О формализме матриц Паули и геометрической алгебры в нерелятивистской квантовой механике

Обычно в учебных курсах по нерелятивистской квантовой механике формализм для описания спинового углового момента сразу дается в готовом виде без каких-либо удовлетворительных объяснений. Подходить к лекторам с вопросами об этом, как правило, тоже бесполезно — вразумительного ответа не получить, так как большинство физиков не знают ответа на этот вопрос. Вам будут говорить что угодно, но не точный ответ на вопрос.

В учебниках аналогично — в лучшем случае вам сначала расскажут что-нибудь про свойства спиноров и про матрицы Паули, а потом будет разрыв в переходе к конечным формулам.

Я решил написать статью, которая закроет этот разрыв. Вдохновила меня на это другая статья на Хабре «О спинорах человеческим языком», в которой, к сожалению, этот переход к физике хотя и был начат, но тоже так и не был осуществлен. От этой статьи переход можно сделать быстро (поэтому рекомендуется начать с нее). Начнем отсюда из этой статьи:

Описанное на этом скриншоте разложение можно осуществить с помощью любого единичного вектора. Но все эти векторы и даже скаляры — это комплексные матрицы 2 на 2, так как геометрическая алгебра Cl(3) описывается в базисе матриц Паули. Работать с комплексными матрицами 2 на 2 для описания спиновых направлений неудобно — они избыточны. Проще было бы, если придумать такое представление для векторов спина, чтобы его описывать вектором 2 на 1.

Обратим внимание на сами матрицы Паули:

Если в качестве единичного вектора взять вектор вдоль оси Oz, то проектор будет иметь максимально простой вид:

Итак, определим пространство спиноров как идеал , где — проектор:

Тогда любой спинор из этого идеала, представленный в виде матрицы, получается умножением произвольного элемента алгебры на матрицу-проектор :

Независимо от того, какую матрицу мы брали, у результирующей матрицы второй столбец всегда равен нулю. Это означает, что вся информация о нашем спиноре содержится исключительно в его первом столбце.

Тогда удобно писать спинор не матрицей, а одним столбцом.

Тогда базисные спиноры в их матричном представлении выглядят так:

Первый базисный спинор (матрица):

Второй базисный спинор (матрица):

Второй базисный спинор в абстрактной алгебре получается действием элемента на проектор :

Таким образом,

Эти две матрицы, таким образом, можно описывать как столбцы 2 на 1, так как второй их столбец всегда равен нулю. Теперь покажем, как любой спин может быть описан через них — выразим собственные векторы соответствующих матриц Паули.

Ось Z (ось квантования по умолчанию)

Это базис, на котором всё строится. Состояния «вверх» и «вниз» являются собственными состояниями оператора  (матрицы ).

1. Спин Вверх (вдоль оси Z) |↑_z⟩

• Стандартная КМ:
  

• Геометрическая Алгебра:
  
  Это наш «первый» базисный спинор, сам проектор.

• Если измерить спин вдоль оси , мы с вероятностью 100% получим значение .

2. Спин Вниз (вдоль оси Z) |↓_z⟩

• Стандартная КМ:
  

• Геометрическая Алгебра:
  
  Это наш «второй» базисный спинор, полученный действием e₁ на проектор.

•  Если измерить спин вдоль оси , мы с вероятностью 100% получим значение .

Ось X

Состояния «вправо» и «влево» являются собственными состояниями оператора  (матрицы σ₁). Они представляют собой равные суперпозиции состояний «вверх» и «вниз».

3. Спин Вправо (вдоль оси X) |→⟩ или |↑_x⟩

• Стандартная КМ:
  
  Это 

• Геометрическая Алгебра:
  

• Если измерить спин вдоль оси , мы с вероятностью 100% получим . Если же измерить его вдоль оси , то с вероятностью 50% получим «вверх» и с вероятностью 50% «вниз».

4. Спин Влево (вдоль оси X) |←⟩ или |↓_x⟩

• Стандартная КМ:
  (1/√2) * [1, -1]
  Это 

• Геометрическая Алгебра:
  

• Если измерить спин вдоль оси , мы с вероятностью 100% получим .

Ось Y

Состояния «вправо» и «влево» вдоль оси являются собственными состояниями оператора  (матрицы ). Они также являются суперпозициями состояний «вверх» и «вниз», но с комплексной фазой, что критически важно.

5. Спин Вправо (вдоль оси Y) |↗⟩ или |↑_y⟩

• Стандартная КМ:
  
  Это 

• Геометрическая Алгебра:
  
  Здесь i — это обычная комплексная единица.

6. Спин Влево (вдоль оси Y) |↙⟩ или |↓_y⟩

• Стандартная КМ:
  (1/√2) * [1, -i]
  Это 

• Геометрическая Алгебра:
  

• Если измерить спин вдоль оси мы с вероятностью 100% получим

Примеры решения задач.

Задачи на движение частицы со спином в магнитном поле решаются на основе уравнения Паули.

Здесь — это сумма , состоящая из произведений сигма-матриц Паули на проекции (числа) вектора магнитного поля на координатные оси.

— это спинор, описываемый с помощью вектора-столбца.

Задача 1.

Частица со спином 1/2, начальное состояние которой «спин направлен вправо» (вдоль оси X), помещается в постоянное однородное магнитное поле, направленное вдоль оси Z. Описать движение (прецессию) вектора спинового момента во времени.

Решение.

Стандартное уравнение Шредингера выглядит так: 

Давайте переведем его на язык ГА.

• |ψ⟩ становится нашим спинором ψ.

• H становится нашим мультивектором H.

• Умножение H|ψ⟩ становится геометрическим произведением Hψ.

• Комплексная единица  в алгебре  естественным образом представляется псевдоскаляром . Он обладает нужным свойством 

• Магнитное поле: 

• Начальное состояние ψ(0): «Спин вправо». Это собственное состояние оператора с собственным значением . В стандартной КМ это вектор

• Наша цель: Найти ψ(t) и вычислить ожидаемые значения в зависимости от времени.

Мы знаем, что в нашем формализме:

• |↑⟩ (спин вверх) соответствует , где 

• |↓⟩ (спин вниз) соответствует 

Следовательно, наше начальное состояние:

Подставляем все в уравнение Шрёдингера:

Поскольку I⁻¹ = -I, получаем:

Теперь подставим наш гамильтониан :

Давайте вычислим:

Произведение псевдоскаляра на вектор  дает бивектор , который представляет плоскость , ортогональную вектору .

Наше уравнение движения принимает окончательный, невероятно изящный вид:

Мы получили дифференциальное уравнение 

, где  — это бивектор, умноженный на некоторую частоту.

Решением такого уравнения является экспонента:

Подставим Ω:

Теперь вспомним определение Ротора — оператора вращения в ГА:
,

где  — бивектор плоскости вращения, а — угол.

Сравнивая это с нашим решением, мы видим, что  получается из действием ротора:

Это ротор, который описывает вращение:

• В плоскости:  (плоскость XY).

• На угол:

Скорость этого вращения (угловая частота) равна

Это и есть знаменитая частота Ларморовской прецессии ω_L.

В формализме Геометрической Алгебры описание прецессии спина становится геометрически прозрачным:

1. Уравнение Шрёдингера  говорит, что изменение спинорного состояния  во времени определяется действием оператора 

2. Этот оператор оказывается бивектором, который представляет плоскость вращения, перпендикулярную магнитному полю.

3. Решение уравнения — это  где — это Ротор.

4. Это уравнение дословно читается так: «Спинорное состояние в момент времени t получается путем поворота начального состояния «.

Таким образом, прецессия — это не какой-то сложный побочный эффект матричной алгебры, а прямое следствие того, что гамильтониан взаимодействия спина с магнитным полем в своей основе является генератором вращений (бивектором). Формализм ГА делает эту фундаментальную геометрическую природу явления очевидной. Итак:

Используя аналог формулы Эйлера для роторов, получаем:

Теперь применяем ротор к начальному состоянию:

где для краткости 

Раскроем скобки во второй части, помня правила  и :

Подставляем обратно:

Это точный вид спинора в любой момент времени t. Хотя он выглядит громоздко, он содержит полную информацию о системе.

Чтобы понять, что происходит физически, нам нужно перейти к матричному представлению и вычислить ожидаемые значения 

1. Начальное состояние в виде вектора-столбца:
   

2. Ротор в виде матрицы:
   

3. Состояние ψ(t) в виде вектора-столбца:
   
   Это тот же результат, что и в стандартной КМ.

4. Вычисление :
   Используем 

   • 
     
     

   • 
     

Вектор ожидаемого значения спинового момента равен:

Что это описывает?

• При . Вектор направлен вдоль оси , как и было задано.

• При , вектор  вращается в плоскости с постоянной угловой скоростью . Его -компонента остается равной нулю.

Задача 2.

Частица со спином 1/2, начальное состояние которой «спин направлен вверх» (вдоль оси ), помещается в постоянное однородное магнитное поле, направленное вдоль оси . Описать прецессию вектора спинового момента.

Решение.

• Магнитное поле: 

• Начальное состояние : «Спин вверх». Это собственное состояние оператора  с собственным значением . В нашей стандартной конструкции это .

• Наша цель: Найти и вычислить ожидаемые значения 

• Начальное состояние: Состояние «спин вверх» по оси соответствует нашему базовому проектору 

Начальное состояние: 

Состояние «спин вверх» по оси Z соответствует нашему базовому проектору 

Гамильтониан:

Энергия взаимодействия . Так как поле направлено вдоль , оператор взаимодействия соответствует .

Уравнение движения и определение ротора

Уравнение Шредингера в ГА имеет вид , где псевдоскаляр .

Вычисляем ключевой бивектор, который будет генератором вращения:

Уравнение движения принимает вид:

Решением является временная эволюция, описываемая ротором :

Обозначив Ларморовскую частоту , получаем ротор, описывающий вращение:

• В плоскости: YZ (задается бивектором )

• На угол:

Чтобы найти наблюдаемые величины, переведем наши объекты в стандартный формализм.

Начальное состояние:

Нам нужно матричное представление для бивектора 

Тогда матрица ротора :

Состояние в момент времени t:

Теперь вычисляем , используя .

Физический смысл:

Вращение происходит вокруг оси X. Начальная проекция спина на ось X была равна нулю, и она остается такой во все моменты времени, так как коммутирует с гамильтонианом.

Вектор ожидаемого значения спинового момента во времени:

Описание движения:

• При . Спин направлен вдоль оси Z , как и было задано.

• При , вектор спина вращается. Его X-компонента всегда равна нулю. Компоненты Y и Z осциллируют, описывая окружность в плоскости YZ.

Спин прецессирует вокруг оси магнитного поля (оси X) с Ларморовской частотой . Формализм Геометрической Алгебры предсказал это с самого начала, определив, что генератором вращения является бивектор , соответствующий плоскости YZ.

Источник: habr.com