Математики давно задавались вопросом, как ведут себя «фигуры постоянной ширины» в высших измерениях. Удивительно простая конструкция дала им ответ. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Эти три объекта имеют постоянную ширину, что означает, что если их поместить между двумя плоскими поверхностями, они будут катиться плавно, как мячи, — хотя на первый взгляд может показаться, что они не способны на это.
Введение
В 1986 году, после взрыва космического челнока «Челленджер» на 73-й секунде полёта, выдающийся физик Ричард Фейнман был вызван для выяснения причин неисправности. Позже он продемонстрировал, что уплотнительные кольца, предназначенные для соединения секций твердотопливных ускорителей челнока, вышли из строя из-за низких температур, что привело к катастрофическим последствиям. Но он также обнаружил немало других ошибок.
Среди них был способ, которым НАСА рассчитало форму уплотнительных колец. Во время предполётных испытаний инженеры агентства неоднократно измеряли ширину уплотнений, чтобы убедиться в их отсутствии деформации. Они пришли к выводу, что если уплотнительное кольцо слегка сплющилось — например, стало овальным, а не круглым, — то его диаметр по всей окружности уже не будет одинаковым.
Эти измерения, как позже писал Фейнман, оказались бесполезными. Даже если бы инженеры провели бесконечное число измерений и обнаружили, что диаметр каждый раз остаётся совершенно одинаковым, существует множество «тел постоянной ширины», как их называют. Только одно из них — круг.
Пожалуй, самым известным некруглым телом постоянной ширины является треугольник Рёло, который можно построить, взяв центральную область перекрытия на диаграмме Венна из трёх кругов. При заданной ширине в двух измерениях треугольник Рёло — это фигура постоянной ширины с наименьшей возможной площадью. Наибольшую площадь имеет круг.
В трёх измерениях самое большое тело постоянной ширины — это шар. В более высоких измерениях это просто многомерный шар — форма, которую можно получить, если держать иглу в точке и позволять ей свободно вращаться во всех направлениях.
Но математики давно задавались вопросом, всегда ли возможно найти меньшие формы постоянной ширины в высших измерениях. Такие формы существуют в трёх измерениях: хотя эти капли, похожие на шарики Рёло, могут выглядеть немного заострёнными, поместите их между двумя параллельными плоскостями, и они будут катиться плавно, как мяч. Но гораздо сложнее сказать, верно ли это в общем случае. Возможно, в высших измерениях мяч оптимален. И поэтому в 1988 году Одед Шрамм, тогда аспирант Принстонского университета, задал простой на первый взгляд вопрос: можно ли построить тело постоянной ширины в любом измерении, экспоненциально меньшем, чем мяч?
В статье, опубликованной в Интернете в мае, пять исследователей, четверо из которых выросли на Украине и знают друг друга со времен учебы в старшей школе или колледже, сообщили, что ответ — да.
Результат не только решает давнюю проблему, но и даёт математикам первое представление о том, как могут выглядеть эти загадочные многомерные фигуры. Хотя эти фигуры легко определить, они удивительно загадочны, говорит Шири Артштейн, математик из Тель-Авивского университета, не участвовавшая в исследовании. «Любая новая информация, которую мы о них узнаём, любая новая конструкция или вычисление, сейчас интересны». Теперь исследователи наконец могут получить доступ к уголку геометрической вселенной, который когда-то был совершенно недостижимым.
Посадка семени
Андрей Арман и Данил Радченко познакомились в середине 2000-х в киевской школе с математическим уклоном и также играли в команде, которая участвовала в украинской олимпиаде по математике. Они подружились, но не поддерживали тесных отношений. Позже, когда их математические исследования независимо друг от друга вовлекли их в орбиты Андрея Примака и Андрея Бондаренко, которые вместе учились в Киевском национальном университете в 1990-х, они возобновили общение. С тех пор четверо математиков разъехались по разным городам мира и занимаются разными исследовательскими программами, но встречаются дважды в неделю в Zoom, чтобы вместе работать над сложными геометрическими доказательствами.
Недавно Андрей Бондаренко (слева) и Данил Радченко вместе со своими коллегами доказали, что в больших измерениях всегда можно найти малые формы постоянной ширины.
Изначально фигуры постоянной ширины не стояли в повестке дня. В прошлом году группа пыталась ответить на смежный вопрос, известный как проблема Борсука, который ставил в тупик выдающихся математиков более века. Но на их встречах постоянно возникала одна идея: когда Шрамм в 1980-х годах задал свой вопрос о телах постоянной ширины, он также предположил, что понимание таких фигур может дать способ решения проблемы Борсука.
Украинские математики придерживались другого подхода, и некоторые из них не хотели менять фокус. Но Бондаренко, ныне работающий в Норвежском университете естественных и технических наук, настоял на том, чтобы они попробовали, даже если это не принесло им прямой пользы. «Он всегда подчёркивал, что задача важна сама по себе», — сказал Арман, который сейчас работает постдокторантом в Университете Манитобы. В конце концов, остальные члены команды согласились попробовать.
Чтобы понять их работу, полезно вспомнить о двумерном треугольнике Рёло. Допустим, вы хотите построить треугольник Рёло заданной ширины. Сначала нарисуйте равносторонний треугольник — то, что математики называют затравкой. Выберите точку на границе треугольника и опишите вокруг неё окружность радиусом, равным желаемой ширине. Теперь проделайте то же самое в каждой точке на границе треугольника, чтобы получить бесконечное множество окружностей.
Посмотрите на область пересечения этих окружностей. Где-то внутри неё вы сможете найти тело постоянной ширины — вам просто нужно определить, какое подмножество исходного числа вам действительно нужно. В этом случае вы можете рассматривать только три вершины равностороннего треугольника, а не все точки на его границе. Нарисуйте окружности вокруг этих трёх точек, и вы получите диаграмму Венна; её область пересечения — треугольник Рёло.
В более высоких измерениях можно использовать тот же подход. Начнём с набора точек: вашего начального числа. Нарисуйте шар вокруг каждой точки, найдите их пересечение и найдите тело постоянной ширины, находящееся внутри этого нового пространства. Но в более высоких измерениях гораздо сложнее определить, какое подмножество начального числа даст вам нужную форму.
Арман, Бондаренко, Примак и Радченко экспериментировали с различными начальными значениями и в конце концов пришли к конкретной кривой, которую хотели использовать. Они знали, что эта кривая даст им область, содержащую достаточно малое тело постоянной ширины. Но они хотели понять, как будет выглядеть само тело постоянной ширины. В поисках ответа Арман наткнулся на сообщение от 2022 года на сайте вопросов и ответов MathOverflow. Автор сообщения, Федор Назаров из Кентского государственного университета, самостоятельно пытался ответить на вопрос Шрамма, и его подход выглядел удивительно похожим на подход украинской команды, хотя он и застрял. Квартет пригласил его присоединиться к ним. Именно тогда Назаров понял то, что упустили остальные: форма, которую дала им их начальное значение, не просто содержала тело постоянной ширины. Она и была им.
Андрей Арман (слева) и Андрей Примак составляют половину команды из четырех математиков из Украины, которые сотрудничают уже много лет.
Их работа предлагает удивительно простой алгоритм построения n-мерной фигуры постоянной ширины, объём которой не превышает 0,9n объёма шара. Этот предел, по словам Армана, в некотором смысле произволен. Должно быть, можно найти и более меньшие тела постоянной ширины. Но этого достаточно, чтобы ответить на вопрос Шрамма, доказав, что с увеличением числа измерений разница между объёмами наименьшего и наибольшего тел постоянной ширины растёт экспоненциально. Несмотря на сложность идей, лежащих в основе их результата, сказал Арман, их конструкцию должны уметь проверить даже студенты.
Двигаемся дальше
Гил Калай из Еврейского университета лично рад тому, что получил ответ для Шрамма, своего бывшего студента, погибшего в 2008 году в результате несчастного случая во время похода, несмотря на значительные успехи в решении вопросов во многих различных областях. Но Калай также с нетерпением ждет возможности изучить теоретические следствия этого результата. Ранее, по его словам, считалось, что в высших измерениях все эти формы будут вести себя просто как шары, по крайней мере, в плане объёма. Но «это не так. Это означает, что теория этих тел в высших измерениях очень богата», – сказал он.
Эта теория может даже иметь приложения. В конце концов, в меньших измерениях тела постоянной ширины уже удивительно полезны: треугольник Рёло, например, встречается в форме свёрл, гитарных медиаторов и защищённых от несанкционированного доступа гаек для пожарных гидрантов. По словам Армана, в больших измерениях их новые формы могут быть полезны при разработке методов машинного обучения для анализа многомерных наборов данных. Бондаренко, известный в группе своими, как говорит Арман, «безумными идеями», также предложил связи с отдалёнными разделами математики.
Поиски наименьшего возможного тела постоянной ширины, остающегося открытым во всех измерениях, больших двух, продолжаются. Группа ненадолго использовала свою конструкцию для исследования одного многообещающего кандидата в трёх измерениях, но она их подвела: оно оказалось на ничтожную долю процента больше наименьшего известного тела. На данный момент математики решили отказаться от этой затеи и вернуться к работе над задачей Борсука. Оставив после себя целый мир новых многомерных форм, которые могут исследовать другие.
Источник: www.quantamagazine.org
