Спустя десятилетия после того, как физики случайно обнаружили поразительное математическое совпадение, исследователи приближаются к пониманию связи между двумя, казалось бы, не связанными между собой геометрическими вселенными. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Двадцать семь лет назад группа физиков совершила случайное открытие, которое перевернуло математику с ног на голову. Физики пытались разобраться в деталях теории струн, когда заметили странное соответствие: числа, возникающие в одном типе геометрического мира, точно совпадали с числами совершенно другого типа из совершенно другого геометрического мира.
Для физиков это соответствие представляло интерес. Для математиков же оно казалось абсурдным. Они десятилетиями изучали эти две геометрические системы изолированно друг от друга. Утверждать об их тесной связи казалось столь же маловероятным, как утверждать, что в момент, когда астронавт высаживается на Луну, какая-то скрытая связь заставляет его сестру вернуться на Землю.
«Это выглядело совершенно возмутительно», — сказал Дэвид Моррисон, математик из Калифорнийского университета в Санта-Барбаре и один из первых математиков, исследовавших совпадения чисел.
Спустя почти три десятилетия недоверие давно сменилось откровением. Геометрическая взаимосвязь, впервые обнаруженная физиками, стала предметом одной из самых процветающих областей современной математики. Эта область называется зеркальной симметрией, поскольку эти две, казалось бы, далекие математические вселенные каким-то образом точно отражают друг друга. И с момента обнаружения этого первого соответствия — набора чисел на одной стороне, совпадающего с набором чисел на другой — математики обнаружили множество других примеров сложной зеркальной взаимосвязи: астронавт и его сестра не только прыгают вместе, но и машут руками и видят сны в унисон.
В последнее время изучение зеркальной симметрии приобрело новый оборот. После многих лет обнаружения всё новых примеров одного и того же явления математики приближаются к объяснению того, почему это явление вообще происходит.
«Мы приближаемся к точке, где нашли опору. Приземление уже близко», — сказал Денис Ору, математик из Калифорнийского университета в Беркли.
Несколько групп математиков прилагают усилия для выработки фундаментального объяснения зеркальной симметрии. Они приближаются к доказательствам центральных гипотез в этой области. Их работа подобна раскрытию формы геометрической ДНК — общего кода, объясняющего, как два радикально разных геометрических мира могут обладать общими чертами.
Обнаружение зеркала
Теория зеркальной симметрии, которая в конечном итоге стала предметом исследований, зародилась, когда физики отправились на поиски дополнительных измерений. Еще в конце 1960-х годов физики пытались объяснить существование фундаментальных частиц — электронов, фотонов, кварков — с помощью микроскопических вибрирующих струн. К 1980-м годам физики поняли, что для того, чтобы «теория струн» работала, струны должны существовать в 10 измерениях — на шесть больше, чем четырехмерное пространство-время, которое мы можем наблюдать. Они предположили, что процессы, происходящие в этих шести невидимых измерениях, определяют наблюдаемые свойства нашего физического мира.
«У вас может быть небольшое пространство, которое вы не можете увидеть или измерить напрямую, но некоторые аспекты геометрии этого пространства могут влиять на реальные физические процессы», — сказал Марк Гросс, математик из Кембриджского университета.
В итоге они предложили возможные описания шести измерений. Однако, прежде чем перейти к ним, стоит на секунду задуматься о том, что значит для пространства обладать геометрией.
Рассмотрим улей и небоскреб. Оба являются трехмерными сооружениями, но имеют совершенно разную геометрию: их планировка различна, кривизна их внешних стен различна, внутренние углы различны. Аналогично, теоретики струн предложили совершенно разные способы представить недостающие шесть измерений.
Один из методов возник в математической области алгебраической геометрии. Здесь математики изучают полиномиальные уравнения — например, x² + y² = 1 — путем построения графиков их решений (в данном случае, окружности). Более сложные уравнения могут образовывать сложные геометрические пространства. Математики исследуют свойства этих пространств, чтобы лучше понять исходные уравнения. Поскольку математики часто используют комплексные числа, эти пространства обычно называют «комплексными» многообразиями (или фигурами).
Другой тип геометрического пространства был впервые построен на основе размышлений о физических системах, таких как вращающиеся планеты. Координатные значения каждой точки в этом типе геометрического пространства могут определять, например, местоположение и импульс планеты. Если взять все возможные положения планеты вместе со всеми возможными импульсами, получится «фазовое пространство» планеты — геометрическое пространство, точки которого дают полное описание движения планеты. Это пространство имеет «симплектическую» структуру, которая кодирует физические законы, управляющие движением планеты.
Симплектическая и комплексная геометрия отличаются друг от друга так же сильно, как пчелиный воск и сталь. Они создают совершенно разные типы пространств. Комплексные формы имеют очень жесткую структуру. Вспомним еще раз круг. Если его немного пошевелить, он перестанет быть кругом. Это будет совершенно другая форма, которую нельзя описать полиномиальным уравнением. Симплектическая геометрия гораздо более гибкая. Там круг и круг с небольшим изгибом практически одинаковы.
«Алгебраическая геометрия — это более жесткий мир, тогда как симплектическая геометрия — более гибкий», — сказал Ник Шеридан, научный сотрудник Кембриджа. «Это одна из причин, почему они такие разные миры, и так удивительно, что в глубинном смысле они оказываются эквивалентными».
В конце 1980-х годов теоретики струн предложили два способа описания недостающих шести измерений: один основан на симплектической геометрии, другой — на комплексной геометрии. Они продемонстрировали, что оба типа пространства согласуются с четырехмерным миром, который они пытались объяснить. Такое сочетание называется дуальностью: оба варианта работают, и нет никакого теста, позволяющего различить их.
Затем физики начали исследовать, насколько широко распространена эта двойственность. В ходе этих исследований они обнаружили связи между двумя типами пространств, которые привлекли внимание математиков.
В 1991 году группа из четырех физиков — Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс — провела вычисления в комплексном пространстве и получила числа, которые они использовали для предсказаний соответствующих чисел в симплектическом пространстве. Предсказание касалось количества различных типов кривых, которые можно нарисовать в шестимерном симплектическом пространстве. Математики долгое время пытались подсчитать эти кривые. Они никогда не задумывались о том, что эти подсчеты кривых как-то связаны с вычислениями в комплексных пространствах, которые физики теперь используют для своих предсказаний.
Результат был настолько невероятным, что поначалу математики не знали, как его интерпретировать. Но затем, в течение нескольких месяцев после спешно созванной встречи физиков и математиков в Беркли, штат Калифорния, в мае 1991 года, связь стала неопровержимой. «В конце концов, математики приступили к проверке предсказаний физиков и поняли, что это соответствие между двумя мирами — реальная вещь, которая оставалась незамеченной математиками, изучавшими обе стороны этого зеркала на протяжении веков», — сказал Шеридан.
Открытие этой зеркальной двойственности означало, что в короткие сроки математики, изучающие эти два типа геометрических пространств, получили в своё распоряжение вдвое больше инструментов: теперь они могли использовать методы алгебраической геометрии для ответа на вопросы симплектической геометрии и наоборот. Они с головой погрузились в работу по использованию этой связи.
Расставание — это тяжело.
В то же время математики и физики поставили перед собой задачу выявить общую причину или лежащее в основе геометрическое объяснение явления зеркального отражения. Подобно тому, как мы теперь можем объяснить сходство между совершенно разными организмами с помощью элементов общего генетического кода, математики пытались объяснить зеркальную симметрию, разложив симплектические и комплексные многообразия на общий набор основных элементов, называемых «тороидальными волокнами».
Тор — это фигура с отверстием посередине. Обычный круг — это одномерный тор, а поверхность пончика — двумерный тор. Тор может иметь любое количество измерений. Если правильно соединить множество торов меньшей размерности, можно построить из них фигуру большей размерности.
Для простого примера представьте поверхность Земли. Это двумерная сфера. Можно также представить её состоящей из множества одномерных кругов (подобно множеству линий широты), склеенных вместе. Все эти склеенные круги образуют «тороидальное расслоение» сферы — отдельные волокна, сплетённые в единое целое.
Расщепления тора полезны в нескольких отношениях. Во-первых, они дают математикам более простой способ осмысления сложных пространств. Подобно тому, как можно построить расслоение тора двумерной сферы, можно построить расслоение тора шестимерных симплектических и комплексных пространств, обладающих зеркальной симметрией. Вместо окружностей слоями этих пространств являются трехмерные торы. И хотя шестимерное симплектическое многообразие невозможно визуализировать, трехмерный тор почти осязаем. «Это уже большая помощь», — сказал Шеридан.
Растяжение тора полезно и в другом отношении: оно сводит одно зеркальное пространство к набору строительных блоков, которые можно использовать для построения другого. Другими словами, вы не обязательно сможете понять собаку, глядя на утку, но если разложить каждое животное на составляющие его генетические коды, вы сможете найти сходства, которые сделают наличие глаз у обоих организмов менее удивительным.
Вот упрощенное объяснение того, как преобразовать симплектическое пространство в его комплексное зеркало. Сначала выполните расслоение тора в симплектическом пространстве. Вы получите множество торов. Каждый тор имеет радиус (подобно тому, как круг — одномерный тор — имеет радиус). Затем возьмите обратное значение радиуса каждого тора. (Таким образом, тор радиусом 4 в вашем симплектическом пространстве становится тором радиусом ¼ в комплексном зеркале.) Затем используйте эти новые торы с обратными радиусами для построения нового пространства.
Нажимая кнопку просмотра этого видео, вы соглашаетесь с нашей политикой конфиденциальности.Видео : Дэвид Каплан объясняет, как поиск скрытых симметрий приводит к таким открытиям, как бозон Хиггса.
В 1996 году Эндрю Стромингер, Шинг-Тун Яу и Эрик Заслоу предложили этот метод как общий подход к преобразованию любого симплектического пространства в его комплексное зеркало. Предположение о том, что всегда возможно использовать расслоение тора для перехода с одной стороны зеркала на другую, называется гипотезой SYZ, по имени её создателей. Доказательство этой гипотезы стало одним из фундаментальных вопросов зеркальной симметрии (наряду с гипотезой гомологической зеркальной симметрии, предложенной Максимом Концевичем в 1994 году).
Доказать гипотезу SYZ сложно, потому что на практике эта процедура создания расслоения тора и последующего взятия обратных величин радиусов непроста. Чтобы понять почему, вернёмся к примеру с поверхностью Земли. Сначала кажется, что легко нанести на неё полосы кругов, но на полюсах радиус ваших кругов будет равен нулю. А обратная величина нуля — это бесконечность. «Если ваш радиус равен нулю, у вас возникают некоторые проблемы», — сказал Шеридан.
Эта же трудность проявляется в более выраженной форме при попытке создать расслоение тора в шестимерном симплектическом пространстве. Там может существовать бесконечное множество тороидальных волокон, часть которых сжата до точки — точки с нулевым радиусом. Математики до сих пор пытаются понять, как работать с такими волокнами. «Расслоение тора — это, по сути, главная трудность зеркальной симметрии», — сказал Тони Пантев, математик из Университета Пенсильвании.
Иными словами: гипотеза SYZ утверждает, что расслоение тора является ключевым звеном между симплектическим и комплексным пространствами, но во многих случаях математики не знают, как выполнить процедуру трансляции, предписанную этой гипотезой.
Давно скрытые связи
За последние 27 лет математики обнаружили сотни миллионов примеров зеркальных пар: это симплектическое многообразие находится в зеркальном отношении к этому комплексному многообразию. Но когда дело доходит до понимания того, почему происходит то или иное явление, количество не имеет значения. Можно собрать целый ковчег млекопитающих, и это нисколько не приблизит к пониманию того, откуда берется шерсть.
«У нас огромное количество примеров, около 400 миллионов. Дело не в недостатке примеров, но тем не менее, это всё ещё конкретные случаи, которые не дают никаких подсказок о том, почему вся эта история работает», — сказал Гросс.
Математики хотели бы найти общий метод построения — процесс, с помощью которого можно было бы передать им любое симплектическое многообразие, а они — его зеркальное отражение. И теперь они считают, что близки к его достижению. «Мы выходим за рамки понимания этого явления в каждом отдельном случае, — сказал Ору. — Мы пытаемся доказать, что он работает в максимально возможной степени общности».
Математики продвигаются вперед по нескольким взаимосвязанным направлениям. После десятилетий развития области зеркальной симметрии они близки к пониманию основных причин, по которым эта область вообще работает.
«Думаю, это будет сделано в разумные сроки», — сказал Концевич, математик из Института перспективных научных исследований (IHES) во Франции и ведущий специалист в этой области. «Думаю, это будет доказано очень скоро».
Одно из активных направлений исследований обходит гипотезу SYZ. Оно пытается перенести геометрическую информацию из симплектической области в комплексную без полного расслоения тора. В 2016 году Гросс и его давний соратник Бернд Зиберт из Гамбургского университета опубликовали универсальный метод для этого. Сейчас они завершают доказательство, подтверждающее работоспособность метода для всех зеркальных пространств. «Доказательство уже полностью написано, но оно довольно сумбурное», — сказал Гросс, добавив, что они с Зибертом надеются завершить его к концу года.
Еще одно важное открытое направление исследований направлено на установление того, что, если предположить наличие расслоения тора, дающего зеркальные пространства, то из этого вытекают все наиболее важные соотношения зеркальной симметрии. Эта исследовательская программа называется «семейная теория Флоера» и разрабатывается Мохаммедом Абузаидом, математиком из Колумбийского университета. В марте 2017 года Абузаид опубликовал статью, доказывающую, что эта логическая цепочка справедлива для определенных типов зеркальных пар, но пока не для всех.
И, наконец, есть работа, которая возвращает нас к истокам этой области. Трио математиков — Шеридан, Шил Ганатра и Тимоти Перуц — развивает основополагающие идеи, выдвинутые в 1990-х годах Концевичем в связи с его гипотезой о гомологической зеркальной симметрии.
В совокупности эти три инициативы потенциально могут обеспечить полное понимание феномена зеркала. «Я думаю, мы приближаемся к тому моменту, когда все важные вопросы „почему“ почти понятны», — сказал Ору.
Данная статья была перепечатана на сайте Wired.com.
Источник: www.quantamagazine.org
