Рассмотрим структуру простых чисел, их симметрию и введем новые определения. Применяя симметрию рассмотрим способ поиска простых чисел, задачу бесконечности близнецов и гипотезу Гольтбаха.
1. Симметрия простых чисел
Как известно, простые числа делятся без остатка только на себя и 1. Визуально это можно представить решетом Эратосфена. Давайте посмотрим наглядно, но используем не одну линию, а таблицу, где каждый делитель будет на своем слое.
На основе рисунка и простых математических рассчетах мы можем сделать вывод, что для решета Эратосфена имеют смысл не все числа, а только простые, так как все составные числа повторяют путь простых из которых состоят. Например 15 всегда будет идти по следам 3 и 5, а 21 по следам 3 и 7. Только простые числа создают свой уникальный рисунок и продолжаются дальше.
Можно увидеть, что все расчеты выстраиваются в горку. Давайте ее разрежем на слои и изучим их. Сперва посмотрим на первый слой чисел 1-2-3-4-5. Мы видим, что 2 удаляет все четные числа, следовательно простыми могут быть только нечетные на всем протяжении. Как мы увидим далее, подобное происходит и с другими простыми числами, просто рисунок не такой явный. Число 4 идет по стопам 2 и исчезает, далее для всех слоев будем рассматривать только простые числа. У нас остались 3 и 5. Давайте посмотрим их взаимодействие.
Мы видим симметричный полиндром с осью 15. Если мы продолжим числовой ряд ограничившись этим слоем, то увидим как этот полиндром бесконечно повторяется. Давайте преобразуем в логические операции.
0 — число может быть простым, 1 — не может быть простым. Произведем логическое умножение и инверсию, получим бинарный полиндром этого слоя. Как число 2 исключает все четные из состава простых чисел, так и этот бинарный полиндром создает свой рисунок исключений. Так например если число 20 исключается бинарным полиндромом слоя 2, то число 21 исключается бинарным полиндромом слоя 3 или 3 & 5.
Теперь давайте продолжим числовой ряд ограничившись начальным слоем 2 & 3 & 5. Мы получили 8 последовательностей с шагом 30 (2*3*5). При этом они симметричны друг другу по оси 15 (3*5).
Если бинарные 0 полиндрома абсолютно исключают появление простых чисел, то бинарные 1 всего лишь делают допустимым появление простых чисел на этой оси. Таким образом мы получаем 8 “осей творения” простых чисел, а первый слой можем считать “слоем творения” (creation layer) простых чисел. Их можно записать формулами:
1+30n, 7+30n, 11+30n, 13+30n, 17+30n, 19+30n, 23+30n, 29+30n
Следовательно простые числа это не одна последовательность, а пучок из 8 последовательностей. Такой подход к простым числам делает вычисления проще.
Рассмотрим простые числа в виде 8 пучков:
Теперь давайте посмотрим что происходит на других слоях, ведь подобные симметричные полиндромы будут появляться при умножении любых простых чисел.
Можно рассматривать слои из перемножения нескольких простых чисел. Давайте посмотрим слой 3 & 5 & 7 с осью 105 (3*5*7).
Мы видим симметрию “слоев творения” и хаос выше. На самом деле хаос это рождение симметрии верхних слоев. Если мы будем перемножать простые числа, например, 3*5*7*11*13*17*19*23*28*31*37, то получим число оси для этих слоев. В этом случае «область творения» будет состоять из 11 слоев. Места появления простых чисел будут зеркально отражаться справа от оси образуя пирамиду. И такие пирамиды будет повторяться бесконечно. Мы можем умножать любое количество чисел и увеличивать пирамиду бесконечно. При этом нижние слои пирамиды состоят из малых пирамид. Нижние слои словно «включают» простые числа в определенных местах, а верхние некоторые из них «выключают», но их положение не меняется. Таким образом умножая простые числа с нижней границы мы делим пространство на нижние “слои творения” и верхние “слои затмения” (eclipse layer).
Мы видим, что рассчитать нижние “слои творения” довольно просто, а вот верхние “слои затмения” намного сложнее.
Также мы можем сделать два вывода:
Нижний «слой творения» 2 & 3 & 5 равномерно, симметрично и бесконечно зажигает пары простых чисел. Пары простых чисел включаются равномерно, а выключаются только некоторые из них неравномерно.
В «слое творения» любого количества уровней слева и справа оси всегда образуются четыре простых числа. Выключить все из них “слою затмения” практически нереально. Таким образом мы знаем с большой долей вероятности где найти простые числа, какими бы большими они не были. Например, 3*5=15 (11,13,17,19), 3*5*7=105 (101,103,107,109) и так далее.
Давайте упростим сложность расчетов для слоя затмения. Для этого необходимо максимально уменьшить влияние верхних уровней. Эту область мы можем найти в левой половине первой пирамиды какой бы большой она не была. Также мы можем ограничить высоту, пирамида получится усеченной. Чтобы определить высоту необходимо найти такое простое число шаг которого выйдет за ось пирамиды. Например для пирамиды 3*5*7=105; 105/3=35, и это 37. Следовательно определяем потолок на 31 (предыдущее простое). Простые числа больше 31 на левую часть пирамиды больше не оказывают влияния, так как они перешагивают за ось пирамиды. А так как мы можем увеличивать пирамиду бесконечно, то бесконечно можем увеличивать эту «область спокойствия» (stable region) и выполнять в ней необходимые расчеты экстраполируя на все простые числа.
Применяя симметричную структуру мы можем облегчить поиск простых чисел. Возьмем «слой творения» 3*5*7=105. Получается размер пирамиды 210 и ось 105. Эта пирамида будет бесконечно повторяться с шагом 105+210n=315, 525, 735, 945, 1155 и т.д. Также 3*5*7*11=1155 это ось следующего уровня и размер большей пирамиды 2310. И она тоже повторяется бесконечно.
Зная левую половину пирамиды мы можем рассчитать для нее «точки творения» и продлить их в бесконечность. Все простые числа будут только в этих точках. Увеличивая пирамиду мы разреживаем эти точки и можем заглянуть все дальше и дальше с высокой вероятностью определяя места нахождения больших простых чисел. Мы также можем использовать несколько пирамид разного уровня и смотреть наложения на дальних участках еще больше увеличивая вероятность нахождения больших простых чисел. Используя этот метод процесс поиска становиться вычислительно достаточно простым.
Давайте посмотрим наглядно. Для слоя творения 3*5*7 мы получаем “точки творения”: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103. Это левая часть пирамиды, теперь найдем правую симметрию по формуле 105+(105-k) = 107, 109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199. Эта пирамида будет бесконечно повторяться и все “точки творения” для 3*5*7=210 можно найти по формуле p+210n. Разумеется не все эти числа будут простыми, но все простые числа будут только среди этих чисел, и никогда за пределами этой последовательности.
Возьмем любое число из точек творения и рассчитаем ее смещение с шагом 1000: 157+210n = 210157, 420157, 630157, 840157, 1050157, 1260157, 1470157, 1680157, 1890157, 2100157. Из них простыми являются: 210157, 1260157. Зная плотность распределения простых чисел мы всегда можем подобрать такое количество чисел в последовательности с одинаковым шагом, что там обязательно будет присутствовать простое число. Каким бы большим оно не было.
Если возьмем шаг 10000, то получим: 2100157, 4200157, 6300157, 8400157, 10500157, 12600157, 14700157, 16800157, 18900157, 21000157. Из которых простые: 6300157, 8400157, 10500157, 21000157. С шагом 100000, простыми будут: 21000157 и 147000157.
Теперь увеличим пирамиду до 3*5*7*11=1155 и формула для этой пирамиды стала p+1155n. Чем больше пирамида, тем более точный результат она дает для поиска больших простых чисел.
Так работает “ось творения” простых чисел. Все простые числа возникают только в этих местах и теперь мы знаем как их находить.
2. Бесконечность близнецов
Общая гипотеза о близнецах предполагает, что существует бесконечное количество чисел близнецов с различным промежутком. Как мы видим простые числа постоянно рождаются в слое творения. Таким образом доказательство этой гипотезы с учетом симметрии сводится к тому что слой творения всегда создает близнецов с разными промежутками и что они всегда находят себе место в видимой стабильной области.
Для этого убедимся что все возможные близнецы возникают на первом «слое творения» 3&5. И соответственно “слой затмения” не сможет закрыть всех близнецов, так как их количество будет расти очень быстро. И огромная часть таких пар будет оставаться в “видимой области”. Рассмотрим основной бинарный полиндром:
Для n+2: 11+13, 17+19, 29+1
Для n+4: 7+11, 13+17, 19+23
Для n+6: 1+7, 7+13, 11+17, 13+19, 17+23
Для n+8: 11+19, 23+1, 29+7
Для n+10: 1+11, 7+17, 13+23, 19+29
Для n+12: 1+13, 7+19, 11+23, 17+29, 19+1
Для n+14: 17+1, 23+7
Остальные близнецы будут являться сочетаниями этих 7 вариантов. Как видим в слое творения количество возникающих близнецов очень большое. Теперь мы видим, что задача о бесконечности близнецов из сферы сложных структур переходит в сферу сравнения количества и вполне может быть измерена и решена.
Для того чтобы «выключить» все возникающие пары близнецов необходимо чтобы “слой затмения” попадал не менее двух раз в точки близнецов каждого блока по 30 чисел «слоя творения», так как близнецы пытаются возникнуть в каждом блоке. А это невозможно, в чем можно будет убедиться далее.
3. Гипотеза Гольтбаха
Бинарная гипотеза Гольтбаха утверждает, то для каждого четного числа есть пара простых чисел, сумма которых дает это четное число.
Для решения этой задачи представим ряд чисел как линейку. Возьмем две линейки и направим их навстречу друг другу. Начав с 0 и раздвигая их мы получим все суммы четных чисел. Если на линейках мы отметим простые числа, то увидим как они симметрично находят себе пару.
Теперь усложним линейки. Мы уже рассмотрели ранее что простые числа можно разделить на “слой творения” и “слой затмения”. А в “слое творения” создается пучок из 8 последовательностей с шагом 30 которые создают места для возникновения простых чисел переплетаясь со «слоем затмения». Давайте оставим на линейках только “слой творения” и посмотрим переплетение пучков этих линеек. Так мы получим места в которых могут возникнуть искомые простые числа. Это блоки по 30 чисел и они идут друг за другом бесконечно.
Хоть так и не принято, но мы можем продлить линейки и в отрицательную область. Тогда мы можем найти не только сумму, но и разность простых чисел для получения четного числа. И бесконечно двигаться в область отрицательных простых чисел.
Мы видим места в которых могут возникнуть суммы простых чисел в виде бесконечного повторения блоков по 30 в сторону положительных и отрицательных чисел. Так как протопростые повторяются с шагом 30, а в “слое затмения” выключатели это только простые числа с нечетным шагом, то ни один уровень затмения не сможет закрыть все протопростые. И на линейках с бесконечной отрицательной частью будут бесконечно появляться пары простых, вычитание которых дает искомое четное.
Теперь надо найти объяснение почему простые числа всегда находятся в положительной части линеек. Чтобы убедиться в закономерности нам надо всего лишь сравнить это соотношение количественных значений:
сумма творений > сумма затмений — сумма переплетений затмений
Сперва определим сумму творений. Для этого возьмем один базовый блок творения из 30 чисел и пропустим через него встречную линейку из блоков творения. Посчитаем количество совмещений.
Подобные совмещения (желтым), будут повторятся бесконечно. Всего у нас 15 комбинаций из которых можно составить любое четное число. Например 12+30*1=42, 12+30*2=72 и совмещения для 12-й последовательности будут повторяться каждые 30 шагов. И так для всех 15 комбинаций.
Минимальное количество совмещений 3, от него будем опираться. Это значит, что минимальная сумма творений равна 3 на блок из 30. А так как совмещения повторяются каждые 30 шагов, то сумма творения равна 3/30 или 1/10. Может быть больше: 4/30 или 6/30, но это не так важно и можно игнорировать.
Следовательно мы теперь можем рассчитать минимальную сумму творения для каждого четного числа. Это каждое десятое. И надо четное число делить на 10. Например для 42 будет минимум 4 возможных совмещений, а для 72 будет 7. И так далее. Получается, сумма творений это n/10, где n — это четное число.
Как мы уже знаем из симметрии, не всякое «творение» сохраняется в «стабильной части» и многие из них выключаются «затмением». Теперь нам надо определить сумму «затмений». В «затмении» участвуют только простые числа, так как непростые нечетные всегда пересекаются с неким меньшим числом и не добавляет «затмения». Следовательно сумма затмений для наших творений будет: n/10 * ∑(1/p). Где p — это простое число от 7 до n/10.
Теперь надо определить сумму переплетений затмений. Это когда несколько простых чисел затмения попадают на одну точку совмещения. Для двойных переплетений это можно записать как: n/10 * ∑(1/pq). Где p и q — это простые числа. p<q. p от 7 до n/10.
Формула сравнения:
n/10 > n/10 ( ∑(1/p) — ∑(1/pq) )
Где ( ∑(1/p) — ∑(1/pq) ) < 1, это следует из классических результатов теории чисел, восходящих к Эйлеру и развитых Мертенсом. Следовательно условие будет всегда выполняться для любого нечетного n. И для любого n будут возникать точки совмещения в положительной части, которые не сможет полностью выключить слой затмения.
Эта же формула также показывает бесконечность всех пар близнецов. Только там будет не 3 точки совмещения, а 2 точки творения близнеца в каждом блоке творения. Следовательно будет не n/10, а n/15, но это не меняет соотношения и левая часть творения всегда будет больше правой части затмения.
Идентификатор препринта DOI: 10.5281/zenodo.17544099
Источник: habr.com
