Аспирант решил давнюю проблему узла Конвея.

Лизе Пиччирилло потребовалось меньше недели, чтобы ответить на давний вопрос о странном узле, обнаруженном более полувека назад легендарным Джоном Конвеем. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Летом 2018 года на конференции по низкоразмерной топологии и геометрии Лиза Пиччирилло услышала об одной интересной математической задаче. Она показалась ей хорошей площадкой для проверки некоторых методов, которые она разрабатывала, будучи аспиранткой в Техасском университете в Остине.

«Я не позволяла себе заниматься этим днем, — сказала она, — потому что не считала это настоящей математикой. Я думала, что это просто домашнее задание».

Вопрос заключался в том, является ли узел Конвея — запутанный узел, открытый более полувека назад легендарным математиком Джоном Хортоном Конвеем, — частью многомерного узла. «Секционность» — один из первых естественных вопросов, которые задают теоретики узлов в многомерных пространствах, и математики смогли ответить на него для всех тысяч узлов с 12 или менее пересечениями — за исключением одного. Узел Конвея, имеющий 11 пересечений, десятилетиями бросал вызов математикам.

Еще до конца недели Пиччирилло нашла ответ: узел Конвея — это не «разрезанный» узел. Несколько дней спустя она встретилась с Кэмероном Гордоном, профессором Техасского университета в Остине, и между делом упомянула о своем решении.

«Я сказал: „Что?? Это прямо сейчас отправится в „Анналы“!» — сказал Гордон, имея в виду «Анналы математики», один из ведущих журналов в этой области.

«Он начал кричать: „Почему ты не проявляешь больше энтузиазма?“ — говорит Пиччирилло, ныне научный сотрудник Брандейского университета. — Он как будто запаниковал».

«Я думаю, она не осознавала, насколько это старая и известная проблема», — сказал Гордон.

Доказательство Пиччирилло было опубликовано в журнале Annals of Mathematics в феврале. Эта статья, в сочетании с другими ее работами, обеспечила ей предложение о работе на должности профессора в Массачусетском технологическом институте, к которой она приступит 1 июля, всего через 14 месяцев после защиты докторской диссертации.

Вопрос о сечении узла Конвея стал известен не только потому, что долгое время оставался нерешенным. Сечение узлов дает математикам возможность исследовать странную природу четырехмерного пространства, в котором двумерные сферы могут быть связаны узлами, иногда настолько скомканными, что их невозможно разгладить. Сечение «связано с некоторыми из самых глубоких вопросов четырехмерной топологии на сегодняшний день», — сказал Чарльз Ливингстон, почетный профессор Университета Индианы.

«Вопрос о том, является ли узел Конвея разрезным, был своего рода отправной точкой для многих современных разработок в области теории узлов», — сказал Джошуа Грин из Бостонского колледжа, который руководил дипломной работой Пиччирилло, когда она училась там. «Было действительно приятно видеть, как человек, которого я знаю так давно, вдруг вытащил меч из камня».

Волшебные Сферы

В то время как большинство из нас представляет узел как нить с двумя концами, математики считают, что эти два конца соединены, поэтому узел не может распутаться. За прошедшее столетие эти завязанные узлами петли помогли пролить свет на такие темы, как квантовая физика, структура ДНК, а также топология трехмерного пространства.

Нажимая кнопку просмотра этого видео, вы соглашаетесь с нашей политикой конфиденциальности.

Но наш мир четырехмерен, если мы включим время в качестве измерения, поэтому естественно задаться вопросом, существует ли соответствующая теория узлов в четырехмерном пространстве. Это не просто вопрос переноса всех узлов, которые у нас есть в трехмерном пространстве, в четырехмерное пространство: имея четыре измерения для перемещения, любую запутанную петлю можно распутать, если переместить нити друг относительно друга в четвертом измерении.

Для создания завязанного узла в четырехмерном пространстве необходима двумерная сфера, а не одномерная петля. Подобно тому, как трехмерное пространство предоставляет достаточно места для построения завязанных узлов, но недостаточно для их распутывания, четырехмерное пространство создает такую среду для завязанных узлов, которые математики впервые сконструировали в 1920-х годах.

Сложно представить себе завязанный узелком шар в четырехмерном пространстве, но полезно сначала подумать об обычном шаре в трехмерном пространстве. Если его разрезать, получится незавязанная петля. Но если разрезать завязанный узелком шар в четырехмерном пространстве, вместо него может получиться завязанная петля (или, возможно, незавязанная петля, или соединение нескольких петель, в зависимости от точки разреза). Любой узел, который можно образовать, разрезав завязанный узелком шар, называется «узел, образованный путем разреза». Некоторые узлы не являются узлами, образованными путем разреза — например, трехперекрещивающийся узел, известный как трилистник.

«Узлы, образованные разрезом, обеспечивают связь между трехмерным и четырехмерным миром теории узлов», — сказал Грин.

Но есть один нюанс, который придает четырехмерной истории богатство и своеобразие: в 4D-топологии существуют две разные версии того, что значит быть поперечным сечением. В серии революционных разработок начала 1980-х годов (за которые были присуждены Филдсовские медали Майклу Фридману и Саймону Дональдсону) математики обнаружили, что 4D-пространство содержит не только гладкие сферы, которые мы интуитивно представляем, — оно также содержит сферы, настолько сильно смятые, что их невозможно разгладить утюгом. Вопрос о том, какие узлы являются поперечными сечением, зависит от того, решите ли вы включить эти смятые сферы.

«Это очень, очень странные объекты, которые словно существуют по волшебству», — сказала Шелли Харви из Университета Райса. (Именно на выступлении Харви в 2018 году Пиччирилло впервые узнал о проблеме узла Конвея.)

Эти странные сферы — не ошибка четырехмерной топологии, а её особенность. Узлы, которые являются «топологически срезанными», но не «гладко срезанными» — то есть они представляют собой срез некоторой смятой сферы, но не гладкой, — позволяют математикам создавать так называемые «экзотические» версии обычного четырехмерного пространства. Эти копии четырехмерного пространства с топологической точки зрения выглядят так же, как и обычное пространство, но безвозвратно смяты. Существование этих экзотических пространств отличает четвертое измерение от всех других измерений.

По словам Грина, вопрос о срезимости — это «самый низкоразмерный зонд» этих экзотических четырехмерных пространств.

За прошедшие годы математики обнаружили множество узлов, которые топологически, но не плавно, были разрезаемыми. Однако среди узлов с 12 или менее пересечениями таких, по-видимому, не было — за исключением, возможно, узла Конвея. Математики могли определить разрезаемость всех остальных узлов с 12 или менее пересечениями, но узел Конвея им не удавалось.

Конвей, скончавшийся от COVID-19 в прошлом месяце, был известен своими влиятельными работами в различных областях математики. Впервые он заинтересовался узлами еще подростком в 1950-х годах и придумал простой способ перечислить практически все узлы с числом пересечений до 11 (ранее полные списки содержали только 10 пересечений).

В списке был один узел, который особенно выделялся. «Думаю, Конвей понял, что в нем есть что-то особенное», — сказал Грин.

Узел Конвея, как его стали называть, является топологически разрезным — математики осознали это в ходе революционных открытий 1980-х годов. Но они не могли понять, является ли он гладко разрезным. Они подозревали, что нет, потому что, казалось, ему не хватало свойства, называемого «ленточностью», которое обычно присуще гладко разрезным узлам. Но у него также было свойство, которое делало его неуязвимым для любых попыток доказать, что он не является гладко разрезным.

А именно, у узла Конвея есть своего рода «брат» — так называемый «мутант». Если нарисовать узел Конвея на бумаге, вырезать определенный участок бумаги, перевернуть фрагмент и соединить его свободные концы, получится другой узел, известный как узел Киносита-Терасака.

Проблема в том, что этот новый узел, как оказалось, является гладко разрезаемым. А поскольку узел Конвея так тесно связан с гладко разрезаемым узлом, он умудряется обмануть все инструменты (называемые инвариантами), которые математики используют для обнаружения неразрезных узлов.

«Всякий раз, когда появляется новый инвариант, мы пытаемся проверить его на соответствие узлу Конвея», — сказал Грин. «Это всего лишь один упрямый пример, который, кажется, независимо от того, какой инвариант вы придумаете, не скажет вам, является ли объект разрезаемым или нет».

По словам Пиччирилло, узел Конвея «находится на пересечении слепых зон» этих различных инструментов.

Математик Марк Хьюз из Университета Бригама Янга создал нейронную сеть, которая использует инварианты узлов и другую информацию для прогнозирования таких характеристик, как гладкость среза. Для большинства узлов сеть делает четкие прогнозы. Но ее предположение о том, является ли узел Конвея гладко срезаемым, оказалось неверным.

«Со временем это стало для нас той проблемой, с которой мы не смогли справиться», — сказал Ливингстон.

Умные повороты сюжета

Пиччирилло нравится визуальная интуиция, которую влечет за собой теория узлов, но она не считает себя в первую очередь теоретиком узлов. «Меня действительно увлекают [трех- и четырехмерные формы], но изучение этих вещей тесно связано с теорией узлов, поэтому я немного занимаюсь и этим», — написала она в электронном письме.

Когда она только начала изучать математику в колледже, она не выделялась как «типичный вундеркинд-математик», — говорит Элисенда Григсби, одна из профессоров Пиччирилло в Бостонском колледже. Скорее, внимание Григсби привлекло именно ее творческое начало. «Она твердо верила в свою точку зрения и всегда верила».

Пиччирилло столкнулась с вопросом о узле Конвея в тот момент, когда размышляла о другом способе связи двух узлов, помимо мутации. Каждый узел имеет связанную с ним четырехмерную форму, называемую его следом, который создается путем размещения узла на границе четырехмерного шара и пришивания к шару своего рода колпачка вдоль узла. След узла «очень сильно кодирует этот узел», — сказал Гордон.

Разные узлы могут иметь один и тот же четырехмерный след, и математики уже знали, что эти «родственные» узлы со следом всегда имеют одинаковый статус сечения — либо оба являются сечением, либо оба не являются сечением. Но Пиччирилло и Эллисон Миллер, ныне научный сотрудник Университета Райса, показали, что эти «родственные» узлы со следом не обязательно выглядят одинаково для всех инвариантов узлов, используемых для изучения сечениеобразности.

Это подтолкнуло Пиччирилло к стратегии доказательства того, что узел Конвея не является отрезным: если бы она смогла построить аналог следа для узла Конвея, возможно, он бы лучше взаимодействовал с одним из инвариантов отрезков, чем сам узел Конвея.

Создание родственных связей по признаку происхождения — дело непростое, но Пиччирилло была экспертом в этом. «Это просто моя профессия, — сказала она. — Поэтому я просто пошла домой и сделала это».

Благодаря сочетанию хитрых уловок Пиччирилло удалось построить сложный узел, имеющий ту же траекторию, что и узел Конвея. Для этого узла инструмент, называемый s-инвариантом Расмуссена, показывает, что он не является гладко разрезанным — следовательно, узел Конвея тоже не может быть гладко разрезанным.

«Это действительно прекрасное доказательство», — сказал Гордон. По его словам, не было никаких оснований ожидать, что узел, построенный Пиччирилло, будет подчиняться s-инварианту Расмуссена. «Но это сработало… довольно удивительно».

«Доказательство Пиччирилло вписывается в рамки коротких, неожиданных доказательств трудноуловимых результатов, которые исследователи в этой области могут быстро усвоить, оценить и попытаться обобщить — не говоря уже о том, что они удивляются, как долго на его создание ушло», — написал Грин в электронном письме.

Следы узлов — это классический инструмент, существующий уже десятилетия, но, по словам Грина, Пиччирилло понимала его глубже, чем кто-либо другой. Ее работа показала топологам, что следы узлов недооценены, сказал он. «Она подобрала инструменты, которые, возможно, были немного запылены», — сказал он. «Теперь другие следуют ее примеру».

Исправление: 21 мая 2020 г.
Иллюстрация, изображающая узел Пиччирилло, была обновлена для исправления одного из пересечений.

Данная статья была перепечатана на Wired.com и кратко изложена на Washingtonpost.com.

Источник: www.quantamagazine.org