Немного про счетные и несчетные множества

Приведу два случая сравнения счетного и несчетного множеств (на примере рациональных и иррациональных чисел).

Множество считается счетным, если все его элементы можно пронумеровать натуральными числами. Мощность такого множества обозначается как «алеф-нуль». Множество рациональных чисел является счетным.

Если множество невозможно взаимно-однозначно соотнести с множеством натуральных чисел, то такое множество называется несчетным. Множество иррациональных чисел является несчетным.

Данные примеры наглядно демонстрируют некоторую «ограниченность» множества рациональных чисел в сравнении с множеством иррациональных.

—-

Построим числовую прямую и начнем отмечать на ней все рациональные числа по очереди. Причем первому элементу присвоим длину 1/2 (в любых единицах, сколь угодно малых) на числовой прямой, второму элементу – 1/4 длины, третьему – 1/8, четвертому 1/16, и так далее. Тогда сумма длин, присвоенных каждому рациональному числу, будет равна 1 (сумма геометрической прогрессии). И это несмотря на то, что в каждом бесконечно малом промежутке числовой прямой будет бесконечное количество таких длин. Другими словами, на бесконечной числовой прямой все рациональные числа займут всего одну единицу длины. Всё остальное – иррациональные числа. Можно взять сколь угодно маленькую величину первого члена прогрессии. Тогда ее сумма и, соответственно, общая длина всех рациональных чисел на прямой, будет стремиться к нулю!

—-

Заполним бесконечную плоскость бесконечным количеством не совпадающих по своему положению точек однородно таким образом, чтобы у каждой точки координаты были рациональными. Например, (1; 2), (1/3; 3/8) и т.д. Плоскость будет заполнена точками с бесконечной плотностью. Покажем, что через любую точку, свободную от заданных, можно провести прямую, которая не коснется ни одну из заданных.

Поставим точку в свободной области и проведем через нее прямую вида y = kx + c, где k – иррациональное число, а значение c такое, что x и y одновременно не принимают рациональных значений в одной точке. Данная прямая не коснется ни одну из заданных точек, так как хотя бы одна координата каждой ее точки будет иррациональной.

Таким образом, несмотря на то, что плоскость была заполнена точками бесконечно и плотно, через любую свободную точку можно провести бесконечное количество прямых, которые не коснутся ни одну из заданных точек!

Источник: habr.com