Новое доказательство представляет собой кульминацию 65-летней истории об аномальных формах в особых измерениях. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Может возникнуть соблазн предположить, что ваши интуитивные представления о трёхмерном пространстве переносятся и на более многомерные миры. В конце концов, добавление ещё одного измерения просто создаёт новое направление для движения. Это не меняет определяющих характеристик пространства: его бесконечности и однородности.
Но разные измерения имеют совершенно разную природу. В измерениях 8 и 24 можно особенно плотно упаковать шары. В других измерениях есть «экзотические» сферы, которые выглядят безнадежно смятыми. А измерение 3 — единственное, где могут быть узлы — в любом более высоком измерении можно распутать узел, даже крепко держа его за концы.
Теперь математики завершили историю о странностях измерений, которая длилась 65 лет. На протяжении многих десятилетий исследователи пытались выяснить, в каких измерениях могут существовать особенно странные формы — настолько искривлённые, что их невозможно преобразовать в сферу с помощью простой процедуры, называемой хирургическим вмешательством. Существование этих форм, как показали математики, тесно связано с фундаментальными вопросами топологии о взаимоотношениях сфер разных измерений.
За прошедшие годы математики обнаружили, что эти закрученные фигуры существуют в измерениях 2, 6, 14, 30 и 62. Они также показали, что такие фигуры не могут существовать ни в каком другом измерении, кроме одного. Никто не смог определить статус измерения 126.
Трое математиков наконец-то решили эту последнюю задачу. В статье, опубликованной в интернете в декабре прошлого года, Вэйнань Линь и Гочжэнь Ван из Университета Фудань в Шанхае, а также Чжоули Сюй из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе доказали, что число 126 действительно является одним из редких измерений, способных вместить такие причудливые искривлённые фигуры.
«Это очень длинная программа, которая наконец завершена», — сказала Ульрике Тилльманн, математик из Оксфордского университета и директор Института математических наук имени Исаака Ньютона.
Доказательство, основанное на сочетании компьютерных расчётов и теоретических представлений, «похоже на монументальный инженерный проект», — сказал Майкл Хопкинс из Гарвардского университета. «Просто поразительно, как им это удалось».
Гипотеза конца света
В 1950-х годах математик Джон Милнор поразил математический мир, показав, что седьмое измерение является домом для «экзотических» сфер. С точки зрения топологии, которая учитывает только те свойства формы, которые не меняются при растяжении или деформации, экзотическая сфера выглядит точно так же, как и обычная. Однако эти две сферы имеют несовместимые определения гладкости — кривая, гладкая на обычной сфере, могла не считаться гладкой на экзотической. Милнор стремился исследовать и классифицировать эти экзотические сферы, которые в одних измерениях оказались редкими, а в других исчислялись тысячами.
Для этого он предложил метод, называемый хирургией, – контролируемый способ упрощения математической фигуры, или многообразия, и потенциального преобразования её в экзотическую сферу. Этот метод стал основополагающим для изучения многообразий в целом.
Как следует из названия, хирургическая операция заключается в вырезании части многообразия и последующем вшивании одного или нескольких новых фрагментов вдоль границы разреза. Вшивание новых фрагментов должно осуществляться плавно, без образования острых углов и кромок. (Когда речь заходит о вопросах, связанных с искривлёнными формами, математики также требуют, чтобы операция выполнялась с учётом «каркаса» многообразия — технического свойства, определяющего его положение в пространстве.)
Чтобы увидеть этот процесс в действии, давайте хирургическим путем преобразуем тор (двумерную поверхность пончика) в сферу (двумерную поверхность шара):
В результате получается обычная сфера — на самом деле, экзотических двумерных сфер не существует. Но в определённых измерениях хирургия преобразует одни многообразия в обычные сферы, а другие — в экзотические. А иногда есть ещё одна возможность: многообразия, которые вообще невозможно преобразовать в сферу.
Чтобы визуализировать этот последний сценарий, мы снова можем взглянуть на тор, только на этот раз мы придадим ему несколько особых изгибов, чтобы затруднить проведение операций:
Математики доказали, что не существует хирургической операции, способной превратить этот скрученный тор в сферу, будь то обычную или экзотическую. Это совершенно другой класс многообразий.
В 1960 году французский математик Мишель Кервер предложил инвариант — число, которое можно вычислить для заданного гладкого многообразия, — который равен нулю, когда многообразие можно хирургическим путём превратить в сферу, и единице, когда это невозможно. Таким образом, инвариант Кервера обычного тора равен нулю, а инвариант Кервера скрученного тора равен 1.
Кервер использовал свой инвариант для исследования множества возможных многообразий в различных измерениях. Он даже применил его для построения 10-мерного многообразия, не имеющего инварианта Кервера, равного ни нулю, ни единице, — а это значит, что это многообразие должно быть настолько искривленным, что не может иметь никакого разумного понятия гладкости.
Никто не предполагал, что такое многообразие может существовать. Столкнувшись с мощью нового инварианта, математики бросились определять инварианты Кервера для многообразий в разных измерениях.
За несколько лет они доказали, что скрученные многообразия с инвариантом Кервера 1 существуют в размерностях 2, 6, 14 и 30. Эти размерности подчиняются закономерности: каждое число на 2 меньше степени 2 (например, 30 равно 25 − 2). В 1969 году математик Уильям Браудер доказал, что размерности такого вида — единственные, в которых могут существовать фигуры с инвариантом Кервера 1.
Было естественно предположить, что скрученные многообразия будут существовать во всех измерениях этой формы: 62, 126, 254 и так далее. Основываясь на этом предположении, один математик даже построил целую систему гипотез об экзотических сферах и других формах. Но возможность того, что первоначальное предположение может быть ложным, всё ещё оставалась. Это стало известно как гипотеза конца света, поскольку она опровергала все эти гипотезы.
Чжоули Сюй был предупрежден, что не стоит пытаться решить гипотезу Кервера во время учёбы в аспирантуре. Но эта задача оставалась «постоянным источником интереса», сказал он.
И действительно, хотя математики в 1984 году показали существование скрученных многообразий в 62-м измерении, никто не смог доказать существование таких многообразий ни в одном из остальных измерений. Поскольку поиски один за другим не давали результатов, математики в конце концов выдохлись, и проблема зашла в тупик.
В 2009 году, «чтобы остановить волну забвения», математик Виктор Снайт написал книгу, исследующую последствия существования многообразий с инвариантом Кервера 1 во всех измерениях из списка Браудера. Однако, как предупредил Снайт в предисловии, «это может оказаться книгой о вещах, которых не существует».
Если бы Снейт опубликовал свою книгу годом позже, она могла бы читаться совсем иначе. Ведь всего через несколько недель после публикации книги Хопкинс и двое других исследователей озадачили математиков, заявив, что предостережение Снейта читателям было более чем уместным: гипотеза конца света верна. Многообразия с инвариантом Кервера 1, как они доказали, не могут существовать в размерностях 254 и выше.
Результат поставил математиков в странное положение. Из всей бесконечности возможных форм в возможных измерениях формы ровно в одном измерении по-прежнему не поддавались классификации. По словам Дугласа Равенела, математика из Рочестерского университета и одного из соавторов доказательства гипотезы конца света, оставался «большой неразберихой». Этим измерением стала 126.
Выживание до бесконечности
В 2011 году Чжоули Сюй поступил в Чикагский университет в качестве аспиранта, планируя изучать вычислительные аспекты многообразий. Его научный руководитель, Питер Мэй, предложил задачу размерности 126, которая, по мнению математиков, должна была потребовать огромных вычислений. Мэй направил Сюй к Марку Маховальду из Северо-Западного университета, специалисту по проблеме инвариантов Кервера, который даже назвал свой парусник в честь одного из его ключевых символов — θj, или «Thetajay».
Но Маховальд, скончавшийся в 2013 году, немедленно наложил вето на это предложение. Задача для размерности 126 была слишком сложной, сказал он Сюй, — «задача всей жизни». Вместо этого он направил молодого математика к решению смежных задач в меньших размерностях.
Однако для Сюя задача измерения 126 оставалась «постоянным источником интереса», сказал он.
Гочжэнь Ван изучает сложные объекты, чтобы получить представление о многомерных формах, которые бросают вызов воображению.
Потенциальная стратегия решения проблемы не представляла никакой тайны. Математикам давно было известно, что важнейшие секреты экзотических сфер и других многообразий закодированы в объектах, известных как стабильные гомотопические группы сфер. Это наборы функций, или «отображений», которые переводят точки из сферы высокой размерности в сферу меньшей размерности.
Представьте себе, например, отображение, которое переводит каждую точку 44-мерной сферы в точку 33-мерной сферы. Это отображение, по сути, сжимает большую сферу до 11 измерений. Если выбрать какую-либо точку на меньшей сфере и найти все точки на большей сфере, которые были ей сопоставлены, эти точки, как правило, образуют 11-мерное многообразие.
Теперь рассмотрим все точки на вашей меньшей сфере. Грубо говоря, каждая точка создаёт ещё одно 11-мерное многообразие. Таким образом, ваше отображение создаёт не просто одно 11-мерное многообразие, а целый набор 11-мерных многообразий.
Стабильная гомотопическая группа — это множество, в котором каждый элемент представляет собой набор отображений, подобных этому.
Математики знали, что для решения вопроса об инвариантах Кервера в заданном измерении им достаточно понять стабильную гомотопическую группу для этого измерения. Есть только одна сложность: понимание стабильных гомотопических групп — одна из самых сложных и фундаментальных проблем топологии. «Я не ожидаю, что она будет решена при жизни моих внучек», — сказал Равенель.
Поэтому математики подходят к этой проблеме постепенно. С 1958 года они организуют информацию о структуре стабильных гомотопических групп в огромный, но незаконченный атлас точек, называемый спектральной последовательностью Адамса.
Вэйнан Линь написал компьютерную программу, которая помогла ему и его коллегам разрешить давнюю гипотезу о странных свойствах форм в высоких измерениях.
Представьте себе книгу с бесконечным числом страниц, каждая из которых состоит из бесконечного числа столбцов точек. Откроем книгу и рассмотрим одну страницу. Каждый столбец на этой странице представляет измерение. Каждая точка в данном столбце представляет собой потенциальный «аромат» сферических отображений в этом измерении. Этот «аромат» всегда бывает двух типов: «обычный» или «очень хрустящий» (или, скажем, инвариант Кервера 0 или 1).
В некотором смысле книга чрезмерно однообразна — на каждой странице один и тот же список столбцов, и многие точки в каждом столбце одинаковы. Но, перелистывая страницы, вы заметите ключевое отличие: каждая страница последовательно отображает всё более тонкие детали сферических отображений и многообразий. Первые страницы атласа — лишь приближения к истине. Приближения становятся всё точнее по мере перелистывания страниц, пока на последней странице атласа, известной как «страница бесконечности», представление не становится идеальным.
Навигация по атласу подобна исследованию вселенной многообразий с помощью всё более мощных телескопов. На первой странице детали каждого многообразия неясны, и многие многообразия, которые на самом деле не относятся к нему, были включены по ошибке. Но если вы сделаете телескоп получше, вы, возможно, сможете обнаружить у многообразия какой-нибудь «изъян», который исключит его из атласа. В этом случае вам следует удалить соответствующую точку на всех последующих страницах атласа. Если ваш телескоп не обнаружит никаких изъянов, точка сохранится до следующей страницы, где вы, возможно, направите на неё ещё более мощный телескоп.
В 1969 году Браудер показал, что одна конкретная точка в 126-м столбце атласа содержит ключ к проблеме инварианта Кервера в этом измерении. Если эта точка сохранится до бесконечности, то 126-мерные многообразия должны быть представлены в двух вариантах: половина из них будет состоять из многообразий с нулевым инвариантом Кервера, а половина — из многообразий с инвариантом Кервера, равным 1. Если точка не сохранится, то 126-мерные многообразия будут представлены только в одном варианте — с нулевым инвариантом Кервера.
Для особой точки в столбце 126 существовало 105 различных гипотетических способов её исчезновения до бесконечной страницы. Чтобы разобраться с этими возможностями, Сюй объединился с Гочжэнем Ваном, своим давним коллегой и бывшим соседом по комнате в колледже. Разрабатывая новые вычислительные методы, они передали их Вэйнаню Линю, математику, которого Сюй знал ещё со времён аспирантуры. Лин написал программу, способную исключить 101 из этих возможностей. Затем, в течение ещё одного года, исследователи кропотливо разрабатывали новые методы, чтобы исключить последние четыре. Они пришли к выводу, что особая точка Браудера действительно сохраняется до бесконечной страницы, а это означает, что измерение 126 имеет многообразия с инвариантом Кервера, равным 1.
По словам Хопкинса, до объявления результатов работы команды математики считали, что такое вычисление совершенно недостижимо. Он добавил, что новая работа — «поистине героическое вычисление». Её методы могут в конечном итоге помочь математикам картировать ещё большую часть гигантского атласа.
Хотя новая работа доказывает существование странно искривлённых фигур в 126-м измерении, она не даёт никаких подсказок о том, как их построить. Исследователи выявили особые искривлённые фигуры в первых четырёх специальных измерениях Кервера: 2, 6, 14 и 30. Но никто пока не нашёл ни одной в 62-м или 126-м измерениях, хотя в каждом измерении, где эти фигуры существуют, они составляют добрую половину всех возможных фигур. Несмотря на их обилие, «мы не можем указать ни одной», — сказал Тиллманн.
Если математики действительно разберутся, как строить закрученные фигуры в измерениях 62 и 126, это может дать им некоторое представление о том, что делает эти шесть измерений особенными — почему возможно строить такие закрученные фигуры только в этих измерениях. «Обычно, когда [что-то подобное] происходит, получается очень красивая конструкция», — сказал Хопкинс. «Она очень эфемерна, потому что должна сработать всего пять или шесть раз, а не бесконечное множество». Новая работа «делает попытки найти особую конструкцию этих шести вещей ещё более вдохновляющими».
И проблема Кервера — лишь один из видов размерной странности, закодированной в спектральной последовательности Адамса. Особые измерения Кервера соответствуют шести особым точкам во второй строке атласа. Недавно Сюй и Роберт Берклунд из Копенгагенского университета выяснили, что несколько особых измерений, похоже, демонстрируют ещё один вид странного поведения в третьей строке атласа. Пока никто не знает, какие именно странные многообразия соответствуют особым точкам в этих измерениях, но математики надеются это выяснить.
Сюй сказал, что открытия, вероятно, также будут сделаны в будущем. «Позже должно появиться гораздо больше историй, которые ждут нас, чтобы исследовать».
Источник: www.quantamagazine.org
