Математики работают над тем, чтобы полностью объяснить необычное поведение, обнаруженное с помощью искусственного интеллекта. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
При правильном рассмотрении эллиптические кривые могут собираться в стаю, как птицы.
Введение
Эллиптические кривые — одни из самых завораживающих объектов современной математики. Они кажутся простыми, но образуют скоростную магистраль между математикой, которую многие изучают в старших классах, и исследовательской математикой в её наиболее глубоком понимании. Они сыграли центральную роль в знаменитом доказательстве Великой теоремы Ферма, полученном Эндрю Уайлсом в 1990-х годах. Они являются ключевыми инструментами современной криптографии. А в 2000 году Математический институт Клэя назвал гипотезу о статистике эллиптических кривых одной из семи «задач тысячелетия», каждая из которых предусматривает премию в 1 миллион долларов за решение. Эта гипотеза, впервые выдвинутая Брайаном Бёрчем и Питером Суиннертоном-Дайером в 1960-х годах, до сих пор не доказана.
Понимание эллиптических кривых — задача с высокими ставками, которая всегда была центральной в математике. Поэтому в 2022 году, когда трансатлантическое сотрудничество использовало статистические методы и искусственный интеллект для обнаружения совершенно неожиданных закономерностей в эллиптических кривых, это было желанным, хотя и неожиданным, вкладом. «Это был лишь вопрос времени, когда машинное обучение появится у нас на пороге с чем-то интересным», — сказал Питер Сарнак, математик из Института перспективных исследований и Принстонского университета. Поначалу никто не мог объяснить, почему существуют недавно обнаруженные закономерности. С тех пор, в серии недавних работ, математики начали раскрывать причины, лежащие в основе этих закономерностей, получивших название «бормотание» за их сходство с текучими формами стай скворцов, и начали доказывать, что они должны встречаться не только в конкретных примерах, рассмотренных в 2022 году, но и в эллиптических кривых в более общем смысле.
Важность эллиптичности
Чтобы понять, что это за закономерности, нам нужно сделать небольшое исследование того, что такое эллиптические кривые и как математики их классифицируют.
Эллиптическая кривая связывает квадрат одной переменной, обычно обозначаемой как y, с третьей степенью другой, обычно обозначаемой как x: y² = x³ + Ax + B для некоторой пары чисел A и B, при условии, что A и B удовлетворяют нескольким простым условиям. Это уравнение определяет кривую, которую можно изобразить на плоскости, как показано ниже. (Несмотря на схожесть названий, эллипс не является эллиптической кривой.)
Несмотря на свою простоту, эллиптические кривые оказываются невероятно мощными инструментами для специалистов по теории чисел — математиков, которые ищут закономерности в целых числах. Вместо того, чтобы позволить переменным x и y охватывать все числа, математики предпочитают ограничивать их различными числовыми системами, что они называют определением кривой «над» заданной числовой системой. Эллиптические кривые, ограниченные рациональными числами — числами, которые можно записать в виде дробей, — особенно полезны. «Эллиптические кривые над действительными или комплексными числами довольно скучны», — сказал Сарнак. «Только рациональные числа обладают глубиной».
Вот один из примеров. Если провести прямую линию между двумя рациональными точками на эллиптической кривой, точка пересечения этой линии с кривой также будет рациональной. Этот факт можно использовать для определения «сложения» на эллиптической кривой, как показано ниже.
Проведите линию между точками P и Q. Эта линия пересечет кривую в третьей точке R. (У математиков есть специальный трюк для случая, когда линия не пересекает кривую, — они добавляют «точку на бесконечности».) Отражение R относительно оси x — это сумма P + Q. Вместе с этой операцией сложения все решения кривой образуют математический объект, называемый группой.
Математики используют это для определения «ранга» кривой. Ранг кривой связан с числом её рациональных решений. Кривые ранга 0 имеют конечное число решений. Кривые с более высоким рангом имеют бесконечное число решений, соотношение которых друг с другом с помощью операции сложения описывается рангом.
Ранги изучены недостаточно; математики не всегда имеют возможность их вычислить и не знают, насколько большими они могут быть. (Наибольший точный ранг, известный для конкретной кривой, равен 20.) Схожие на вид кривые могут иметь совершенно разные ранги.
Эллиптические кривые также тесно связаны с простыми числами, которые делятся только на 1 и на самих себя. В частности, математики изучают кривые над конечными полями — системами циклической арифметики, определенными для каждого простого числа. Конечное поле подобно часам с количеством часов, равным простому числу: если продолжать считать вверх, отсчёт начинается заново. Например, в конечном поле для числа 7 5 плюс 2 равно нулю, а 5 плюс 3 равно 1.
Узоры, образованные тысячами эллиптических кривых, поразительно похожи на бормотание скворцов.
Эллиптическая кривая имеет связанную с ней последовательность чисел, называемую ap, которая отражает количество решений этой кривой в конечном поле, определяемом простым числом p. Чем меньше ap, тем больше решений; чем больше ap, тем меньше решений. Хотя ранг вычислить сложно, последовательность ap вычислить гораздо проще.
На основе многочисленных вычислений, проведённых на одном из первых компьютеров, Бёрч и Суиннертон-Дайер выдвинули гипотезу о связи между рангом эллиптической кривой и последовательностью ap. Любой, кто докажет их правоту, получит миллион долларов и математическое бессмертие.
Возникает неожиданный шаблон
После начала пандемии Ян-Хуэй Хэ, исследователь из Лондонского института математических наук, решил взяться за новые задачи. Он изучал физику в колледже и получил докторскую степень по математической физике в Массачусетском технологическом институте. Но его всё больше интересовала теория чисел, и, учитывая растущие возможности искусственного интеллекта, он решил попробовать использовать ИИ как инструмент для поиска неожиданных закономерностей в числах. (Он уже использовал машинное обучение для классификации многообразий Калаби-Яу, математических структур, широко используемых в теории струн.)
Когда Кю-Хван Ли (слева) и Томас Оливер (в центре) начали работать с Ян-Хуэй Хэ (справа) над использованием искусственного интеллекта для поиска математических закономерностей, они ожидали, что это будет развлечением, а не усилиями, которые приведут к новым открытиям.
В августе 2020 года, в разгар пандемии, Ноттингемский университет пригласил его на онлайн-выступление. Он был пессимистично настроен относительно своего прогресса и самой возможности использования машинного обучения для открытия новых математических основ. «Он говорил, что теория чисел сложна, потому что в ней невозможно обучиться с помощью машин», — сказал Томас Оливер, математик из Вестминстерского университета, присутствовавший в зале. Он вспоминает: «Я ничего не мог найти, потому что не был экспертом. Я даже не использовал нужные инструменты для изучения».
Оливер и Кю-Хван Ли, математик из Университета Коннектикута, начали работать с Хэ. «Мы решили заняться этим просто для того, чтобы узнать, что такое машинное обучение, а не для того, чтобы серьёзно изучать математику», — сказал Оливер. «Но мы быстро обнаружили, что машины могут обучать многому».
Оливер и Ли предложили Хе применить свои методы для исследования L-функций, бесконечных рядов, тесно связанных с эллиптическими кривыми через последовательность ap. Они могли бы использовать онлайн-базу данных эллиптических кривых и связанных с ними L-функций, называемую LMFDB, для обучения своих классификаторов машинного обучения. На тот момент в базе данных было чуть более 3 миллионов эллиптических кривых над рациональными числами. К октябрю 2020 года у них была статья, в которой информация, полученная из L-функций, использовалась для предсказания конкретного свойства эллиптических кривых. В ноябре они поделились другой статьей, в которой машинное обучение использовалось для классификации других объектов теории чисел. К декабрю им удалось с высокой точностью предсказывать ранги эллиптических кривых.
Но они не были уверены, почему их алгоритмы машинного обучения работают так хорошо. Ли попросил своего студента Алексея Позднякова разобраться, что происходит. Как правило, база данных LMFDB сортирует эллиптические кривые по величине, называемой кондуктором, которая суммирует информацию о простых числах, при которых кривая ведёт себя некорректно. Поэтому Поздняков попытался одновременно рассмотреть большое количество кривых с похожими кондукторами — скажем, все кривые с кондукторами от 7500 до 10 000.
Всего было получено около 10 000 кривых. Примерно половина из них имела ранг 0, а половина — ранг 1. (Более высокие ранги встречаются крайне редко.) Затем он усреднил значения ap для всех кривых ранга 0, отдельно усреднил ap для всех кривых ранга 1 и построил графики. Два набора точек образовали две отдельные, легко различимые волны. Именно поэтому классификаторы машинного обучения смогли правильно определить ранги конкретных кривых.
«Сначала я просто обрадовался, что выполнил задание», — сказал Поздняков. «Но Кю-Хван сразу понял, насколько эта закономерность удивительна, и вот тогда всё стало по-настоящему захватывающим».
Ли и Оливер были в восторге. «Алексей показал нам картинку, и я сказал, что это похоже на то, что делают птицы», — сказал Оливер. «А потом Кю-Хван посмотрел в словаре и сказал, что это называется мурмурация, а потом Ян сказал, что нам следует назвать статью „Мурмурации эллиптических кривых“».
Они загрузили свою статью в апреле 2022 года и переслали её нескольким другим математикам, с тревогой ожидая услышать, что их так называемое «открытие» широко известно. Оливер сказал, что эта связь настолько очевидна, что её следовало заметить уже давно.
Алексей Поздняков, студент Университета Коннектикута, был первым человеком, который наблюдал закономерности, теперь известные как мурмурации.
Препринт практически сразу же вызвал интерес, особенно у Эндрю Сазерленда, исследователя из Массачусетского технологического института и одного из главных редакторов LMFDB. Сазерленд понял, что 3 миллионов эллиптических кривых недостаточно для его целей. Он хотел изучить гораздо более широкие диапазоны проводников, чтобы оценить устойчивость шумов. Он извлёк данные из другого огромного хранилища, содержащего около 150 миллионов эллиптических кривых. Всё ещё не удовлетворённый результатом, он извлёк данные из другого хранилища, содержащего 300 миллионов кривых.
«Но даже этого оказалось недостаточно, поэтому я фактически рассчитал новый набор данных, состоящий из более чем миллиарда эллиптических кривых, и именно его я использовал для вычисления изображений с действительно высоким разрешением», — сказал Сазерленд. Мурмурации проявлялись независимо от того, усреднял ли он 15 000 эллиптических кривых одновременно или миллион. Форма оставалась неизменной даже при рассмотрении кривых в области всё больших простых чисел — явление, называемое масштабной инвариантностью. Сазерленд также обнаружил, что мурмурации не являются уникальными для эллиптических кривых, но также проявляются в более общих L-функциях. Он написал письмо, в котором обобщил свои результаты, и отправил его Сарнаку и Майклу Рубинштейну в Университет Ватерлоо.
«Если этому есть объяснение, я думаю, вы его знаете», — написал Сазерленд.
Они этого не сделали.
Объяснение закономерности
В августе 2023 года Ли, Хе и Оливер организовали семинар по мурмурации в Институте вычислительных и экспериментальных исследований в области математики (ICERM) Университета Брауна. На семинаре присутствовали Сарнак и Рубинштейн, а также студентка Сарнака Нина Зубрилина.
Зубрилина представила своё исследование паттернов мурмурации в модульных формах – специальных комплексных функциях, которые, подобно эллиптическим кривым, имеют ассоциированные L-функции. В модульных формах с большими проводниками мурмурации сходятся в чётко выраженную кривую, а не образуют различимый, но распределённый рисунок. В статье, опубликованной 11 октября 2023 года, Зубрилина доказала, что этот тип мурмурации подчиняется явной формуле, которую она открыла.
«Главное достижение Нины в том, что она вывела для этого формулу. Я называю её формулой плотности мурмурации Зубрилины», — сказал Сарнак. «Используя очень сложную математику, она доказала точную формулу, которая идеально соответствует данным».
Ее формула сложна, но Сарнак называет ее важным новым типом функции, сравнимым с функциями Эйри, которые определяют решения дифференциальных уравнений, используемых в различных контекстах физики — от оптики до квантовой механики.
Хотя формула Зубрилины была первой, за ней последовали и другие. «Каждую неделю выходит новая статья, — сказал Сарнак, — в основном с использованием инструментов Зубрилины, объясняющих другие аспекты мурмурации».
Нина Зубрилина, которая близка к завершению докторской диссертации в Принстоне, доказала формулу, объясняющую закономерности бормотания.
Джонатан Бобер, Эндрю Букер и Мин Ли из Бристольского университета совместно с Дэвидом Лоури-Дудой из ICERM в другой октябрьской работе доказали существование другого типа мурмурации в модулярных формах. А Кю-Хван Ли, Оливер и Поздняков доказали существование мурмурации в объектах, называемых характерами Дирихле, которые тесно связаны с L-функциями.
Сазерленд был впечатлён значительной долей удачи, которая привела к открытию мурмураций. Если бы данные об эллиптических кривых не были упорядочены по проводнику, мурмурации исчезли бы. «Им повезло, что данные были взяты из LMFDB, которая была предварительно отсортирована по проводнику», — сказал он. «Это то, что связывает эллиптическую кривую с соответствующей модулярной формой, но это совсем не очевидно. … Две кривые, уравнения которых выглядят очень похожими, могут иметь очень разные проводники». Например, Сазерленд отметил, что уравнение y² = x³ – 11x + 6 имеет проводник 17, но, заменив знак «минус» на знак «плюс», получим уравнение y² = x³ + 11x + 6 с проводником 100 736.
Даже тогда шумы были обнаружены только благодаря неопытности Позднякова. «Не думаю, что мы бы нашли их без него, — сказал Оливер, — потому что эксперты традиционно нормализуют ap до абсолютного значения 1. Но он не нормализовал их… поэтому колебания были очень большими и заметными».
Статистические закономерности, которые алгоритмы ИИ используют для сортировки эллиптических кривых по рангу, существуют в пространстве параметров с сотнями измерений — слишком много, чтобы люди могли их упорядочить в уме, не говоря уже о визуализации, отметил Оливер. Но хотя машинное обучение и обнаружило скрытые колебания, «только позже мы поняли, что это были мурмурации».
Примечание редактора: Эндрю Сазерленд, Кю-Хван Ли и база данных L-функций и модульных форм (LMFDB) получили финансирование от Фонда Саймонса, который также финансирует это независимое в редакционном отношении издание. Решения Фонда Саймонса о финансировании не влияют на наше освещение событий. Подробнее см. здесь.
Источник: www.quantamagazine.org
