Об уравнениях Максвелла в пространстве Минковского

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в 3D, даже не пользуясь никаким пространством Минковского, исключительно в евклидовом пространстве. И они естественным образом в той же форме писались в многомерном евклидовом пространстве. Также рекомендую прочесть соседнюю статью для введения в тему.

Любопытно, что их можно ввести аналогично в пространстве Минковского и они будут эквивалентны моим. Также им эквивалентна кватернионная форма, но она является не более чем искусственной подгонкой векторов поля под кватернионы.

Покажу теперь естественную формулировку в пространстве Минковского, которая не требует кватернионов. Надо сказать, ее не так просто найти. В литературе мне это не удалось найти именно в такой форме, LLM все время пытались выдавать кватернионную формулировку и отказывались делать что-то другое, гуглить было бесполезно, а глубокий поиск с ИИ ничего такого не нашел. Но я в итоге провел вычисления вручную, загрузил это в LLM и тот смог написать то, что нужно, на основе моих выкладок. Перепроверил — всё это действительно эквивалентно обычным уравнениям Максвелла. Но получилось намного красивее. А главное — очень логично с точки зрения физического смысла.

1. Базовые определения.

Используется алгебра Клиффорда — это обозначение означает, что квадрат первого базисного вектора, который соответствует оси времени, равен единице, а квадрат всех остальных n пространственных — равен минус единице.

Здесь далее гаммой обозначается базисный вектор в алгебре Клиффорда.

Итак, вводим определения.

• Пространство-время:

  измерений. Один временной базисный вектор с и пространственных векторов с .

• Электромагнитное поле :

  это бивектор. Он распадается на:

  электрическое поле Е: -мерный вектор, связанный со временем ( ).

  магнитное поле В: -мерный бивектор, чисто пространственный ( ). У него компонент.

• Источник :

  это ( )-мерный вектор плотности тока. Он распадается на:

  Плотность заряда : временная компонента ( ).

  Плотность пространственного тока j: -мерный пространственный вектор.

• Оператор производной (градиент пространства-времени):

  это -мерный векторный оператор .

Далее самое сложное — понять, что здесь уравнения Максвелла. Оказывается, их тут будет два. Одно из них является динамическим, а другое описывает внутреннюю геометрию поля. Это совпадает с общепринятой у теоретиков тензорной формулировкой уравнений Максвелла, в которой тоже два аналогичных уравнения. Четкое разделение уравнений на динамические и чисто геометрические — это преимущество нового подхода.

2. Новые уравнения Максвелла.

Динамическое уравнение является внутренним произведением наблы на поле

Геометрическое уравнение является внешним произведением наблы на поле

Формулы для выражения этих двух произведений через геометрическое, которые были даны в прошлом статьи, работали только для векторов первого ранга. Но они также работают для мультивекторов, состоящих из одной компоненты одного ранга. В данном случае и электрическое поле бивектор, и магнитное поле бивектор, и он снова работает:

Равенство нулю тривекторной части означает отсутствие магнитных монополей. Ввести уравнение с магнитными монополями возможно, если их добавить справа как тривектор.

3. Дополнение — подробнее про виды произведений.

Теперь обобщим. Пусть у нас есть два мультивектора А и в. Каждый из них является суммой объектов разных рангов (скаляров, векторов, бивекторов и т.д.).

(Здесь k — это оператор, который «выделяет» из мультивектора часть ранга k ).

Их геометрическое произведение АВ вычисляется по правилу дистрибутивности, то есть мы перемножаем каждую часть А на каждую часть в B. Основным строительным блоком является произведение объекта ранга r на объект ранга s, A_r B_s .

Основное правило:

Геометрическое произведение объекта ранга и объекта ранга является мультивектором, содержащим части с рангами от до с шагом 2 .

Теперь мы можем дать общее определение внутреннего и внешнего произведений.

• Внутреннее произведение:

  Это самая низкоранговая часть геометрического произведения.

Это операция «свертки» или «проекции».

• Внешнее произведение:

  ]Это самая высокоранговая часть геометрического произведения.

Это операция «объединения» или «создания нового объема».

Помимо этого, существуют скалярное произведение мультивекторов, которое совпадает с внутренним лишь в некоторых частных случаях

Видно, что совпадение наблюдается тогда и только тогда, когда внутреннее произведение мультивекторов дает число, а не вектор. Этот случай работает для нашего нового мультивектора электромагнитного поля.

Вводят еще антивнешнее произведение, или регрессивное. Оно называется так, потому что геометрический смысл внешнего произведение в объединении подпространств, а противоположной этому будет операция их пересечения. Определяется формулой

Здесь — дуальная версия . — псевдоскаляр (произведение всех базовых векторов). Интересно, что в алгебре Клиффорда с положительным квадратом всех базовых векторов псевдоскаляр в квадрате дает минус единицу при размерностях пространства, которые при делении на 4 дают остатки 2 и 3, а в алгебре Клиффорда вида получается ровно наоборот.

4. Об отличии электродинамики в пространстве Минковского от электродинамики в евклидовом пространстве.

Я написал выше, что уравнения получаются эквивалентными. Но есть один важный нюанс.

Дело в том, уравнения Максвелла в пространстве Минковского в написанном мною виде предусматривают только компоненты первого ранга и третьего ранга. Благодаря этому они могут описывать магнитные монополи.

Но уравнения Максвелла в евклидовом пространстве оказываются более общими в случае, если речь идет об обобщении на большее количество измерений. Потому что они позволяют в правую часть добавить более сложные геометрические объекты, чем магнитные монополи.

Однако у уравнений Максвелла, записанных в алгебре Клиффорда, построенной над евклидовым пространством, есть один важный недостаток — так как они не содержат пространства Минковского, их не получится объединить с Общей теорией относительности. Чтобы вводить кривизну пространства-времени, время должно быть отдельным измерением единого пространства-времени, а не просто скалярной величиной, числом.

С другой стороны, думаю, можно продолжить это обобщение. Взять уравнения Максвелла, полученные для мультивектора в н N-мерном евклидовом пространстве, расписать по компонентам высших рангов (больше третьего), затем сопоставить с новыми уравнениями Максвелла на основе геометрической алгебры в пространстве Минковского, и добавить в них более сложные компоненты, чем электрическое и магнитное поле. Всё должно получиться.

5. Дополнение — научная статья 1978-го года про кватернионную форму уравнений Максвелла и их матричное представление.

О кватернионной форме уравнений Максвелла можно еще почитать тут Maxwell’s eight equations as one quaternion equation | American Journal of Physics | AIP Publishing

Но, в отличие от моих заметок, там вот совсем ничего нового по сравнению с тем, что Максвелл делал, за исключением записи кватернионов матрицами.

Источник: habr.com