Математический парадокс показывает, как сочетание проигрышных стратегий может привести к победе

В определённых обстоятельствах поражения создают верный путь к победе — и эта идея имеет значение для биологии и лечения рака

В 1996 году испанский физик Хуан Паррондо сделал невероятное открытие: иногда две игры, каждая из которых отдельно заканчивается проигрышем, можно объединить в выигрышную стратегию. Этот парадокс — не просто математический курьёз, он имеет научное значение. Он помогает объяснить разнообразные факты из жизни слизевиков и может способствовать разработке новых стратегий лечения рака.

Чтобы понять этот парадокс, нам нужно представить себе ситуацию, в которой вы играете в две игры с очень специфическими параметрами. Например, давайте представим, что первая игра, «А», заключается в подбрасывании монеты. В нашем случае монета немного кривая, так что она с вероятностью 50,5% падает преимущественно на одну сторону. Теперь давайте предположим, что игра А в некоторой степени нечестная, так что я выигрываю, если монета падает на предпочтительную сторону, а вы выигрываете, если она падает на другую сторону. Таким образом, вы можете выиграть только с вероятностью 49,5%, и в этом случае я дам вам 1 доллар; в противном случае вы заплатите мне ту же сумму.

Если вы будете играть со мной в игру A много раз, вы неизбежно понесёте большие убытки, потому что вам придётся платить мне в среднем один цент за игру. (Мы можем быстро рассчитать это, взяв вероятность вашей победы и вычтя вероятность моей: 0,495 – 0,505 = –0,01).

Затем есть вторая, более сложная игра «B», в которой нужно вращать два колеса фортуны. В этой игре вы будете вращать одно или другое колесо в зависимости от того, сколько денег у вас есть на данный момент. Если ваш доступный капитал для игры (исходя из того, как вы играли в игру «A») делится на 3 без остатка, то вы вращаете колесо фортуны, которое даёт вам шанс на выигрыш всего 9,5%. Если же ваш капитал не делится на 3, то вы получаете более выгодные шансы: вы вращаете другое колесо, которое даёт вам 74,5% шансов на выигрыш.

И теперь всё становится интереснее.

Две игры, в которых вы можете только проиграть

В игре B ставка снова составляет 1 доллар. В среднем вы будете терять 87 центов за каждое вращение.

Давайте разберёмся в этом. Вы можете предположить, что в одной трети случаев вы будете вращать колесо, которое для вас невыгодно, а в двух третях случаев — другое колесо. Но это неверно, потому что количество ваших денег не меняется равномерно. Например, если у вас есть 9 долларов, вы будете крутить невыгодное колесо и, скорее всего, проиграете, оставив себе только 8 долларов. Однако, если вы снова сыграете в эту игру с этой суммой, вы будете крутить колесо, которое более выгодно для вас, и у вас будет больше шансов на выигрыш. Таким образом, вы снова получите 9 долларов.

Таким образом, вероятность того, что у вас будет сумма денег, кратная 3, значительно превышает одну треть. Используя сложную процедуру, известную как цепь Маркова, можно рассчитать, что ваша общая вероятность выиграть в игре B составляет всего 49,565 процента, а ваша ожидаемая прибыль за раунд будет отрицательной: 0,49565 – 0,50435 = –0,0087.

Появление парадокса

Если вы умны, вы не будете играть против меня ни в игру A, ни в игру B. В обоих случаях в долгосрочной перспективе вы обязательно проиграете. Но Паррондо понял, что смешанная стратегия может окупиться: чередуя игры A и B, вы можете в целом выиграть.

Например, если вы всегда играете два раунда игры A, а затем два раунда игры B, вы выиграете в среднем 1,48 цента за раунд. Или, если после каждого раунда A вы играете два раунда B, вы заработаете в среднем 5,8 цента за раунд. Таким образом, в долгосрочной перспективе вы получите прибыль в обоих случаях.

Как обнаружил Паррондо, существует больше комбинаций A и B, которые имеют положительное ожидаемое значение для вас, чем наоборот. Поэтому вы выходите победителем, даже если вы случайно выбираете, играть ли в A или B в каждом раунде (например, путём подбрасывания честной монеты). В этом случае ваш средний выигрыш составляет 1,47 цента за раунд.

Как это возможно? Ключ к парадоксу Паррондо заключается в том, что две игры A и B могут влиять друг на друга, потому что игра B зависит от денег, которые у вас есть в данный момент, а эта сумма колеблется по мере того, как вы играете в игру A. Поэтому A и B больше нельзя рассматривать как независимые игры. В этом заключается суть парадокса Паррондо. Если бы мы поменяли игру B таким образом, что, например, выбор колеса фортуны зависел бы от значения, выпавшего на грани кубика, парадокс исчез бы, потому что обе игры были бы полностью независимы друг от друга.

Применение парадокса Паррондо

С момента появления удивительной публикации Паррондо в 1996 году на эту тему было написано множество статей. В 2017 году два компьютерных учёных продемонстрировали, что этот парадокс может объяснить разнообразные жизненные стратегии слизевиков, которые могут чередовать одиночную кочевую жизнь и стационарную колонию.

В некоторых ситуациях для этих существ выгоднее собираться вместе, чтобы образовывать колонии, вместо того, чтобы существовать как одинокие странники. Но такие формы совместной жизни также не могут выжить в долгосрочной перспективе: организмы эксплуатируют свою среду обитания, и в конечном итоге ресурсы начинают истощаться. Склонность к одной стратегии неизбежно приведёт к гибели, но смешанная стратегия предлагает жизнеспособное решение: организмы временно снова становятся мобильными, пока среда обитания в определённой области восстанавливается.

Физик-вычислитель Цзянь-Юэ Гуан из Университета Ланьчжоу в Китае и её коллеги представили ещё одно применение парадокса Паррондо в статье, опубликованной в журнале Physical Review E в августе 2025 года. При лечении многих видов рака используются два разных подхода к химиотерапии. Пациенты либо получают максимально переносимую дозу через определённые промежутки времени, либо проходят непрерывное лечение низкими дозами. Недостатком первой стратегии является то, что некоторые опухолевые клетки развивают резистентность и, таким образом, не реагируют на лекарство. Во второй стратегии концентрация лекарства не всегда достаточно высока, чтобы полностью уничтожить все раковые клетки.

С помощью компьютерного моделирования исследователи продемонстрировали, что переключение между двумя подходами к лечению в определённые моменты времени может привести к лучшим результатам даже без детального мониторинга — подобно тому, как случайный порядок игр A и B является выгодным. Требуется дальнейшее исследование, чтобы определить, можно ли действительно применить этот теоретический подход в онкологии. Гуан и её команда планируют проверить свои идеи с помощью исследований in vitro.

Источник: habr.com