в рамках набора аксиом, называемых теорией ZFC, которая составляет основу всей стандартной современной математики.

Исследователи уже доказали, что BB(643) ускользает от теории ZFC, но может ли это произойти для меньших чисел — это открытый вопрос, на который, возможно, поможет ответить проект Busy Beaver Challenge.

В июле насчитывалось 2728 машин Тьюринга с шестью состояниями, но чье поведение при остановке еще не было проверено. К октябрю это число сократилось до 1618. «В настоящее время сообщество очень активно», — говорит специалист по информатике Тристан Стерин, который запустил конкурс Busy Beaver Challenge в 2022 году.

Одна из оставшихся машин может содержать ключ к точному значению BB(6). Другая может оказаться непознаваемой, что обнажит границы структуры ZFC и большей части современной математики. В течение следующего года энтузиасты математики по всему миру, безусловно, будут усердно работать, пытаясь понять их все.

Источник: www.newscientist.com