Путешественник, который находит стабильность в мире природы

Математик Алессио Фигалли редко задерживается надолго на одном месте. Но его работы доказали устойчивость всего: от кристаллов до атмосферных фронтов, используя концепции, основанные на наполеоновских фортификациях. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

В компании Алессио Фигалли возникает ощущение, что всё под контролем. Молодой итальянский математик высок, подтянут и стильно одет, его «р» слетает с языка с опьяняющим римским акцентом. Он любит быть в окружении людей, и люди любят быть в его окружении. Именно поэтому ему так трудно хранить тайну, которую ему приходится хранить.

За последние несколько месяцев он навещал друзей в Англии, где живёт его жена, и в Риме, где он вырос. Он читал лекции друзьям и коллегам в Техасе, Северной Каролине, Париже и канадском горном городке Банф. В каждом месте он обедал с друзьями и встречался с давними коллегами. И ни при каких обстоятельствах ему не разрешалось раскрывать, что в феврале этого года ему позвонили и сообщили о присуждении ему медали Филдса – самой почётной награды в области математики.

«Я никому об этом не рассказываю, а значит, вы этого даже не осознаёте», — сказал Фигалли, профессор Швейцарского федерального технического университета в Цюрихе, ещё в апреле. «Это странное чувство, я никогда его не испытывал. Ты не получаешь никакой обратной связи, даже от друзей».

Теперь ожидание Фигалли окончено. Сегодня утром, на 28-м заседании Международного математического конгресса в Рио-де-Жанейро, он был официально назван одним из четырёх лауреатов премии Филдса. Премия вручается Международным математическим союзом раз в четыре года самым выдающимся математикам мира в возрасте до 40 лет. В 34 года Фигалли получил награду, имея в запасе ещё достаточно времени.

Для Фигалли медаль Филдса стала венцом череды наград, полученных им на пути к вершинам математического мира. Будучи студентом, изучавшим классические дисциплины и не питавшим особой симпатии к математике, он в корне изменил традиционную математическую дисциплину анализа, изучающую свойства определённых типов уравнений. Результаты Фигалли позволили получить глубокое математическое понимание всего: от формы кристаллов до погодных условий и таяния льда в воде.

«У него огромный спектр различных вкладов», — сказал Луис Каффарелли, математик из Техасского университета в Остине, который представит Фигалли на церемонии вручения медали Филдса в Рио.

Хотя математические результаты Фигалли разнообразны, многие из них основаны на новаторском использовании концепции оптимальной транспортировки. Эта идея возникла в XVIII веке, когда математик, работавший на Наполеона Бонапарта, пытался найти наиболее эффективный способ строительства сети земляных укреплений. Более двух столетий спустя Фигалли возглавляет сообщество математиков, которые осознали, что разрозненные математические задачи дадут результат, если рассматривать их как наилучший способ перемещения кучи земли с одного места на другое.

Быстрое исследование

Фигалли родился в Риме в 1984 году. Его отец был профессором инженерного дела, а мать – преподавателем классической литературы в старших классах. Дом Фигалли был полон книг по истории и мифологии Греции. В детстве Фигалли любил играть в футбол, смотреть мультфильмы и проводить время с друзьями – и, как он вспоминает, всегда принимал рациональное решение сначала сделать домашнее задание, чтобы в полной мере насладиться жизнью.

«Для меня всегда был важен баланс между тем, насколько хорошую оценку я мог получить, и тем, сколько времени мне нужно было потратить, чтобы её получить», — сказал он. «Я всегда был оптимизатором, хотел получить лучшее за меньшие усилия».

Фигалли с раннего возраста увлекался математикой. Он считал её лёгким предметом, который давался ему легко и без особых усилий, и ему потребовалось некоторое время, чтобы с энтузиазмом заняться им. В Италии ученики могут поступить либо в классическую, либо в научную школу. Фигалли питал тягу к науке, но родители хотели, чтобы он изучал классические дисциплины, и он охотно согласился.

«Я сказал: «Почему бы и нет?» Обычно в классических школах девочек больше, чем в школах с естественными науками, так что это был ещё один аргумент в пользу покупки», — сказал он.

Фигалли серьёзно занялся математикой в третьем классе старшей школы. Коллега его отца, математик, убедил Фигалли принять участие в Международной математической олимпиаде – открытом соревновании по решению задач, которое привлекает лучшие молодые математические умы мира. Фигалли с восторгом обнаружил, что существуют математические задачи, решения которых не были простыми – их приходилось придумывать самому. «Мне это очень понравилось. Это было настоящим открытием», – сказал он.

Воодушевленный Фигалли подал документы в Высшую нормальную школу Пизы, университет для студентов с математическими и естественными способностями. Там Фигалли быстро столкнулся с ограничениями своего образования: в 18 лет он сидел на занятиях по математике вместе с лучшими учениками Италии и даже не знал, как вычислить производную.

«Он не [выделялся], потому что ему нужно было восстановиться по сравнению с этими высококвалифицированными коллегами», — сказал Луиджи Амброзио, математик из Школы Нормале и научный руководитель Фигалли в аспирантуре.

Но любому, кто присмотрелся внимательнее, потенциал Фигалли был очевиден. Он быстро учился и уже через год догнал своих сверстников. В начале второго курса он начал работать над высокотехнологичной работой, которую недавно написал Амброзио. Амброзио ожидал, что новичку будет сложно с ней справиться. «Алессио пришёл ко мне меньше чем через неделю, и я понял, что он всё понимает», — сказал Амброзио. Фигалли получил степень бакалавра за два года.

В 2004 году Амброзио взял его в аспирантуру, а также организовал для него учёбу у Седрика Виллани, талантливого математика из Лиона (Франция), который несколько лет спустя сам стал лауреатом Филдсовской премии. В то время Виллани работал над книгой об интуитивной идее, переживающей математический ренессанс, — идее, истоки которой восходят к временам Французской революции.

Грязная математика

В 1790-х годах у Гаспара Монжа возникла проблема. Он был математиком, которому Наполеон поручил рассчитать, как доставить грунт на фронт для строительства укреплений. Монж хотел найти оптимальный способ доставки, то есть определить, какой вагон с грунтом куда следует доставить, чтобы минимизировать трудозатраты на выполнение задачи.

Монж добился определённого прогресса в решении этой проблемы, но затем она затерялась более чем на столетие. Она вновь возникла в 1940-х годах, когда экономист Леонид Канторович дал первое строгое математическое описание оптимальной транспортной задачи. Однако в течение последующих десятилетий она оставалась интересной главным образом для экономистов. Лишь в 1980-х и 1990-х годах математики начали осознавать, что оптимальная транспортная задача сама по себе является глубокой математической проблемой, а также инструментом, который можно использовать для решения других видов задач.

Оптимальная транспортировка настолько интуитивно понятна, что легко упустить из виду её математическую сложность. Сложность обусловлена огромным количеством вариантов перемещения кучи материалов из одного места в другое (или перемещения множества куч из разных исходных точек в разные пункты назначения).

Например, вы не ограничены перевозкой грунта вагонами. Возможно, имеет смысл разделить один вагон между двумя пунктами назначения. Или разделить кучу на тачки, или разбить её на лопаты, отправляя каждую в отдельный, тщательно выбранный пункт назначения. Вы можете сделать единицу транспортировки бесконечно малой в поисках оптимального способа перемещения материала — и здесь на помощь приходит анализ как расширенная форма исчисления, изучение изменений в бесконечно малых или больших масштабах.

«Вы можете решить, куда поместить этот фрагмент — сюда, а тот — туда. У вас бесконечное количество степеней свободы, и только с помощью продвинутых математических инструментов вы можете по-настоящему избавиться от этой бесконечной размерности и найти в каком-то смысле решение», — сказал Амбросио.

К тому времени, как Фигалли начал учиться в Нормальной школе, математики уже осознали, что математические принципы оптимальной транспортировки полезны не только для перемещения грунта. Они поняли, что всякий раз, когда нужно сравнить две фигуры (а математики часто этим занимаются), можно узнать что-то новое, размышляя о наиболее эффективном, или оптимальном, способе преобразования одной фигуры в другую.

Основные черты

Фигалли преподаёт в Швейцарской высшей технической школе Цюриха с 2016 года, переехав из Техасского университета в Остине. В Цюрихе он живёт в меблированной квартире на склоне холма над кампусом. Он редко бывает там дольше двух недель подряд. Вместо этого он часто бывает в Англии, где его жена, Микаэла Якобелли, работает математиком в Даремском университете. Они познакомились в 2013 году, когда Фигалли выступал с докладом в Римском университете, где Якобелли был докторантом. Якобелли вспоминает, как его поразила реакция Фигалли, когда преподаватель, представляя его, перечислил длинный список его достижений.

«Алессио выглядел немного смущённым, и мне это показалось очень милым, потому что он очень скромный. В обычной жизни я всегда забываю, насколько он хорош в математике», — сказала она.

Нажимая кнопку просмотра этого видео, вы соглашаетесь с нашей политикой конфиденциальности.

У Фигалли много коллег по всему миру. Он постоянно в разъездах – по его словам, смена часовых поясов на него практически не влияет – и часто принимает у себя в Цюрихе других математиков. В мае этого года Дэвид Джерисон из Массачусетского технологического института посетил Фигалли в надежде продвинуться в решении проблемы, связанной с неравенством Брунна-Минковского. Они начали прорабатывать свои идеи у доски. Порой они становились всё быстрее и взволнованнее, разыгрывая следствия какого-нибудь многообещающего нового предположения. В другие моменты они молчали минуту или больше, понимая, что идея не работает: Джерисон сидел, обхватив голову руками, Фигалли прислонялся к стене, пытаясь понять, куда двигаться дальше. Но уже на второй день они добились реального прогресса. «Алессио невероятно быстр», – позже сказал Джерисон. «Быстро переходим к существенным вопросам и быстро выделяем важный момент, который каким-то образом даст нам информацию».

Многие коллеги отмечают быстроту работы Фигалли — как скорость, с которой он разбирается в технических деталях, так и скорость, с которой он понимает суть новой проблемы. Франческо Маджи, математик из Техасского университета в Остине, вспоминает, что, когда он начал работать с Фигалли над устойчивостью кристаллов, Фигалли очень быстро узнал о предмете столько же, сколько и сам Магги.

«Когда Алессио был студентом, одним из самых удивительных моментов работы с ним было наблюдать, как быстро он воплощал в жизнь новую идею, — сказала Мэгги. — У него была редкая способность мгновенно помещать идею в нужный контекст и творчески её использовать».

Столкнувшись с любой новой задачей, Фигалли предпочитает начинать с разработки геометрического понимания её поведения. Например, в случае кристаллов он набросал некоторые из самых экстремальных вариантов их деформации при нагревании, понимая, что окончательное доказательство устойчивости должно будет учитывать эти случаи.

«Мне нравится рисовать. Я интуитивно понимаю, что происходит, и легко улавливаю ключевые моменты», — сказал он.

Чтобы стать успешным математиком, нужно обладать множеством разных качеств: техническими навыками, изобретательностью и способностью упорно работать в условиях большой неопределённости. Фигалли щедро наделён всеми этими качествами, но больше всего в нём выделяется его характер: математика, кажется, не тяготит его.

«Алессио не показывает никакой боли», — сказал Амбросио. «Возможно, он и страдает, но это незаметно. У него очень простой и дружелюбный характер, и я думаю, что это залог его успеха».

Неожиданное вдохновение

В итальянской математике существует долгая история изучения так называемых «минимальных поверхностей» — фигур, минимизирующих некую величину. Круг — простой пример минимальной поверхности, поскольку это фигура, минимизирующая периметр, необходимый для ограничения определённой площади.

Минимальные поверхности встречаются во многих областях математики. Они также знакомы нам в повседневной жизни. Вспомните, например, выдувание мыльного пузыря: пузырь удлиняется и колышется, расширяясь от палочки, но после отрыва принимает форму сферы. Причина в том, что для мыльной плёнки сфера — наиболее устойчивая форма: она занимает наименьшую площадь поверхности и, следовательно, требует наименьшего количества энергии для поддержания. Кристаллы — ещё одна минимальная форма. Они выглядят такими — симметричными и многоугольными — потому что для кристаллических материалов такая форма требует наименьшего количества энергии.

Первый крупный результат Фигалли как математика был связан с доказательством устойчивости подобных форм, минимизирующих энергию. Доказательства устойчивости, подобные этим, представляют собой особую и важную разновидность математических результатов. Они служат способом подтверждения математических представлений физических явлений. Когда физики говорят, что мыльный пузырь устойчив, они имеют в виду, что если его слегка подтолкнуть, он лишь слегка колеблется — толчок не вызывает резкого изменения формы. Математики разработали формулы и неравенства, предназначенные для описания того, что происходит, когда подталкиваешь мыльный пузырь; они хотели бы доказать, что эти математические представления обладают степенью устойчивости, соответствующей тому, что мы наблюдаем в природе.

Аналогично с кристаллами можно задаться вопросом: если взять идеальный кристалл, а затем добавить к нему небольшое количество энергии, слегка нагрев его, будет ли полученная форма похожа на исходную или будет существенно отличаться? Эмпирически очевидно, что эти две формы не сильно отличаются. Но математики хотели бы точно количественно оценить эту устойчивость.

В работе, завершённой в 2007 году и опубликованной в 2010 году, Фигалли, Магги и Альдо Прателли представили количественное доказательство устойчивости минимизирующих энергию форм, таких как кристаллы и мыльные пузыри. (Хотя мыльные пузыри и кристаллы выглядят совершенно по-разному, математические методы анализа их устойчивости одинаковы.) Фигалли помнит момент, когда они нашли ключевую идею, необходимую для создания доказательства. Он и его коллеги были на конференции в Эдинбурге, где работали над проблемой устойчивости по много часов в день. Они возвращались домой из бара около часа ночи, когда Магги понял, что, возможно, они могли бы использовать теорему, называемую неравенством следов, для преодоления последних препятствий на пути к доказательству.

«Франческо сказал что-то вроде: «Мы могли бы использовать неравенство следов, но я не уверен, что оно работает», а я подумал: «Подождите, вот оно!» В тот момент, когда он произнёс это слово, оно так четко врезалось мне в память», — сказал Фигалли.

Их доказательство представляет собой точное неравенство, которое гласит, что если увеличить энергию системы, например, мыльного пузыря или кристалла, на некоторую величину, то результирующая форма будет отклоняться от исходной не более чем на некоторую другую величину. Они также доказали, что их неравенство является оптимальным, то есть оно накладывает строгий предел на степень искажения формы кристалла дополнительной энергией.

«Мы доказали, что если величина добавленной энергии равна заданной величине, то отклонение от идеальной формы будет не более этой величины. Это чётко выраженный количественный показатель», — сказал Магги.

Это неравенство связано с оптимальным переносом. Представьте, что вы берёте идеальный кристалл и слегка деформируете его нагреванием. Теперь представьте, что две версии кристалла расположены рядом друг с другом. На самом деле вам нужно узнать, находятся ли они в стабильном соотношении друг с другом. Один из способов исследовать этот вопрос — рассмотреть оптимальный способ перемещения всего материала из исходного кристалла в немного более крупный деформированный кристалл. Если вы можете доказать что-то об оптимальной схеме переноса между двумя формами, вы докажете что-то об отношениях между самими формами.

«Дело в том, что все свойства новых объектов, которые вы хотите понять, закодированы в транспорте», — сказал Фигалли. «Вы переводите вопрос с понимания формы объекта на понимание транспортной карты».

Второй важный результат Фигалли имел схожий характер. В 2011 и 2012 годах он опубликовал ряд статей совместно с Гвидо Де Филипписом, ныне работающим в Международной школе передовых исследований в Триесте, Италия. Первая доказала «регулярность» уравнения Монжа-Ампера, которое встречается во всей геометрии. (Оно названо в честь того самого Монжа, который пытался помочь Наполеону построить укрепления.) Как и устойчивость, регулярность — одна из важнейших вещей, которые нужно знать о любом математическом представлении физического явления. С физической точки зрения, регулярность означает, что система развивается плавно. Если вы заметите облако в небе и понаблюдаете, как оно меняет форму, вы увидите, что оно меняется постепенно. Оно не разрывается, принимая совершенно новую форму. Если бы вы описали эволюцию облака математически, вы бы увидели то же самое: по мере постепенного изменения входных данных уравнения, его выходное значение (которое представляет форму облака) также изменяется постепенно.

Общий результат, касающийся уравнения Монжа-Ампера, позволил им затем доказать регулярность полугеострофических уравнений, используемых в метеорологии для моделирования движения погодных фронтов. Здесь, опять же, их работа включала в себя оптимальный перенос. Фигалли и Де Филиппис рассматривали оптимальную карту переноса, которая преобразует начальную форму и положение фронта в его последующие форму и положение. Они доказали, что точки, расположенные близко друг к другу в начальной форме, остаются близко друг к другу и в последующей форме, а затем показали, как эта особенность карты переноса подразумевает регулярность решений полугеострофических уравнений.

«Первоначально это было предложено метеорологами, а затем, в каком-то смысле, Алессио удалось проделать глубокую чистую математику», — сказал Каффарелли. «Он использует это сочетание: берёт проблему, которая в принципе является естественной проблемой из другой области, проводит математические расчёты и предлагает решение».

Источник: www.quantamagazine.org