Физики убирают мнимые числа из квантовой механики

Квантовая механика наконец-то сформулирована исключительно на основе действительных чисел, выведя математическую головоломку, лежащую в основе теории, на новый уровень исследований. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Сто лет назад странное поведение атомов и элементарных частиц побудило физиков сформулировать новую теорию природы. Эта теория, квантовая механика, сразу же обрела успех, доказав свою состоятельность точными расчётами испускания и поглощения света водородом. Однако существовала одна загвоздка. В центральном уравнении квантовой механики фигурировало мнимое число i, квадратный корень из −1.

Физики знали, что i — математическая фикция. Реальные физические величины, такие как масса и импульс, никогда не дают отрицательных значений при возведении в квадрат. Однако это нереальное число, которое ведёт себя как i² = −1, казалось, лежит в основе квантового мира.

Выведя уравнение с i-загадкой — по сути, закон движения квантовых сущностей, — Эрвин Шредингер выразил надежду, что оно будет заменено полностью реальной версией. («В настоящее время в форме уравнения, несомненно, есть определённая грубость», — писал он в 1926 году.) Несмотря на неприязнь Шрёдингера, i осталось, и новые поколения физиков без особого беспокойства приняли его уравнение.

Затем, в 2021 году, роль мнимых чисел в квантовой теории вновь привлекла внимание. Группа исследователей предложила способ эмпирически определить, является ли i неотъемлемой частью квантовой теории или же это просто математическое удобство. Две другие группы быстро провели сложные эксперименты и обнаружили, как предполагалось, неоспоримые доказательства того, что квантовая теория нуждается в i.

Однако в этом году ряд статей опровергли этот вывод.

В марте группа теоретиков из Германии опровергла исследования 2021 года, предложив версию квантовой теории с действительными значениями, которая полностью эквивалентна стандартной версии. Два французских теоретика предложили собственную формулировку действительной квантовой теории. А в сентябре другой исследователь подошел к этому вопросу с точки зрения квантовых вычислений и пришел к тому же ответу: i в конечном итоге не является необходимым для описания квантовой реальности.

Хотя теории с действительными значениями избегают явного использования i, они сохраняют отличительные черты его особой арифметики. Это заставляет некоторых задуматься, действительно ли побеждён мнимый аспект квантовой механики — или даже сама реальность.

«Математическая формулировка действительно определяет наши выводы о природе физического мира», — сказала Джилл Норт, философ физики из Ратгерского университета.

Невозможные ценности

Живя в Амстердаме в 1637 году, в разгар тюльпаномании (голландского безумия по поводу цветов, приведшего к невероятно высокой цене луковиц тюльпанов), Рене Декарт боролся с уравнениями, решения которых, казалось, также имели невозможные значения. Используя в качестве примера уравнение x³ − 6x² + 13x − 10 = 0, Декарт писал, что его решения «не всегда действительны, а иногда лишь мнимы. … Иногда нет никакой величины, которая соответствовала бы тому, что мы воображаем». Три числа, которые можно подставить вместо x, — это 2, 2 − i и 2 + i. Последние два числа, каждое из которых имеет как действительную, так и мнимую части в виде a + ib, стали называться комплексными числами.

Декарт относился к ним с насмешкой, но позднее комплексные числа были приняты благодаря их полезности в таких разных областях, как геометрия, оптика и анализ сигналов.

Шредингер неохотно признал их простоту использования в квантовой теории. Его уравнение описывает эволюцию волновой функции – сущности, представляющей возможные квантовые состояния объекта. (Эти состояния могут интерферировать деструктивно и конструктивно, подобно волнам.) Волновая функция Шрёдингера была комплекснозначной, хотя реальные измерения квантовых систем всегда возвращают действительные значения. «Квантовая теория – это действительно первая физическая теория, где комплексные числа, похоже, находятся прямо в центре теории», – сказал Билл Вуттерс, специалист по квантовой информации из Уильямс-колледжа.

Один из способов представления комплексного числа, например, a + ib, — это точка на плоскости, где a — это положение на оси x (которую можно рассматривать как прямую действительных чисел), а b — положение на мнимой оси y. Каждое комплексное число представляет собой стрелку, называемую вектором, направленную из начала координат в комплексную координату (a, b). Эти комплексные векторы подчиняются необычной арифметике комплексных чисел: например, умножение на i поворачивает вектор на 90 градусов.

Эти свойства сделали их естественными для квантовых состояний волновой функции — также векторов, подчиняющихся нечетным правилам комбинирования.

Физики время от времени пытались определить эквивалентные векторы с помощью действительных чисел. В 1960 году швейцарский физик Эрнст Штюкельберг разработал квантовую механику с действительными числами, которая отображала волновую функцию из комплексного пространства в действительное, используя несколько приёмов, чтобы заставить действительные числа имитировать вращения вокруг мнимой оси. Но если комплексная теория была компактной, то вещественная теория была громоздкой. Волновая функция для двух частиц включает четыре комплексных числа; расширение формулировки Штюкельберга на случай двух частиц увеличивает описание до 16 действительных чисел.

Несмотря на неуклюжесть квантовых теорий с действительными числами, в 2008 и 2009 годах две группы показали, что их можно использовать для воссоздания стандартных результатов теста Белла — важнейшего исследования свойств квантовой теории. «Для многих вещей действительная теория действительно может сработать», — сказал Вуттерс. Но будет ли действительная теория всегда давать одни и те же результаты?

Ключевые предположения

В 2021 году группа исследователей, включая Николя Жизена, физика из Женевского университета, поняла, что они могут проверить пределы действительных теорий, усложнив тест Белла.

В каноническом смысле тесты Белла предполагают создание пары «запутанных» частиц: частиц, возможные состояния которых связаны, например, фотонов с коррелированными поляризациями. Частицы разделяются и отправляются двум участникам, которых называют Алисой и Бобом, которые измеряют их поляризации и сравнивают результаты.

Вместо этого команда Гизина рассмотрела специальный тест Белла с двумя отдельными источниками запутанных частиц и тремя участниками: Алисой, Бобом и Чарли. Проведя расчёты, они обнаружили, что существует предел корреляции поляризаций запутанных частиц для квантовой теории с действительными числами и другой, более высокий предел для квантовой теории с комплексными числами. Это уже не было вопросом простоты вычислений или философии: существовал эмпирический тест, который мог исключить квантовую механику с действительными числами.

Вскоре после этого группа из Китайского университета науки и технологий (USTC) в Хэфэе запустила протокол и обнаружила, что наблюдаемые корреляции между запутанными фотонами значительно превышают предел, допустимый для теории с действительными числами. Комплексные числа, по-видимому, необходимы для описания этих квантовых состояний.

Однако статистически ошеломляющий результат не развеял вопросов.

«Комплексные числа — это всего лишь два действительных числа с определёнными правилами вычисления», — сказал Михаэль Эппинг, физик из Немецкого центра авиации и космонавтики и соавтор новой немецкой статьи. «Почему нельзя описать квантовую механику, используя только действительные числа?»

Миша Вудс из Высшей нормальной школы в Лионе и Тимоти Хоффрёмон из Университета Париж-Сакле, соавторы новой французской статьи, также выразили сомнения. В статье 2021 года Жизен и его коллеги выдвинули критическое предположение о «тензорном произведении» – математической операции, которая сводит комплексные векторы, описывающие частицы Алисы и Чарли, в одно запутанное состояние. Жизен и его соавторы предположили, что в действительной версии квантовой теории для объединения состояний будет использоваться та же математическая формулировка тензорного произведения.

Однако французская и немецкая команды утверждают, что такая форма тензорного произведения неверна для действительной теории. По аналогии, в плоском пространстве гипотенуза прямоугольного треугольника всегда равна a² + b² = c². Но это правило не выполняется для треугольника в искривлённом пространстве, например, для треугольника, отпечатанного на поверхности сферы. Недавно обе команды выдвинули аргумент, что стандартное тензорное произведение является частным случаем более общего класса правил комбинирования векторов. Они разработали различные правила комбинирования для создания действительной квантовой теории, дающей точно такие же предсказания, как и сложная квантовая теория.

Новая разработка в области квантовых вычислений также показывает, как избежать комплексных чисел. Квантовые компьютеры используют «логические вентили» для манипулирования квантовыми битами. Один из распространённых логических вентилей, называемый T-вентилем, вращает вектор, представляющий состояние квантового бита, вокруг комплексной плоскости. В сентябре Крейг Гидни, эксперт по квантовым вычислениям в Google Quantum AI, нашёл способ исключить T-вентили из любого квантового алгоритма, численно доказав, что квантовые вычисления не требуют комплексных чисел.

Что приходит естественно

Возможность существования действительной квантовой теории поднимает провокационные вопросы. Главный из них: почему она настолько сложнее? Этот вопрос актуален с самого зарождения квантовой механики; Шредингер пытался работать с действительным волновым уравнением, но перешёл к сложному, потому что оно было «необычайно проще для вычислительных целей», как он описал это в своих заметках.

Сегодня кажется, что квантовая теория не нуждается в i явно, но в простоте, обнаруженной Шрёдингером, всё ещё может быть что-то естественное. «Комплексная квантовая теория с её естественным тензорным произведением остаётся гораздо более лаконичной, элегантной и математически простой», — сказал Чао-Ян Лу, физик-экспериментатор из USTC, входивший в группу, проведшую специальный тест Белла, предложенный группой Гизина.

«Даже если перевести квантовую теорию на язык действительных чисел, вы все равно увидите отличительные черты арифметики комплексных чисел», — сказал Вуттерс.

Даже те, кто освободил теорию от комплексных чисел, признают, что последние являются естественным дополнением. Вещественные теории не содержат i, но копируют его способность вращать векторы. Мы «моделируем комплексные числа посредством действительных чисел», – утверждает Антон Трушечкин, физик из Дюссельдорфского университета имени Генриха Гейне и соавтор немецкой статьи.

Норт, философ физики, согласна с Лу. «Даже если комплексные числа не являются по-настоящему необходимыми, они дают возможность построить формулировку, которая, по-видимому, особенно хорошо подходит для квантовой механики», — сказала она. Её цель — «выявить нечто специфически квантовомеханическое», что способствует такому хорошему соответствию. Одним из возможных вариантов может быть спин — свойство квантовых частиц, не имеющее классического аналога.

Сохранение комплексных чисел в теориях с действительными значениями заставляет некоторых исследователей задуматься; сообщения о закате i могут быть несколько преувеличены. «Вы можете записывать их как угодно, но неизбежно, что они должны умножаться точно так же, как если бы это были комплексные числа», — сказал Влатко Ведрал, физик из Оксфордского университета. Он предпочёл бы найти более простые аксиомы для квантовой механики — интуитивные принципы, которые позволили бы теоретикам переформулировать теорию в совершенно новой форме.

«У нас действительно нет ни одной альтернативы тому, как квантовая механика была реализована 100 лет назад», — сказал он. «И вопрос в том, почему? Почему мы не можем пойти дальше?»

Источник: www.quantamagazine.org