Знаменитые уравнения Навье-Стокса могут приводить к случаям, когда возможно более одного результата, но только в крайне узком круге ситуаций. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Для подтверждения нового результата было использовано вихревое кольцо.
Введение
На протяжении почти двух столетий исследователи, интересующиеся движением жидкостей, обращались к уравнениям Навье-Стокса. Но у математиков до сих пор остаются фундаментальные вопросы, касающиеся этих уравнений. Главный из них: насколько хорошо эти уравнения соответствуют реальности?
В новой статье, которая должна появиться в журнале Annals of Mathematics, предпринята попытка ответить на этот вопрос, доказав, что некогда многообещающий класс решений может содержать противоречия, бросающие вызов законам физики. Этот шаг является еще одним шагом к пониманию несоответствия между уравнениями Навье-Стокса и физическим миром — загадки, лежащей в основе одной из самых известных нерешенных проблем математики.
«Это очень впечатляет, — сказала Изабель Галлахер, математик из Высшей нормальной школы в Париже и Университета Париж-Сите. — Я имею в виду, что это первый случай, когда мы действительно получаем решения, которые не являются уникальными».
Жидкости по своей природе сложно описать, поскольку составляющие их молекулы не движутся как единое целое. Чтобы учесть это, уравнения Навье-Стокса описывают жидкость с помощью «полей скоростей», которые определяют скорость и направление для каждой точки в трехмерном пространстве. Уравнения описывают, как начальное поле скоростей изменяется со временем.
Главный вопрос, на который хотят ответить математики: будут ли уравнения Навье-Стокса всегда работать для любого начального поля скоростей в произвольно отдаленном будущем? Этот вопрос считается настолько важным, что Институт математики им. Клэя посвятил ему одну из своих знаменитых задач тысячелетия, за решение каждой из которых предусмотрено вознаграждение в размере 1 миллиона долларов.
В частности, математики задаются вопросом, останется ли гладким решение, изначально гладкое — то есть, его поля скоростей не меняются резко от одной близлежащей точки к другой. Возможно, через некоторое время могут появиться резкие пики, представляющие бесконечную скорость. Этот результат, который математики называют взрывом, будет отличаться от поведения реальной жидкости. Чтобы получить приз в 1 миллион долларов, математику нужно будет либо доказать, что взрыв никогда не произойдет, либо найти пример, где он происходит.
Даже если уравнения могут выйти из-под контроля, возможно, не всё потеряно. Второстепенный вопрос заключается в том, будет ли жидкость, вышедшая из-под контроля, всегда продолжать течь определённым, предсказуемым образом. Точнее: существует ли только одно решение уравнений Навье-Стокса, независимо от начальных условий?
Эта особенность, называемая уникальностью, является предметом новой статьи Далласа Албриттона и Элиа Брюэ из Института перспективных исследований и Марии Коломбо из Швейцарского федерального института технологий в Лозанне.
В неквантовом мире всё устроено именно так. Законы физики определяют, как система развивается от одного момента к другому, не оставляя места для догадок или случайности. Если уравнения Навье-Стокса действительно могут описывать реальные жидкости, то их решения должны подчиняться тем же правилам. «Если нет единственности, то модель [вероятно] неполна», — сказал Владимир Шверак, профессор Университета Миннесоты, который был научным руководителем Албриттона. «Просто невозможно описать жидкости уравнениями Навье-Стокса так, как считалось ранее».
В 1934 году математик Жан Лерай открыл новый класс решений. Эти решения могли «взрываться», но лишь немного. (Технически, части поля скоростей становятся бесконечными, но полная энергия жидкости остается конечной.) Лерай смог доказать, что его негладкие решения могут продолжаться бесконечно. Если эти решения также уникальны, то они могут помочь объяснить, что происходит после «взрыва».
Однако в новой статье содержатся неутешительные новости. Три автора показывают, что одна и та же отправная точка модели Лерая может быть согласующейся с двумя совершенно разными результатами, а это значит, что их связь с реальностью слабее, чем надеялись исследователи.
Математики подозревали это в отношении решений Лерая, и за последние несколько лет наблюдалось неуклонное накопление доказательств. Новый результат «стал своего рода вишенкой на торте», — сказал Влад Викол, профессор Института Куранта Нью-Йоркского университета.
Албриттон, Брюэ и Коломбо появились в поле зрения осенью 2020 года, когда присоединились к исследовательской группе в IAS. Целью группы было изучение двух статей, опубликованных математиком Мишей Вишиком в интернете в 2018 году. Хотя наиболее востребованные ответы касаются уравнений Навье-Стокса в трехмерном пространстве, существуют и двумерные версии этих уравнений. Вишик доказал, что неоднозначность возникает в модифицированной версии этих двумерных уравнений.
Однако спустя два года после публикации Вишиком документов детали его работы по-прежнему было трудно понять. Группа из семи человек регулярно встречалась в течение примерно шести месяцев, чтобы изучить документы. «Благодаря нашему общему вкладу мы смогли понять, что происходит», — сказал Албриттон.
В доказательстве Вишика использовалась внешняя сила. В реальном мире сила может быть вызвана брызгами, ветром или чем-либо еще, способным изменить траекторию жидкости. Но сила, предложенная Вишиком, была математической конструкцией. Она не была плавной и не отражала какой-либо конкретный физический процесс.
При наличии этой силы Вишик смог найти два различных решения двумерных уравнений. Его решения основывались на вихревом потоке.
«По сути, это создание потока жидкости, который просто закручивает вас вокруг себя», — сказал Албриттон.
Албриттон и Коломбо, к которым позже присоединился Брюэ, поняли, что вихрь Вишика можно использовать в качестве основы для двух различных решений в трех измерениях.
«Эта стратегия на самом деле очень инновационная», — сказал Викол, который консультировал Албриттона во время его постдокторской стажировки в Нью-Йоркском университете.
Чтобы доказать неоднозначность решения, три автора построили решение в виде «вихревого кольца» в форме пончика для трехмерных уравнений. Сначала их жидкость находится в совершенно неподвижном состоянии, но сила приводит ее в движение. Эта сила, как и у Вишика, не является плавной, что гарантирует, что и вихревое кольцо не будет плавным. По мере того, как жидкость набирает импульс, она течет вдоль вихрей, вращаясь вокруг отверстия пончика и возвращаясь обратно к его внешней стороне.
Затем авторы показали, что это решение в виде вихревого кольца может вырождаться в другое решение.
Эффект был похож на то, как если бы вы бросили камень в озеро. Обычно вы увидите несколько волн, которые рассеиваются через короткое время. Эти волны проявляются в уравнениях Навье-Стокса как «возмущение», добавленное к полю скоростей. Вы можете регулировать величину этого возмущения, бросая камень более или менее осторожно; если бросить его очень аккуратно с точки, близкой к поверхности, это может практически не повлиять на озеро.
Но если бросить камень в поток, созданный Албриттоном, Брюэ и Коломбо, возмущение никогда не исчезнет. Даже если бросить камень с практически нулевой высоты, это ничтожно малое возмущение разрастется в нечто гораздо более серьезное. Это создает второе, отличное от исходного, решение из тех же начальных условий.
«У вас есть одно решение, и вместо того, чтобы внести конечное возмущение, вы вносите бесконечно малое возмущение, — сказал Албриттон. — И тогда решения мгновенно расходятся».
В новой статье не дается окончательного ответа на вопрос о единственности решений Лерая. Ее выводы основаны на внешней силе, специально созданной для того, чтобы вызвать неоднозначность. Математики предпочли бы вообще избежать добавления силы и доказать, что некоторый набор начальных условий приводит к неоднозначности без какого-либо внешнего воздействия. Этот вопрос теперь, пожалуй, стал на шаг ближе к ответу.
Примечание редактора: Даллас Албриттон получил финансирование от Фонда Саймонса, который также финансирует этот независимый от редакции журнал.
Источник: www.quantamagazine.org
