«Группы» лежат в основе современной математики. Вот как они работают.

Что общего у целых чисел с симметриями треугольника? В XIX веке математики придумали группы как ответ на этот вопрос. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Математика началась с чисел — ясных, конкретных, интуитивных. Однако за последние два столетия она стала гораздо более абстрактной. Один из первых важных шагов на этом пути был сделан в конце XVIII — начале XIX веков. Он был связан с областью, называемой теорией групп, и изменил математику — как теоретическую, так и прикладную — в том виде, в каком мы её знаем.

Группы обобщают важнейшие свойства целых чисел. Они преобразили геометрию, алгебру и анализ – математическое исследование плавно изменяющихся функций. Они используются для шифрования сообщений и изучения форм вирусов. Физики используют их для объединения фундаментальных сил природы: при высоких энергиях теория групп может быть использована для демонстрации того, что электромагнетизм и силы, удерживающие атомные ядра вместе и вызывающие радиоактивность, являются проявлениями единой фундаментальной силы.

Термин «группа» в математическом контексте был придуман в 1830 году Эваристом Галуа, французским вундеркиндом, которому тогда было всего 18 лет. (Два года спустя он был убит на дуэли, уже изменив ход истории математики.) Но он не открыл группы в одиночку. «Это не похоже на то, как если бы группа математиков собралась в один прекрасный день и сказала: „Давайте создадим абстрактную структуру просто ради смеха“», — сказала Сара Харт, специалист по теории групп из Грешем-колледжа в Лондоне. «Постепенно, примерно за 50 лет в XIX веке, стало ясно, что это правильные правила. Они дают максимальную гибкость и общность, при этом позволяя доказывать факты».

Группа — это множество, или совокупность объектов, вместе с операцией, которая принимает два объекта и возвращает третий. Пожалуй, простейшим примером являются целые числа и операция сложения. Группы должны удовлетворять четырём правилам.

• Первый называется замыканием: сложите любые два целых числа, и вы получите еще одно целое число.
• Второе правило называется ассоциативностью: если сложить три числа, результат не зависит от того, как вы их сгруппировали. Можно сложить 3 и 4, чтобы получить 7, а затем добавить 5, чтобы получить 12. Или можно прибавить 3 к сумме 4 и 5. В любом случае ответ будет один и тот же: 12 = (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5).
• Третье правило заключается в том, что группа должна содержать элемент, который не меняет другие элементы группы, называемый тождественным элементом. Число ноль является тождественным элементом при сложении, поскольку добавление нуля к числу сохраняет это число неизменным.
• Наконец, у каждого элемента группы должен быть обратный элемент — сложите элемент и его обратный элемент, и вы получите тождество. В целых числах обратный элемент — это его отрицательное число. Например, 3 + (−3) = 0.

Чтобы понять значение этих четырёх свойств, полезно рассмотреть одно примечательное упущение. При сложении двух чисел можно изменить порядок сложения, не влияя на результат: 3 + 5 равно 5 + 3. Это свойство называется коммутативностью. Однако коммутативность групп не является обязательным требованием. Сделав это свойство необязательным, математики смогли исследовать богатейшее разнообразие структур.

В качестве примера некоммутативной группы рассмотрим равносторонний треугольник с помеченными вершинами. Если повернуть треугольник на треть своего оборота или перевернуть его вдоль вертикальной оси, единственное, что изменится на изображении, — это расположение помеченных вершин. Существует шесть таких преобразований, которые оставляют форму треугольника неизменной, и называются симметриями треугольника. Они образуют группу D6. (В более общем смысле, D2n — это группа, образованная симметриями правильной фигуры с n сторонами, поэтому D8 — это группа симметрий квадрата.)

Чтобы «сложить» две симметрии, просто добавляйте их одну за другой. Вы быстро обнаружите, что D6 некоммутативен: переворачивание и поворот оставляют метки в разных местах, чем при повороте и переворачивании.

D6 — одна из двух возможных групп с шестью элементами. Для другого примера группы из шести элементов возьмём в качестве множества числа {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Для этой операции складываем два числа обычным способом, а затем делим на 6, игнорируя частное, но сохраняя остаток. Таким образом, 3 и 5 дают 2, поскольку 8 даёт остаток 2 при делении на 6. Это называется сложением по модулю 6, а группа называется Z6. В общем случае Zn — это группа с n элементами, полученная из чисел {0, 1, 2, 3, …, n − 1} вместе сложением по модулю n. В отличие от D6, Z6 коммутативна, потому что 3 + 5 = 5 + 3, и так далее.

Z6 и D6 имеют различную структуру. Мало того, что одна из них коммутативна, а другая — нет, так ещё и любой элемент Z6 можно получить, используя всего один из его элементов — число 1: начните с 1 и продолжайте прибавлять 1. В D6 ни один элемент не обладает таким свойством. Выяснение возможных структур групп было одним из центральных проектов алгебры последнего столетия.

Для этого математики пытаются выделить меньшие группы, содержащиеся внутри группы, называемые подгруппами. Они должны сохранять операцию, применяемую к полной группе. Например, чётные целые числа образуют подгруппу внутри целых чисел. Чётное целое число плюс чётное целое число всегда дают ещё одно чётное целое число. С другой стороны, нечётные числа не являются подгруппой, поскольку при сложении двух нечётных чисел получится чётное число. Единичный элемент всегда образует подгруппу, называемую тривиальной подгруппой.

Выяснение подгрупп, содержащихся в группе, — один из способов понять её структуру. Например, подгруппы группы Z6 — это {0}, {0, 2, 4} и {0, 3} — тривиальная подгруппа, кратные 2 и кратные 3. В группе D6 повороты образуют подгруппу, а отражения — нет. Это связано с тем, что два последовательных отражения дают поворот, а не отражение, подобно тому, как сложение двух нечётных чисел даёт чётное.

Некоторые типы подгрупп, называемые «нормальными» подгруппами, особенно полезны для математиков. В коммутативной группе все подгруппы нормальны, но в более общем случае это не всегда верно. Эти подгруппы сохраняют некоторые из наиболее полезных свойств коммутативности, не требуя при этом, чтобы вся группа была коммутативной. Если можно определить список нормальных подгрупп, группы можно разбить на компоненты во многом так же, как целые числа можно разложить на произведения простых чисел. Группы, не имеющие нормальных подгрупп, называются простыми группами и не могут быть разложены дальше, так же как простые числа нельзя разложить на множители. Группа Zn является простой только тогда, когда n — простое число — например, числа, кратные 2 и 3, образуют нормальные подгруппы в Z6.

Однако простые группы не всегда так просты. «Это величайшая ошибка в математике», — сказал Харт. В 1892 году математик Отто Гёльдер предложил исследователям составить полный список всех возможных конечных простых групп. (Бесконечные группы, такие как целые числа, образуют отдельную область исследований.)

Оказывается, почти все конечные простые группы либо выглядят как Zn (для простых значений n), либо относятся к одному из двух других семейств. Существует 26 исключений, называемых спорадическими группами. Чтобы их точно определить и показать, что других возможностей нет, потребовалось более столетия.

Самая большая спорадическая группа, метко названная группой-монстром, была открыта в 1973 году. Она состоит из более чем 8 × 1054 элементов и представляет собой геометрические вращения в пространстве с почти 200 000 измерений. «Просто невероятно, что люди смогли найти это», — сказал Харт.

К 1980-м годам основная часть работы, к которой призывал Гёльдер, была, по-видимому, завершена, но было сложно доказать, что больше не существует спорадических групп. Классификация была ещё больше отложена, когда в 1989 году сообщество обнаружило пробелы в одном 800-страничном доказательстве начала 1980-х годов. Новое доказательство было наконец опубликовано в 2004 году, завершив классификацию.

Многие структуры в современной математике — например, кольца, поля и векторные пространства — возникают при добавлении к группам более сложной структуры. В кольцах можно не только складывать и вычитать, но и умножать; в полях можно также делить. Но в основе всех этих более сложных структур лежит та же изначальная идея группы с её четырьмя аксиомами. «Богатство, которое возможно в рамках этой структуры с этими четырьмя правилами, просто поражает», — сказал Харт.

Источник: www.quantamagazine.org