Тензоры используются в математике и естественных науках для раскрытия скрытых геометрических истин. Что это такое? Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
После того, как Альберт Эйнштейн опубликовал свою специальную теорию относительности в 1905 году, он посвятил следующее десятилетие попыткам создать теорию гравитации. Но на протяжении многих лет он постоянно сталкивался с одной и той же проблемой.
Он хотел показать, что гравитация — это на самом деле искривление геометрии пространства-времени, вызванное присутствием материи. Но он также знал, что время и расстояние, как ни странно, относительны: они меняются в зависимости от вашей системы отсчёта. Быстрое движение сокращает расстояния и замедляет время. Как же тогда можно объективно описать гравитацию, независимо от того, неподвижны вы или движетесь?
Эйнштейн нашёл решение в новой геометрической теории, опубликованной несколькими годами ранее итальянскими математиками Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивитой. Эта теория заложила математическую основу для того, что позже будет названо «тензором».
С тех пор тензоры стали играть важную роль не только в общей теории относительности Эйнштейна, но и в машинном обучении, квантовой механике и даже биологии. «Тензоры — это самое эффективное средство для организации наших уравнений», — сказал Дионисиос Аннинос, физик-теоретик из Королевского колледжа Лондона. «Они — естественный язык для геометрических объектов».
Их также сложно определить. Обратитесь к специалисту по информатике, и он, возможно, скажет вам, что тензор — это массив чисел, хранящий важные данные. Отдельное число — это тензор «ранга 0». Список чисел, называемый вектором, — это тензор ранга 1. Сетка чисел, или матрица, — это тензор ранга 2. И так далее.
Но поговорите с физиком или математиком, и они сочтут это определение неполным. Для них, хотя тензоры и могут быть представлены такими числовыми массивами, они имеют более глубокий геометрический смысл.
Чтобы понять геометрическое понятие тензора, начнём с векторов. Вектор можно представить себе как стрелку, парящую в пространстве — у неё есть длина и направление. (Эта стрелка не обязательно должна быть привязана к определённой точке: при перемещении в пространстве она остаётся тем же вектором.) Вектор может представлять скорость частицы, например, при этом длина обозначает её скорость, а направление — направление.
Эта информация упаковывается в список чисел. Например, вектор в двумерном пространстве определяется парой чисел. Первое число определяет, на сколько единиц стрелка растягивается вправо или влево, а второе — насколько она растягивается вверх или вниз.
Но эти числа зависят от того, как вы определили свою систему координат. Допустим, вы меняете систему координат:
Теперь вы выражаете вектор через его растяжимость в каждом направлении новой системы координат. Это даёт вам другую пару чисел. Но сам вектор не изменился: его длина и ориентация остаются неизменными, независимо от того, в какой системе координат вы находитесь. Более того, если вы знаете, как переходить из одной системы координат в другую, вы также автоматически будете знать, как должен измениться ваш список чисел.
Тензоры обобщают эти идеи. Вектор — это тензор первого ранга; тензоры более высокого ранга содержат более сложную геометрическую информацию.
Например, представьте, что у вас есть стальной брусок, и вы хотите описать все силы, которые могут на него воздействовать. Для этого можно использовать тензор второго ранга, записанный в виде матрицы. Каждая грань бруска воспринимает силы в трёх различных направлениях. (Например, правая грань бруска может воспринимать силы в направлениях вверх-вниз, влево-вправо и вперёд-назад.)
Таким образом, тензор, объединяющий все эти силы, можно представить в виде матрицы из девяти чисел — по одному числу на каждое направление для каждой из трёх граней. (Противоположные грани в этом примере считаются избыточными.)
Математики часто рассматривают тензоры как функции, принимающие один или несколько векторов на входе и возвращающие другой вектор или число на выходе. Этот выход не зависит от выбора системы координат. (Это ограничение отличает тензоры от функций в более общем смысле.) Тензор может, например, принимать два вектора, образующих стороны прямоугольника, и возвращать его площадь. При вращении прямоугольника его длина по оси x и высота по оси y изменятся. Но площадь останется неизменной.
В теории относительности Эйнштейна расстояние и время, ранее считавшиеся абсолютными, оказываются изменяемыми для разных наблюдателей. Но подобно тому, как длину и высоту можно комбинировать для вычисления площади, расстояние и время можно комбинировать для определения других фиксированных свойств, или инвариантов. Тензоры позволили Эйнштейну эффективно манипулировать этими инвариантами и описывать взаимосвязь между массой и пространством-временем. Он смог написать одно уравнение, описывающее искривление пространства-времени материей, сведя к минимуму то, что в противном случае представляло бы собой 16 отдельных взаимосвязанных уравнений.
С момента публикации этого уравнения в 1915 году тензоры стали повсеместными. Физики используют их для описания движения электронов вокруг атомных ядер или для описания состояния запутанной квантовой системы. Специалисты по информатике используют их для хранения параметров моделей машинного обучения. Биологи используют их для отслеживания признаков по всей генеалогической линии. А математики умножают их друг на друга, чтобы построить ещё более сложные тензоры, а затем изучают новые пространства, в которых эти тензоры находятся. Тензоры могут помочь математикам исследовать сложные симметрии, анализировать свойства специальных форм, называемых многообразиями, и исследовать взаимосвязи между различными функциями, среди прочего.
Однажды Эйнштейн умолял друга помочь ему разобраться в тензорах, опасаясь, что сойдет с ума. Но он всё же разобрался в них — и с тех пор они стали ключом к способности учёных описывать наш мир.
Источник: www.quantamagazine.org
