Новое доказательство показывает, что узел, который, как некоторые считали, противоречит знаменитой гипотезе о ленте-куске, на самом деле не противоречит ей. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Более 60 лет назад Ральф Фокс сформулировал проблему об узлах, которая до сих пор не даёт покоя математикам. Его вопрос теперь часто формулируется как «гипотеза о ленточном срезе», которая утверждает, что две, казалось бы, различные группы узлов на самом деле являются одним и тем же. Благодаря своей элегантной простоте в мире узлов, эта проблема стала одной из самых заметных в теории узлов. «Это означало бы, что мир несколько более структурирован, чем можно было бы ожидать», — сказала Арунима Рэй, математик из Института математики Общества Макса Планка в Бонне.
Десятилетиями один конкретный узел считался возможным путём к разрешению этой гипотезы. Однако в статье, опубликованной прошлым летом, пять математиков пришли к выводу, что этот узел всё-таки не работает. Хотя представленные ими аргументы дадут новое понимание более широкого класса узлов, работа в целом оставляет математиков в неопределённости относительно этой гипотезы. «Я думаю, что существуют вполне обоснованные споры о том, окажется ли она верной или нет», — сказала Кристен Хендрикс, математик из Ратгерского университета.
Гипотеза о срезанных и ленточных узлах касается двух типов узлов: срезанных и ленточных. Определение того, какие узлы являются срезанными, — «один из фундаментальных вопросов, вокруг которых вращается наша тема», — сказал Абхишек Маллик, один из авторов новой статьи.
Математический узел можно представить себе как обычную петлю из веревки. Математики называют простую петлю без узла «триплетом». (Хотя это и не узел в обычном смысле слова, математики считают триплет простейшим примером узла.)
Узлы также определяют границу фигуры, которую математики называют диском, хотя она не всегда выглядит как диск в обычном смысле этого слова. Простейший пример, триплет, образует границу круга — «диска», который действительно выглядит как диск. Но петля образует границу не только круга, лежащего плашмя на столе, но и чаши, простирающейся в трёх измерениях, которая лежит на столе вверх дном. Диски, определяемые узлами, могут быть расширены с трёх измерений до четырёх.
Если на нити есть узел, диски становятся сложнее. В трёхмерном пространстве эти диски имеют сингулярности — точки, где они ведут себя математически некорректно. Срезные узлы — это те, для которых в четырёх измерениях возможно найти диск без таких сингулярностей. Срезные узлы — это «ближайшее к лучшему после распутывания» явление, как выразился Петер Тайхнер, также из Института Макса Планка.
Несмотря на это, диски, ограниченные узлами срезов в трёх измерениях, могут быть некрасивыми и сложными в работе. Гипотеза о срезах-лентах утверждает, что это не обязательно так.
Ленточные узлы – это узлы, диски которых напоминают ленты. В трёхмерном измерении эти ленты могут проходить сквозь себя, подобно тому, как обычная лента может быть протянута через надрез, сделанный посередине. Математически такое прохождение называется ленточной сингулярностью. В отличие от других типов сингулярностей, ленточную сингулярность можно легко устранить, перейдя в четырёхмерное измерение. Это позволяет математикам легко показать, что все ленточные узлы являются срезанными.
Обратное утверждение — что каждый срезанный узел также является ленточным — является гипотезой о срезанной ленте, которая остаётся открытым вопросом уже несколько десятилетий. (Что ещё больше усложняет ситуацию, срезанные узлы имеют несколько связанных классификаций, включая «гладко срезанные» и «топологически срезанные». Эта гипотеза применима только к узлам типа «гладко срезанные», которые математики обычно подразумевают под «срезанными».)
Чтобы опровергнуть эту гипотезу, достаточно найти узел, который был бы гладко срезан, но не лентовидным. Десятилетиями математики присматривались к кандидату: тросу (2, 1) узла «восьмёрка», полученному путём продевания второй нити вдоль узла «восьмёрка» и последующего слияния двух нитей в один узел.
В 1980 году Акио Каваучи доказал, что этот узел является как рационально, так и алгебраически разрезным, что схоже со свойством гладкого разреза, но не совсем то же самое. В 1994 году Катура Миядзаки доказал, что он не является лентой, открыв перед математиками захватывающее открытие. Если бы результат Каваучи можно было бы усилить, показав, что узел гладко разрезанный, это опровергло бы гипотезу.
Новая статья доказывает, что рассматриваемый узел вовсе не является разрезным, и захлопывает эту дверь.
«Гипотеза о срезе-ленте всё ещё сильна», — сказал Хендрикс, тесно сотрудничавший с двумя авторами новой статьи. «Это очень интересно, потому что люди пытались понять этот пример уже довольно долго».
Новое доказательство основано на так называемом разветвлённом двойном покрытии. Разветвлённое двойное покрытие можно представить, представив себе полую сферу, например, баскетбольный мяч. Чтобы сделать разветвлённое двойное покрытие баскетбольного мяча, разрежьте его сверху вниз по одной из линий долготы. Теперь потяните за один край резины в месте разреза, растягивая её вдоль экватора, пока материал не обернётся вокруг мяча. После завершения этого преобразования у вас получится баскетбольный мяч, состоящий из двух взаимозаменяемых слоёв материала, отсюда и название «двойное покрытие». (В этом случае резину можно растягивать и скручивать как угодно, не ломая и не сминая её.)
Слово «ветвистый» в «разветвлённой двойной оболочке» возникает из-за особенностей трансформации. Поскольку вы растягиваете шар горизонтально, в верхней и нижней точках шара, на северном и южном полюсах, остаётся только один слой. Эти точки называются точками ветвления, и их наличие превращает двойную оболочку в разветвлённую двойную оболочку.
Что касается узлов, то разветвленная двойная оболочка собрана таким образом, что точки разветвления и есть сам узел: точки, которые, подобно северному и южному полюсам баскетбольного мяча, покрыты только один раз.
«Исторически сложилось так, что изучение двойных разветвлённых оболочек было стандартным инструментом в этой области», — сказала Дженнифер Хом, математик из Технологического института Джорджии, работавшая с двумя авторами новой статьи. Это связано с тем, что — подобно тому, как баскетбольный мяч окружает воздушный шар, — разветвлённая двойная оболочка срезанного узла охватывает определённую четырёхмерную фигуру. Если математикам удастся показать, что разветвлённая двойная оболочка узла не охватывает правильную четырёхмерную фигуру, они смогут исключить возможность того, что узел является срезанным.
Но это не совсем работает для троса (2, 1) узла «восьмёрка»: его разветвлённая двойная оболочка действительно окружает правильный тип четырёхмерной фигуры. Демонстрация того, что трос (2, 1) узла «восьмёрка» не является срезанным, основана на часто упускаемой из виду симметрии формы.
Растягивая поверхность баскетбольного мяча, образуя разветвлённую двойную оболочку, можно представить себе нечто похожее на трёхмерный воздушный шар внутри. Когда вы натягиваете резину на мяч, вы просто тянете за собой воздух. Подобно тому, как два слоя резины взаимозаменяемы, в воздушном шаре есть два полушария, которые в конечном итоге оказываются в одном и том же месте. Другими словами, симметрия внешней стороны мяча распространяется и на внутреннюю.
Точно так же симметрии разветвлённой двойной оболочки срезанного узла проникают в четырёхмерное пространство внутри него. Математики обычно игнорируют эту симметрию, пытаясь доказать, что узлы не являются срезанными. Но в данном случае она была существенна. Если бы авторам новой работы удалось показать отсутствие такой симметрии, они смогли бы заключить, что узел не является срезанным.
«Поскольку в вопросе не упоминается никакая симметрия, можно подумать: ну и как симметрия вообще может влиять на ситуацию, чтобы что-то о ней сказать? Но каким-то волшебным образом в данном случае симметрия сама собой появляется и решает проблему», — сказал Маллик, автор новой статьи совместно с Ирвингом Даем из Стэнфордского университета, Чон Хваном Паком из Корейского передового института науки и технологий, Мэтью Стоффрегеном из Мичиганского государственного университета и Сонгёном Каном из Института фундаментальной науки Южной Кореи.
«Мы знали, что эта структура существует. Но отчасти причина, по которой люди её не изучали, заключалась в том, что у нас не было возможности отслеживать её, — сказал Рэй. — Чтобы обнаружить её, нужен сложный, мощный инструмент».
Чтобы обосновать это утверждение, команде пришлось использовать глубокие, сложные математические вычисления, относящиеся к узлу и окружающему его пространству, опираясь на симметрии, даже более тонкие, чем симметрии разветвлённого двойного покрытия. В двух предыдущих работах Дай, Маллик и Стоффреген вычислили некоторые из этих свойств. Когда прошлым летом Канг посетил Стоффрегена в Мичиганском университете, всё ещё размышляя о тросе (2, 1) узла «восьмёрка», исследователи быстро поняли, что эти формулы решат проблему его срезанности. «Интуиция подсказала мне, что это вычисление должно работать», — сказал Канг. «И, просто вычислив его, мы должны быть в состоянии решить эту проблему прямо сейчас».
В конце июля их статья была опубликована в интернете, доказывая, что узел на самом деле не является срезанным. По словам Пака, идеи, изложенные в статье, применимы ко многим узлам, срезанность которых в настоящее время находится под вопросом. «Это только начало», — сказал он. Хотя эта статья посвящена конкретному узлу, Пак отметил, что разработанные ими инструменты будут работать и для гораздо более общих семейств узлов. Однако отсутствие срезанности исходного узла гарантирует, что гипотеза о срезанности-ленте пока останется нерешённой.
Источник: www.quantamagazine.org
