Стремление решить кубические уравнения привело к дуэлям, предательствам — и современной математике. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
История полна подлых соперничеств: Эдисон и Тесла, Хардинг и Керриган, Тупак и Бигги. Не менее драматичным был конфликт XVI века между итальянскими математиками Джероламо Кардано, блестящим, но проблемным эрудитом, и Никколо Фонтана, более известным как Тарталья (что означает «заикающийся», по аналогии с травмой лица, полученной в подростковом возрасте от меча французского солдата). Главный вопрос: кубические уравнения.
Большинство старшеклассников умеют решать квадратные уравнения, например, $latexx^2-x-3=0$, используя формулу решения квадратных уравнений. Она гласит, что решениями, или корнями, уравнения $latexax^2+bx+c=0$ являются
$latexx=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Существуют ли аналогичные формулы для уравнений более высокой степени (имеющих большую степень x)? Определение этого, по сути, было задачей, стоявшей перед Кардано, Тартальей и их современниками.
Современная алгебра в том виде, в каком мы её знаем — абстрактные символические выражения, подобные приведенным выше, и привычные способы их обработки — восходит к XVII веку, задолго до времени этих учёных. Но алгебраическое мышление и способность решать то, что мы называем линейными и квадратными уравнениями, развивались медленно на протяжении предшествующих тысячелетий.
В XVI веке алгебраические уравнения по-прежнему выражались риторически — словами, а не символами — и все коэффициенты должны были быть неотрицательными, поскольку математики не признавали отрицательные числа допустимыми. Без понятия неизвестной переменной x кубические уравнения вида $latexx^3+cx=d$ описывались как «куб и вещи равны числу», и это рассматривалось как нечто отличное от «куб и вещи равны числу», $latexx^3=cx+d$. Таким образом, если сегодня мы рассматриваем решение уравнения $latexax^3+bx^2+cx+d=0$ как одну задачу, то в то время оно рассматривалось как более десятка отдельных задач, члены которых находились либо по одну, либо по другую сторону знака равенства, либо вовсе отсутствовали.
Без современной символической алгебры математики рассуждали бы геометрически. Например, известное выражение $latex(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ можно рассматривать как утверждение, что площадь квадрата со стороной $latexa+b$ равна сумме площадей квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со стороной $latexa times b$.
Аналогично, разложение куба со стороной длиной t на шесть ячеек показывает, что
(при условии, что $latext>u$).
Сципионе дель Ферро, профессор Болонского университета начала XVI века, первым добился значительных успехов в решении кубических уравнений. К сожалению, из-за существовавшей в то время культуры академической секретности нам неизвестны все его достижения. Вместо того чтобы спешить с публикацией своих работ и наслаждаться признанием за доказательство теоремы или решение задачи, учёные устраивали друг другу «математические дуэли». Они посылали друг другу сложные задачи, и побеждал тот, кто решил больше всего. Победители часто получали повышение по службе и больше учеников. Таким образом, открытия иногда оставались в резерве, секретным оружием, которое должно было быть использовано в будущих состязаниях.
Но нам известно, что дель Ферро мог решать уравнения вида $latexx^3+cx=d$, когда c и d положительны. Кубическое уравнение без квадратного члена, подобное этому, называется «приведенным кубическим уравнением». Хотя ни один математик XVI века не выразил бы это таким образом, дель Ферро показал, что один корень равен
Эта современная формула применима к любой кубической арифметике с пониженным знаком, но поскольку кубические уравнения с разными знаками коэффициентов считались разными задачами, решение дель Ферро не автоматически переносилось на другие кубические арифметики с пониженным знаком. Мы знаем, что дель Ферро мог решать эти кубические уравнения, только потому, что он обучил этому методу своего ученика Антонио Фиора, который хвастался, что может решать такие уравнения, уже после смерти дель Ферро.
Тем временем самоучка Тарталья обнаружил способ решения другой формы кубической арифметики — без линейного члена cx. Это подготовило почву для математического поединка между Фиором и Тартальей. В 1535 году они обменялись 30 задачами, имея в запасе полтора месяца. Тарталья отправил Фиору множество задач, в то время как Фиор, математически более слабый, применил стратегию «все яйца в одной корзине» и отправил Тарталье 30 кубических арифметик с пониженным значением. За несколько дней до крайнего срока Тарталья разобрался, как их решить, и за два часа справился со всеми 30. Фиор же, тем временем, не решил ни одной из своих задач. Весть о достижении Тартальи распространилась по всей Италии, и Фиор, униженный, исчез из поля зрения.
Считалось, что решить кубическую матрицу невозможно, поэтому достижение Тартальи потрясло Кардано. В то время Кардано был востребованным врачом, но сварливым, его преследовали одна беда за другой. Он играл в азартные игры, боролся с непослушными сыновьями, был заключен в тюрьму во время инквизиции и многое другое. Тем не менее, он внес вклад в математику, медицину, философию, религию, музыку и физику. Десятилетия спустя Готфрид Лейбниц писал: «Кардано был великим человеком со всеми его недостатками; без них он был бы несравним». Его собрание сочинений занимает 7000 страниц и включает в себя первые серьезные исследования теории вероятностей.
Кардано попытался повторить успех Тартальи с его кубическим методом, но потерпел неудачу, поэтому он начал кампанию давления, чтобы убедить Тарталью поделиться своим методом, даже пообещав хранить это в секрете:
Клянусь вам Священным Евангелием и своей верой как джентльмен, не только никогда не разглашать ваши открытия, если вы мне их расскажете, но и обещаю и клянусь своей верой истинного христианина записать их в зашифрованном виде, чтобы после моей смерти никто не смог их понять.
В конце концов, в 1539 году Тарталья уступил и поделился с Кардано своей методикой решения кубических уравнений с пониженным значением, но доказательством её работоспособности он не предоставил. Однако для находчивого Кардано было достаточно знать сам метод, чтобы открыть лежащую в его основе математику. Вскоре Кардано смог решить любое кубическое уравнение с пониженным значением. Затем он заметил, что подстановка
$latexx=t-frac{b}{3a}$
Подстановка $latexax^3+bx^2+cx+d=0$ дает кубическое уравнение с пониженным значением и переменной t. Решив это уравнение относительно t и подставив полученное значение обратно в формулу подстановки, он смог найти x. Таким образом, Кардано смог решить любое кубическое уравнение.
Несмотря на данную Тарталье клятву, Кардано передал эти результаты своему талантливому помощнику Людовико Феррари. Хотя сначала он был слугой Кардано, в конечном итоге Феррари стал его математическим равным. Помогая Кардано в его работе над кубическими уравнениями, он настолько освоил алгебру, что открыл способ свести любое уравнение четвертой степени к кубическому. Таким образом, Кардано и Феррари смогли решить любое уравнение четвертой степени или ниже.
Кардано осознавал важность этих достижений и отчаянно хотел опубликовать результаты. Но поскольку все они выросли из семян, посеянных Тартальей, это означало бы нарушение его клятвы.
Затем, во время поездки в Болонью в 1543 году, Кардано увидел в записных книжках дель Ферро, что тот решил кубическое уравнение с пониженным значением раньше Тартальи. По мнению Кардано, это открытие освободило его от обязательств перед Тартальей. Два года спустя Кардано опубликовал «Ars Magna» («Великое искусство»), содержащее его и Феррари работы по кубическим и уравнениям четвертой степени.
Тарталья был в ярости, несмотря на то, что Кардано признал свою работу в книге. Тарталья обвинил Кардано в краже и нарушении священного обета. Кардано оставил упреки своему верному псу, Феррари. Ожесточенная перепалка в форме публичных брошюр продолжалась много месяцев, приведя к математической дуэли между Тартальей и Феррари, а затем и к публичным дебатам в родном городе Феррари, Милане. Тарталья предпочел бы сразиться с уважаемым Кардано, но Кардано отказался. Подробностей мало, но дебаты прошли для Тартальи ужасно, особенно с шумной публикой в родном городе. На следующий день, когда пришло время продолжить дебаты, Тартальи нигде не было — он покинул Милан.
Феррари был завален предложениями о работе, а репутация Тартальи была разрушена. Несмотря на множество выдающихся достижений, выходящих за рамки кубической арифметики, Тарталья умер в нищете и практически никому не известным, в то время как Кардано обрел вечную славу. Многие утверждают, что публикация «Ars Magna» положила начало современной математике.
Освоив кубические и уравнения четвертой степени, математики задались вопросом, насколько высоко они смогут подняться. Как оказалось, не очень далеко.
История уравнений пятой степени (многочленов пятой степени) также увлекательна и имеет шокирующий вывод: в общем случае невозможно выразить корни многочлена $latexax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$ через a, b, c, d, e и f, используя только сложение, вычитание, умножение, деление и корни n-й степени. Например, многочлен $latexx^5-x+1$ имеет корень приблизительно равный $latex–1,167304$, но точное значение невозможно выразить этими методами.
Нильс Абель впервые представил полное доказательство этого факта в 1824 году, почти через три столетия после «Великого искусства». Затем, в 1830 году, 18-летний политический радикал Эварист Галуа расширил эту работу, представив точные критерии для определения разрешимости многочлена любой степени. Хотя Галуа погиб два года спустя на дуэли (на которой он сражался с оружием, а не с математикой), его вклад в математику был огромным.
Эти результаты, свидетельствующие о невозможности решения, не стали концом истории. Математики по-прежнему изучают многочлены, их корни и свойства. В качестве примера можно привести известную задачу, предложенную Давидом Гильбертом в 1900 году, касающуюся корней многочленов седьмой степени. Считалось, что она была решена в 1950-х годах, но сейчас к ней вновь проявляется интерес. Предположительно, современные математики могут добиться прогресса в решении этой проблемы, не возрождая соперничество вокруг кубического многочлена.
Исправление: 1 июля 2022 г.
В предыдущей версии этой статьи было ошибочно указано, что корень многочлена $latex x^5-x+1$ приблизительно равен $latex-1.67304$; правильное значение равно $latex-1.167304$. Компания Quanta приносит извинения за ошибку.
Источник: www.quantamagazine.org
