Математики доказали, что тающий лёд остаётся гладким

После десятилетий усилий математики теперь полностью понимают сложные уравнения, моделирующие движение свободных границ, например, между льдом и водой. Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Бросьте кубик льда в стакан с водой. Вы, вероятно, можете представить, как он начинает таять. Вы также знаете, что, какую бы форму он ни принял, вы никогда не увидите, как он превратится в нечто вроде снежинки, состоящей из острых граней и тонких выступов.

Математики моделируют этот процесс таяния с помощью уравнений. Уравнения работают хорошо, но потребовалось 130 лет, чтобы доказать их соответствие очевидным фактам реальности. В статье, опубликованной в марте, Алессио Фигалли и Жоаким Серра из Швейцарского федерального технологического института Цюриха и Хавьер Рос-Отон из Барселонского университета установили, что уравнения действительно соответствуют интуиции. Снежинки в этой модели, возможно, и не невозможны, но они крайне редки и совершенно мимолетны.

«Эти результаты открывают новые перспективы в этой области», — заявила Мария Коломбо из Швейцарского федерального технологического института в Лозанне. «Раньше не существовало столь глубокого и точного понимания этого явления».

Вопрос о том, как лёд плавится в воде, называется задачей Стефана, названной в честь физика Йозефа Стефана, сформулировавшего её в 1889 году. Это важнейший пример задачи со «свободной границей», в которой математики рассматривают, как процесс, подобный диффузии тепла, заставляет границу перемещаться. В данном случае граница находится между льдом и водой.

Математики много лет пытались понять сложные модели этих меняющихся границ. Чтобы добиться прогресса, новая работа черпает вдохновение из предыдущих исследований другого типа физических систем: мыльных плёнок. Опираясь на них, она доказывает, что вдоль меняющейся границы между льдом и водой острые участки, такие как выступы или рёбра, образуются редко, а даже если и образуются, то немедленно исчезают.

Эти острые точки называются сингулярностями, и, как оказывается, они столь же эфемерны в свободных границах математики, как и в физическом мире.

Тающие песочные часы

Рассмотрим снова кубик льда в стакане воды. Эти два вещества состоят из одних и тех же молекул воды, но вода находится в двух разных фазах: твёрдой и жидкой. Граница между ними существует. Но по мере того, как тепло от воды передаётся льду, лёд тает, и граница перемещается. В конце концов, лёд, а вместе с ним и граница, исчезает.

Интуиция может подсказать нам, что эта граница плавления всегда остаётся гладкой. В конце концов, вы не порежетесь об острые края, вытаскивая кусочек льда из стакана с водой. Но, проявив немного воображения, легко представить себе ситуации, когда появляются острые края.

Возьмите кусок льда в форме песочных часов и погрузите его в воду. По мере таяния льда перетяжка песочных часов становится всё тоньше и тоньше, пока жидкость не проест её полностью. В этот момент то, что когда-то было гладкой перетяжкой, превращается в два острых выступа, или сингулярности.

«Это одна из тех задач, в которых естественным образом проявляются сингулярности», — сказал Джузеппе Минджоне из Пармского университета. «Об этом говорит сама физическая реальность».

Однако реальность также говорит нам, что сингулярности находятся под контролем. Мы знаем, что каспы не должны существовать долго, потому что тёплая вода должна быстро их растопить. Возможно, если начать с огромного ледяного блока, полностью состоящего из песочных часов, могла бы образоваться снежинка. Но она всё равно не продержится дольше мгновения.

В 1889 году Стефан подверг эту задачу математическому анализу, выписав два уравнения, описывающих таяние льда. Одно описывает диффузию тепла из тёплой воды в холодный лёд, что приводит к сжатию льда и расширению области, заполненной водой. Второе уравнение отслеживает изменение поверхности раздела между льдом и водой по мере таяния. (На самом деле, эти уравнения могут также описывать ситуацию, когда лёд настолько холодный, что вызывает замерзание окружающей воды, но в данной работе исследователи игнорируют эту возможность.)

«Важно понять, в какой момент две фазы решают перейти одна в другую», — сказал Коломбо.

Потребовалось почти 100 лет, прежде чем в 1970-х годах математики доказали, что эти уравнения имеют прочное основание. Имея некоторые начальные условия — описание начальной температуры воды и начальной формы льда — можно бесконечно прогонять модель, чтобы точно описать, как температура (или тесно связанная с ней величина, называемая кумулятивной температурой) меняется со временем.

Но они не нашли ничего, что могло бы помешать модели прийти к невероятно странным сценариям. Уравнения могли бы описывать, например, границу раздела лёд-вода, образующую лес каспов, или острую снежинку, которая остаётся совершенно неподвижной. Другими словами, они не могли исключить возможность того, что модель может выдавать бессмысленные результаты. Задача Стефана стала задачей показать, что сингулярности в таких ситуациях на самом деле хорошо контролируются.

В противном случае это означало бы, что модель таяния льда оказалась сокрушительным провалом, который ввел в заблуждение целые поколения математиков, заставив их поверить в то, что она более прочная, чем есть на самом деле.

Мыльное вдохновение

За десятилетие до того, как математики начали понимать уравнения плавления льда, они добились огромного прогресса в математике мыльных пленок.

Если окунуть два проволочных кольца в мыльный раствор, а затем разъединить их, между ними образуется мыльная плёнка. Поверхностное натяжение натянет плёнку максимально туго, придавая ей форму, называемую катеноидом — своего рода вдавленным цилиндром. Эта форма образуется потому, что она соединяет два кольца с минимальной площадью поверхности, что делает её примером того, что математики называют минимальной поверхностью.

Мыльные плёнки моделируются своим собственным уникальным набором уравнений. К 1960-м годам математики достигли значительного прогресса в их понимании, но они не знали, насколько странными могут быть их решения. Как и в задаче Стефана, решения могут оказаться неприемлемо странными, описывая мыльные плёнки с бесчисленными сингулярностями, которые совсем не похожи на гладкие плёнки, которые мы ожидаем.

В 1961 и 1962 годах Эннио Де Джорджи, Уэнделл Флеминг и другие изобрели элегантный процесс для определения того, действительно ли ситуация с сингулярностями настолько плоха, как предполагалось.

Предположим, у вас есть решение уравнений мыльной плёнки, описывающее её форму между двумя граничными поверхностями, например, набором из двух колец. Сфокусируйтесь на произвольной точке на поверхности плёнки. Как выглядит геометрия вблизи этой точки? Прежде чем мы узнаем что-либо о ней, она может иметь любую вообразимую форму — от острого выступа до гладкого холма. Математики разработали метод увеличения этой точки, как если бы у них был микроскоп с бесконечным увеличением. Они доказали, что при увеличении вы видите только плоскую плоскость.

«Всегда. Вот именно», — сказал Рос-Отон.

Эта плоскостность подразумевала, что геометрия вблизи этой точки не может быть сингулярной. Если бы эта точка находилась на вершине, математики увидели бы нечто, больше похожее на клин, а не на плоскость. И поскольку они выбрали точку случайным образом, они могли заключить, что все точки на плёнке должны выглядеть как гладкая плоскость, если рассматривать их вблизи. Их работа установила, что вся плёнка должна быть гладкой, то есть не иметь сингулярностей.

Математики хотели использовать те же методы для решения задачи Стефана, но вскоре поняли, что со льдом всё не так просто. В отличие от мыльных плёнок, которые всегда выглядят гладкими, тающий лёд действительно демонстрирует сингулярности. И хотя мыльная плёнка остаётся неподвижной, граница между льдом и водой постоянно движется. Это создало дополнительную задачу, с которой позже справился другой математик.

От фильмов до льда

В 1977 году Луис Каффарелли изобрел математическую лупу для задачи Стефана. Вместо того чтобы увеличивать мыльную плёнку, он придумал, как увеличить границу между льдом и водой.

«Это была его великая интуиция, — сказал Минджионе. — Он смог перенести эти методы из теории минимальных поверхностей де Джорджи в более общую ситуацию».

Когда математики рассматривали решения уравнений мыльной плёнки, они видели только плоскость. Но когда Каффарелли рассматривал замёрзшую границу между льдом и водой, он иногда видел нечто совершенно иное: замёрзшие пятна, почти полностью окружённые более тёплой водой. Эти точки соответствовали ледяным выступам — сингулярностям, — которые застревают из-за отступления тающей границы.

Каффарелли доказал существование сингулярностей в математике таяния льда. Он также разработал способ оценки их количества. В точном месте ледяной сингулярности температура всегда равна нулю градусов Цельсия, поскольку сингулярность состоит из льда. Это простой факт. Но, что примечательно, Каффарелли обнаружил, что по мере удаления от сингулярности температура увеличивается по чёткой закономерности: если отдалиться от сингулярности на одну единицу и погрузиться в воду, температура повышается примерно на одну единицу. Если отдалиться на две единицы, температура повышается примерно на четыре.

Это называется параболической зависимостью, поскольку график зависимости температуры от расстояния приблизительно имеет форму параболы. Но поскольку пространство трёхмерно, график температуры можно построить в трёх различных направлениях, ведущих от сингулярности, а не только в одном. Таким образом, температура выглядит как трёхмерная парабола, фигура, называемая параболоидом.

В целом, идея Каффарелли предоставила чёткий способ определения сингулярностей вдоль границы лёд-вода. Сингулярности определяются как точки, где температура равна нулю градусов Цельсия, а параболоиды описывают температуру в сингулярности и вокруг неё. Следовательно, везде, где параболоид равен нулю, мы имеем сингулярность.

Итак, сколько существует точек, где параболоид может быть равен нулю? Представьте себе параболоид, состоящий из последовательности парабол, уложенных друг на друга. Такие параболоиды могут принимать минимальное значение — значение, равное нулю — вдоль всей линии. Это означает, что каждая из наблюдавшихся Каффарелли сингулярностей на самом деле может быть размером с линию, бесконечно тонкую ледяную кромку, а не просто представлять собой одну ледяную точку. А поскольку множество линий можно объединить в поверхность, его работа оставляет открытой возможность того, что набор сингулярностей может заполнить всю граничную поверхность. Если бы это было так, это означало бы, что сингулярности в задаче Стефана полностью вышли из-под контроля.

«Это было бы катастрофой для модели. Полный хаос», — сказал Фигалли, получивший в 2018 году медаль Филдса — высшую награду в области математики.

Однако результат Каффарелли был лишь худшим сценарием. Он установил максимальный размер потенциальных сингулярностей, но ничего не сказал о том, как часто сингулярности фактически возникают в уравнениях или как долго они сохраняются. К 2019 году Фигалли, Рос-Отон и Серра нашли замечательный способ узнать больше.

Несовершенные узоры

Чтобы решить задачу Стефана, Фигалли, Рос-Отон и Серра должны были доказать, что сингулярности, возникающие в уравнениях, контролируются: их не так много, и они не существуют долго. Для этого им требовалось всестороннее понимание всех возможных типов сингулярностей.

Каффарелли добился прогресса в понимании того, как образуются сингулярности при таянии льда, но он не знал, как это объяснить. Он обнаружил, что температура воды вокруг сингулярности следует параболоидной модели. Он также обнаружил, что она не совсем точно соответствует этой модели — существует небольшое отклонение между идеальным параболоидом и фактической температурой воды.

Фигалли, Рос-Отон и Серра направили микроскоп на это отклонение от параболоидной формы. Увеличив масштаб этого небольшого несовершенства — лёгкого шелеста прохлады, исходящего от границы, — они обнаружили, что оно имеет свои собственные закономерности, порождающие различные типы сингулярностей.

«Они выходят за рамки параболического масштабирования», — сказал Сандро Сальса из Миланского политехнического университета. «И это поразительно».

Им удалось показать, что все эти новые типы сингулярностей быстро исчезают — как это происходит в природе, — за исключением двух, особенно загадочных. Их последней задачей было доказать, что эти два типа также исчезают сразу после появления, исключая возможность существования чего-либо, похожего на снежинку.

Исчезающие выступы

Первый тип сингулярности уже встречался ранее, в 2000 году. Математик по имени Фредерик Альмгрен исследовал его в пугающей 1000-страничной статье о мыльных фильмах, которая была опубликована его женой Джин Тейлор — еще одним экспертом по мыльным фильмам — только после его смерти.

В то время как математики показали, что мыльные плёнки всегда гладкие в трёх измерениях, Альмгрен доказал, что в четырёх измерениях может возникнуть новый тип «ветвящейся» сингулярности, делающей мыльные плёнки необычными по форме. Эти сингулярности глубоко абстрактны и не поддаются чёткому визуализированию. Однако Фигалли, Рос-Отон и Серра обнаружили, что очень похожие сингулярности образуются вдоль границы плавления льда и воды.

«Эта связь немного загадочна, — сказал Серра. — Иногда в математике события развиваются неожиданным образом».

Используя работу Альмгрена, они показали, что лёд вокруг одной из этих разветвляющихся сингулярностей должен иметь коническую форму, которая не меняется при увеличении масштаба. И в отличие от параболоидной формы для температуры, которая подразумевает существование сингулярности вдоль всей линии, коническая форма может иметь острую сингулярность только в одной точке. Используя этот факт, они показали, что эти сингулярности изолированы в пространстве и времени. Как только они образуются, они исчезают.

Второй тип сингулярности был ещё более загадочным. Чтобы понять его, представьте, что вы погружаете в воду тонкую пластину льда. Она будет сжиматься и сжиматься, а затем внезапно исчезнет. Но непосредственно перед этим моментом она образует пластинчатую сингулярность – двумерную стену, острую, как бритва.

В определённые моменты исследователям удалось увеличить масштаб изображения и обнаружить аналогичную картину: два фронта льда, обрушивающиеся к точке, как будто она находилась внутри тонкого ледяного пласта. Эти точки были не совсем сингулярностями, а местами, где сингулярность вот-вот должна была сформироваться. Вопрос заключался в том, обрушились ли два фронта вблизи этих точек одновременно. Если бы это произошло, то сингулярность, похожая на пласт, образовалась бы всего на один идеальный момент, прежде чем исчезнуть. В конечном итоге они доказали, что именно так сценарий и реализуется в уравнениях.

«Это каким-то образом подтверждает интуицию», — сказала Даниэла Де Сильва из Барнард-колледжа.

Показав, что экзотические разветвления и листообразные сингулярности встречаются редко, исследователи смогли сделать общее утверждение, что все сингулярности для задачи Стефана редки.

«Если выбрать время случайным образом, то вероятность увидеть особую точку равна нулю», — сказал Рос-Отон.

Математики говорят, что на осмысление технических деталей работы потребуется время. Но они уверены, что результаты заложат основу для прогресса в решении множества других задач. Задача Стефана — основополагающий пример для целого раздела математики, где границы меняются. Но что касается самой задачи Стефана и математического описания процесса таяния кубиков льда в воде?

«Здесь закрыто», — сказал Сальса.

Источник: www.quantamagazine.org