Математики нашли скрытую «кнопку сброса» для отмены вращения

Математики думали, что понимают, как работает вращение, но теперь новое доказательство выявило удивительный поворот, который позволяет восстановить даже сложную последовательность движения.

Представьте, что вы раскручиваете волчок, а затем даёте ему остановиться. Есть ли способ снова раскрутить волчок так, чтобы он оказался в том же положении, в котором и начинался, как будто вы его и не раскручивали? Как ни странно, да, утверждают математики, открывшие универсальный рецепт, позволяющий обратить вращение практически любого объекта.

Интуитивно кажется, что единственный способ отменить сложную последовательность поворотов — это кропотливо выполнять прямо противоположные движения одно за другим. Но Жан-Пьер Экман из Женевского университета в Швейцарии и Цви Тласти из Ульсанского национального института науки и технологий (UNIST) в Южной Корее нашли скрытую кнопку сброса, которая включает в себя изменение размера начального поворота на общий коэффициент, процесс, известный как масштабирование, и его двукратное повторение.

В случае с волчком, если ваш начальный поворот провернул его на три четверти, вы можете вернуться к исходному положению, уменьшив поворот до одной восьмой, а затем повторив его дважды, чтобы получить дополнительную четверть оборота. Однако Экманн и Тласти показали, что это возможно и в гораздо более сложных ситуациях.

«На самом деле это свойство практически любого вращающегося объекта, будь то спин, кубит, гироскоп или роботизированная рука», — говорит Тласти. «Если [объекты] движутся по очень извилистому пути в пространстве, то, просто умножив все углы поворота на один и тот же коэффициент и повторив эту сложную траекторию дважды, они просто вернутся в исходную точку».

Их математическое доказательство начинается с каталога всех возможных вращений в трёх пространственных измерениях. Этот каталог, известный как SO(3), можно описать с помощью абстрактного математического пространства, подчиняющегося особым правилам и структурированного подобно шару, где процесс перемещения объекта через последовательность вращений в реальном пространстве соответствует перемещению из одной точки внутри шара в другую, подобно червю, пробирающемуся сквозь яблоко.

Когда вы раскручиваете волчок каким-либо сложным образом, эквивалентный путь в пространстве SO(3) начинается в самом центре шара и может закончиться в любой другой точке шара, в зависимости от особенностей вращения. Цель отмены вращения эквивалентна поиску пути обратно к центру шара, но, поскольку центр только один, ваши шансы сделать это наугад невелики.

Экманн и Тласти обнаружили, что, благодаря структуре SO(3), отмена вращения на полпути эквивалентна поиску пути, который приведёт вас в любую точку поверхности шара. Это гораздо проще, чем пытаться достичь центра, поскольку поверхность состоит из множества точек, говорит Тласти. Это стало ключом к новому доказательству.

По словам Экмана, пара потратила много времени, пытаясь найти ни к чему не приведшие варианты математических рассуждений. В конечном итоге сработала формула XIX века для объединения двух последовательных поворотов, известная как формула Родригеса, и теорема 1889 года из раздела математики, известного как теория чисел. В конечном итоге исследователи пришли к выводу, что масштабирующий коэффициент, необходимый для их сброса, почти всегда существует.

Для Экмана новая работа – это демонстрация того, насколько богатой может быть математика даже в такой хорошо изученной области, как изучение вращений. Тласти говорит, что она может иметь и практическое значение, например, в ядерном магнитном резонансе (ЯМР), который лежит в основе магнитно-резонансной томографии (МРТ). Здесь исследователи изучают свойства материалов и тканей, изучая реакцию квантовых спинов внутри них на вращения, вызванные внешними магнитными полями. Новое доказательство может помочь в разработке процедур устранения нежелательных вращений спинов, которые могут помешать процессу визуализации.

Эта работа также может привести к прогрессу в робототехнике, считает Джози Хьюз из Федеральной политехнической школы Лозанны (Швейцария). Например, можно заставить катящегося робота двигаться по траектории, состоящей из повторяющихся сегментов, включая надёжное движение «крен-сброс-крен», которое теоретически может продолжаться бесконечно. «Представьте, если бы у нас был робот, способный принимать любую форму твёрдого тела, он мог бы следовать любой желаемой траектории, просто изменяя форму», — говорит она.

Physical Review Letters DOI: 10.1103/xk8y-hycn

Источник: www.newscientist.com