Топологи доказали два новых результата, которые вносят порядок в невероятно сложное изучение четырёхмерных фигур. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Центральными объектами изучения топологии являются пространства, называемые многообразиями, которые при увеличении кажутся плоскими. Например, поверхность сферы представляет собой двумерное многообразие. Топологи хорошо разбираются в таких двумерных многообразиях. Они разработали инструменты, позволяющие им изучать трёхмерные многообразия и многообразия с пятью и более измерениями.
Но в четырёх измерениях «всё немного сходит с ума», — говорит Сэм Хьюз, постдокторант Оксфордского университета. Инструменты перестают работать; возникает необычное поведение. Как объяснил Том Мровка из Массачусетского технологического института: «Места достаточно для интересных явлений, но недостаточно, чтобы они разваливались».
В начале 1990-х годов Мровка и Питер Кронхаймер из Гарвардского университета изучали, как двумерные поверхности могут быть вложены в четырёхмерные многообразия. Они разработали новые методы описания этих поверхностей, что позволило им получить важнейшее представление о ранее недоступной структуре четырёхмерных многообразий. Их открытия показали, что все члены широкого класса поверхностей относительно просто пересекают своё родительское многообразие, оставляя неизменным одно фундаментальное свойство. Однако никто не смог доказать, что это всегда верно.
В феврале Хьюз вместе с Дэниелом Руберманом из Университета Брандейса построил серию контрпримеров — «сумасшедших» двумерных поверхностей, которые рассекают свои родительские многообразия способами, которые математики считали невозможными. Контрпримеры показывают, что четырёхмерные многообразия ещё более удивительно разнообразны, чем представлялось математикам в предыдущие десятилетия. «Это действительно прекрасная статья», — сказал Мровка. «Я просто продолжаю её читать. Там много интересного».
Составление списка
В конце прошлого года Руберман помог организовать конференцию, на которой был составлен новый список важнейших открытых проблем в топологии малых размерностей. Готовясь к ней, он изучил предыдущий список важных нерешённых топологических проблем 1997 года. В нём был вопрос, который Кронхаймер сформулировал, основываясь на своей работе с Мровкой. «Он там был, но, кажется, о нём немного забыли», — сказал Руберман. Теперь он подумал, что может на него ответить.
Чтобы понять вопрос, полезно сначала рассмотреть две ключевые идеи: односвязные многообразия и фундаментальную группу.
Односвязные многообразия — это пространства, через которые не проходят никакие отверстия. В одном измерении бесконечная прямая односвязна, а окружность — нет. В двух измерениях бесконечная плоскость и поверхность сферы односвязны, а поверхность бублика — нет.
Математики делают это различие строгим, помещая петли на многообразие и рассматривая, как они могут деформироваться. Если любую петлю можно сжать в точку, то многообразие односвязно. Например, на плоскости или поверхности сферы это возможно — представьте себе натяжение нити. Но если эта нить обвивает окружность, она не может сжаться. Аналогично, на поверхности бублика петли, проходящие вокруг центрального отверстия или через него, не могут быть деформированы в одну точку. Сам бублик этому препятствует.
Математики классифицируют несвязные пространства, вычисляя их «фундаментальную группу» — объект, структура которого отражает сжатие петель. Односвязные многообразия имеют «тривиальную» фундаментальную группу, состоящую всего из одного элемента. Но многообразия с отверстиями имеют более сложные фундаментальные группы.
Односвязные четырёхмерные многообразия всё ещё могут быть весьма странными. Чтобы понять их, математики размышляют о том, что может произойти с двумерными поверхностями, вложенными в них.
По аналогии, представьте себе петлю из нити, разложенную на листе бумаги. С ней мало что можно сделать. Но поднимите её в трёхмерное пространство и завяжите на ней сложные узлы. Способы манипулирования нитью — одномерным многообразием — проясняют природу пространства, в котором она находится.
Аналогично, в более сложном мире четырёх измерений двумерные поверхности являются «своего рода ключом ко всему этому, во многих отношениях», — сказал Руберман. «Поверхности говорят о четырёхмерном многообразии гораздо больше, чем можно было бы ожидать». Поверхности позволяют различать многообразия: если поверхность может существовать внутри одного многообразия, но не внутри другого, вы знаете, что эти многообразия разные. Кроме того, поверхности можно использовать для построения новых многообразий из старых.
Поверхности также имеют соответствующие фундаментальные группы. Как и их дополнения — часть многообразия, остающаяся после удаления самой поверхности. Удалив экватор из двумерных многообразий, таких как, например, поверхность сферы или бублика, мы получим две разобщённые половины. Но поверхность бублика останется цельной, если удалить вертикальное кольцо вместо горизонтального. Аналогично, в зависимости от того, как вы разрезаете поверхность из четырёхмерного многообразия, можно получить разные виды дополнений.
Ещё в 1990-х годах Мровка и Кронхаймер исследовали, что происходит при вырезании двумерной поверхности из четырёхмерного многообразия. Если само многообразие односвязно, каким условиям должны удовлетворять поверхности, чтобы гарантировать односвязность их дополнений?
Кронхаймер и Мровка знали, что некоторые виды поверхностей могут иметь дополнения, которые не являются односвязными. Но их работа, по-видимому, указывала на то, что другой широкий класс поверхностей всегда должен иметь односвязные дополнения.
Почти три десятилетия никто не мог найти пример поверхности в этом классе, дополнение к которой не было бы односвязным. Но осенью 2023 года, столкнувшись с этой проблемой, Руберман решил, что сможет это сделать. Вместо того чтобы начать с четырёхмерного многообразия и вырезать поверхность, он взял двумерную поверхность с необходимыми свойствами и построил вокруг неё многообразие.
Сначала он превратил поверхность в четырёхмерный комок. Этот четырёхмерный комок имел трёхмерную границу, подобно тому, как трёхмерный объект, например, мяч, имеет двумерную границу. Руберман хотел присоединить к другой стороне границы тщательно подобранное четырёхмерное многообразие, которое служило бы дополнением к поверхности. Если бы этот трюк сработал, то это многообразие имело бы сложную фундаментальную группу, однако фундаментальная группа всех объектов, взятых вместе, была бы тривиальной. Следовательно, вновь построенное четырёхмерное многообразие было бы односвязным.
Но чтобы склеить всё правильно, ему нужно было показать, что фундаментальная группа нового дополнения удовлетворяет всем видам свойств. «Я понятия не имел, как это сделать», — сказал Руберман.
Затем, в январе, Хьюз, специалист по теории групп, выступил с докладом в Университете Брандейса. Руберман присутствовал в зале. Он понял, что у Хьюза может быть недостающее звено, которое он искал. Они встретились на следующий день, и за несколько часов разработали основные идеи, которые им были нужны. Руберман упустил «то, что специалисты по теории групп вычисляют уже 70–80 лет», — сказал Хьюз. «Мы занимаемся этим уже целую вечность». К концу недели у них было готовое доказательство.
«Я знал кое-что, и он знал кое-что, и вместе мы знали достаточно, чтобы просто сделать это», — сказал Руберман.
«Из-за того, как в доказательстве используется теория групп, оно «немного необычно», — сказала Мэгги Миллер из Техасского университета в Остине. — «Оно написано немного иначе, чем было бы удобно большинству специалистов по четырёхмерной топологии».
Результат — ещё один пример того, насколько сложной может быть четырёхмерная топология. «Существует больше интересных вложений поверхностей, чем мы думали», — сказал Хьюз. Это затрудняет классификацию многообразий и доказательство других результатов о них.
Тем не менее, в марте Инанч Байкур из Массачусетского университета в Амхерсте, который в прошлом году совместно с Руберманом организовал конференцию по составлению списков, объявил о решении другой проблемы, связанной с односвязными четырехмерными многообразиями из списка 1997 года.
Похоже, топологи наводят порядок в доме.
Исправление: 23 апреля 2024 г.
В оригинальной версии этой статьи говорилось, что если разрезать сферу или пончик пополам, то получится два полушария. Правильнее называть их половинками.
Источник: www.quantamagazine.org
