В середине XIX века Бернхард Риман предложил новый подход к осмыслению математических пространств, заложив основу для современной геометрии и физики.
Иллюстрация: Марк Белан/Quanta MagazineСохранить эту историю Сохранить эту историю
Оригинальная версия этой статьи была опубликована в журнале Quanta Magazine.
Стоя посреди поля, мы легко можем забыть, что живем на круглой планете. Мы настолько малы по сравнению с Землей, что с нашей точки зрения она кажется плоской.
Мир полон таких форм — тех, которые кажутся плоскими живому на них муравью, хотя на самом деле они могут иметь более сложную глобальную структуру. Математики называют эти формы многообразиями. Введенные Бернхардом Риманом в середине XIX века, многообразия изменили представление математиков о пространстве. Оно перестало быть просто физической средой для других математических объектов, а стало абстрактным, четко определенным объектом, достойным изучения сам по себе.
Эта новая перспектива позволила математикам строго исследовать многомерные пространства, что привело к зарождению современной топологии — области, посвященной изучению математических пространств, таких как многообразия. Многообразия также заняли центральное место в таких областях, как геометрия, динамические системы, анализ данных и физика.
Сегодня они предоставляют математикам общий словарь для решения самых разных задач. Они так же фундаментальны для математики, как алфавит для языка. «Если я знаю кириллицу, знаю ли я русский язык?» — говорит Фабрицио Бьянки, математик из Пизанского университета в Италии. «Нет. Но попробуйте выучить русский язык, не зная кириллицы».
Итак, что же такое многообразия и какой словарь они предоставляют?
Идеи обретают форму
На протяжении тысячелетий геометрия означала изучение объектов в евклидовом пространстве, плоском пространстве, которое мы видим вокруг себя. «До 1800-х годов „пространство“ означало „физическое пространство“, — говорил Хосе Феррейрос, философ науки из Севильского университета в Испании, — аналог линии в одном измерении или плоской плоскости в двух измерениях.
В евклидовом пространстве всё ведёт себя так, как и ожидалось: кратчайшее расстояние между любыми двумя точками — это прямая линия. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Инструменты математического анализа надёжны и хорошо определены.
Однако к началу XIX века некоторые математики начали исследовать другие виды геометрических пространств — не плоские, а скорее изогнутые, как сфера или седло. В таких пространствах параллельные линии могут в конечном итоге пересекаться. Сумма углов треугольника может быть больше или меньше 180 градусов. А вычисления в высшей математике могут стать гораздо менее простыми.
Математическое сообщество с трудом принимало (или даже понимало) этот сдвиг в геометрическом мышлении.
Но некоторые математики хотели развить эти идеи еще дальше. Одним из них был Бернхард Риман, застенчивый молодой человек, который первоначально планировал изучать теологию — его отец был пастором — прежде чем его увлекла математика. В 1849 году он решил получить докторскую степень под руководством Карла Фридриха Гаусса, который изучал внутренние свойства кривых и поверхностей, не зависящие от окружающего их пространства.
Бернхард Риман широко считается одним из величайших математиков в истории. Его работы произвели революцию в геометрии, топологии, теории чисел и многих других областях.
Фотография: Общественное достояние.В 1854 году Риману было поручено прочитать лекцию, чтобы получить должность преподавателя в Гёттингенском университете. Тема его лекции: основы геометрии. 10 июня, несмотря на боязнь публичных выступлений, он изложил новую теорию, в которой обобщил идеи Гаусса о геометрии поверхностей на произвольное число измерений (и даже на бесконечные измерения).
Лекция сразу же произвела на Гаусса сильное впечатление, ведь в ней затрагивались не только математика, но и философия и физика. Однако большинство математиков сочли идеи Римана слишком расплывчатыми и абстрактными, чтобы принести большую пользу. «Многие ученые и философы говорили: „Это чепуха“», — сказал Феррейрос. И поэтому на протяжении десятилетий работа Римана в значительной степени игнорировалась. Лекция Римана была опубликована только в 1868 году, через два года после его смерти.
Но к концу XIX века такие великие математики, как Анри Пуанкаре, признали важность идей Римана. А в 1915 году Альберт Эйнштейн использовал их в своей общей теории относительности, выведя их из области философской абстракции в реальный мир. К середине XX века они стали неотъемлемой частью математики.
Риман ввёл концепцию, которая могла охватывать все возможные геометрические формы в любом количестве измерений. Концепция, которая изменила представление математиков о пространстве.
Многообразие.
Намеченная территория
Термин «многообразие» происходит от немецкого слова Римана Mannigfaltigkeit, что означает «разнообразие» или «множественность».
Многообразие — это пространство, которое выглядит евклидовым, если увеличить масштаб любой из его точек. Например, окружность — это одномерное многообразие. Если увеличить масштаб в любой точке, она будет выглядеть как прямая линия. Муравей, живущий на окружности, никогда не узнает, что она на самом деле круглая. Но если увеличить масштаб восьмерки, прямо в точке ее пересечения, она никогда не будет выглядеть как прямая линия. Муравей поймет в этой точке пересечения, что находится не в евклидовом пространстве. Следовательно, восьмерка не является многообразием.
Аналогично, в двух измерениях поверхность Земли представляет собой многообразие; если достаточно сильно увеличить масштаб в любой точке, она будет выглядеть как плоская двумерная плоскость. Но поверхность двойного конуса — фигуры, состоящей из двух конусов, соединенных вершинами, — не является многообразием.
Иллюстрация: Марк Белан/Quanta MagazineМногообразия решают проблему, с которой математикам иначе пришлось бы иметь дело: свойства фигуры могут меняться в зависимости от природы и размерности пространства, в котором она находится (и того, как она расположена в этом пространстве). Например, положите нить на стол и соедините ее концы, не поднимая ее. Вы получите простую петлю. Теперь подержите нить в воздухе и свяжите ее концы вместе. Рассматривая нить в трех измерениях, вы можете пропустить ее над и под собой, прежде чем соединить концы, создавая всевозможные узлы, выходящие за рамки простой петли. Все они представляют собой одномерное многообразие — петлеобразную нить, — но имеют разные свойства при рассмотрении в двух и трех измерениях.
Математики избегают подобных двусмысленностей, сосредотачиваясь на внутренних свойствах многообразия. Определяющее свойство многообразий — то, что в любой точке они выглядят евклидовыми — чрезвычайно полезно в этом отношении. Поскольку любой небольшой участок многообразия можно рассматривать в терминах евклидова пространства, математики могут использовать традиционные методы математического анализа, например, для вычисления его площади или объема, или для описания движения на нем.
«Если я знаю кириллицу, значит ли это, что я знаю русский язык? Нет. Но попробуйте выучить русский язык, не зная кириллицы».
Фабрицио Бьянки, Пизанский университет
Для этого математики делят данное многообразие на несколько перекрывающихся участков и представляют каждый из них «картой» — набором некоторого количества координат (равных размерности многообразия), которые указывают, где вы находитесь на многообразии. Крайне важно также записать правила, описывающие взаимосвязь координат перекрывающихся карт. Совокупность всех этих карт называется атласом.
Затем вы можете использовать этот атлас, диаграммы которого переводят меньшие области вашего потенциально сложного многообразия в привычное евклидово пространство, чтобы измерять и исследовать многообразие по одному участку за раз. Если вы хотите понять, как функция ведет себя на многообразии, или получить представление о его глобальной структуре, вы можете разбить задачу на части, решить каждую часть на отдельной диаграмме в евклидовом пространстве, а затем объединить результаты со всех диаграмм в атласе, чтобы получить полный ответ, который вы ищете.
Сегодня этот подход повсеместно используется в математике и физике.
Многочисленные области применения
Многообразия играют решающую роль в нашем понимании Вселенной, например. В своей общей теории относительности Эйнштейн описал пространство-время как четырехмерное многообразие, а гравитацию — как кривизну этого многообразия. И трехмерное пространство, которое мы видим вокруг себя, также является многообразием — многообразием, которое, как и все многообразия, кажется евклидовым тем из нас, кто в нем живет, хотя мы все еще пытаемся понять его глобальную форму.
Даже в тех случаях, когда многообразия, казалось бы, отсутствуют, математики и физики пытаются переформулировать свои задачи на языке многообразий, чтобы использовать их полезные свойства. «В физике очень многое сводится к пониманию геометрии, — говорит Джонатан Сорс, физик-теоретик из Принстонского университета. — И часто это происходит неожиданным образом».
Рассмотрим двойной маятник, состоящий из одного маятника, подвешенного на конце другого. Небольшие изменения начальных условий двойного маятника приводят к тому, что он описывает совершенно разные траектории в пространстве, что делает его поведение труднопредсказуемым и сложным для понимания. Но если представить конфигурацию маятника всего двумя углами (один из которых описывает положение каждой из его ветвей), то пространство всех возможных конфигураций будет выглядеть как пончик или тор — многообразие. Каждая точка на этом торе представляет одно из возможных состояний маятника; пути на торе представляют траектории, по которым маятник может двигаться в пространстве. Это позволяет исследователям переводить свои физические вопросы о маятнике в геометрические, делая их более интуитивными и простыми для решения. Именно так они изучают движение жидкостей, роботов, квантовых частиц и многого другого.
Аналогичным образом, математики часто рассматривают решения сложных алгебраических уравнений как многообразие, чтобы лучше понять их свойства. А многомерные наборы данных — например, записи активности тысяч нейронов в мозге — они анализируют, как эти точки данных могут располагаться на многообразии меньшей размерности.
По словам Сорса, вопрос о том, как ученые используют многообразия, сродни вопросу о том, как они используют числа. «Они лежат в основе всего».
Оригинальная статья перепечатана с разрешения журнала Quanta Magazine, независимого издания Фонда Саймонса, миссия которого заключается в повышении осведомленности общественности о науке путем освещения научных разработок и тенденций в области математики, физических и биологических наук.
Источник: www.wired.com
