[Перевод] Что на самом деле означают теоремы Гёделя о неполноте?

В 1931 году, обратив логику против самой себя, Курт Гёдель доказал пару теорем, которые изменили представление о знании и истине. Эти «теоремы о неполноте» установили, что ни одна формальная система математики — ни одно конечное множество правил или аксиом, из которых, как предполагается, вытекает всё остальное, — не может быть полной. Всегда будут существовать истинные математические утверждения, которые логически не вытекают из этих аксиом.

Первые недели пандемии Covid я провела, изучая, как 25-летний австрийский логик и математик сумел этого добиться, а затем написала краткое изложение его доказательства объёмом менее 2000 слов.

Но даже после того, как я разобралась в этапах доказательства Гёделя, я не была уверена, как именно следует трактовать его теоремы, которые обычно понимаются как исключающие возможность существования математической «теории всего». И я такая не одна. В книге «Доказательство Гёделя» (классическом труде 1958 года, на который я в значительной степени опиралась при написании своей статьи) философ Эрнест Нагель и математик Джеймс Р. Ньюман писали, что смысл теорем Гёделя «до конца не постигнут».

Возможно, это и так, но с тех пор прошло шесть десятилетий. На каком этапе мы находимся сегодня с этими идеями? Недавно я попросила логиков, математиков, философов и одного физика обсудить смысл теорем о неполноте. У них было много чего сказать о последствиях этого странного интеллектуального достижения Гёделя и о том, как оно изменило ход бесконечного поиска истины человечеством.

>>

Источник: habr.com