В конце XIX века Карл Вейерштрасс изобрел фракталоподобную функцию, которая была осуждена как «гнусное зло». Со временем она изменила основы математики. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Как бы сильно вы ни увеличивали масштаб, функция Вейерштрасса становится все более и более зазубренной.
Введение
Математический анализ — мощный математический инструмент. Но на протяжении сотен лет после его изобретения в XVII веке он стоял на шатком фундаменте. Его основные концепции основывались на интуиции и неформальных рассуждениях, а не на точных, формальных определениях.
По словам Майкла Барани, историка математики и естественных наук из Эдинбургского университета, в ответ на это возникли две школы мысли. Французские математики в целом были довольны тем, что продолжают работу. Их больше интересовало применение математического анализа к задачам физики — например, для вычисления траекторий планет или для изучения поведения электрических токов. Но к XIX веку немецкие математики начали разрушать устоявшиеся представления. Они поставили перед собой задачу найти контрпримеры, которые подорвали бы давно устоявшиеся предположения, и в конечном итоге использовали эти контрпримеры, чтобы поставить математический анализ на более стабильную и прочную основу.
Одним из таких математиков был Карл Вейерштрасс. Хотя он рано проявил склонность к математике, отец настаивал на том, чтобы он изучал государственные финансы и управление, с целью поступления на прусскую государственную службу. Говорят, что, скучая на университетских курсах, Вейерштрасс большую часть времени проводил за выпивкой и фехтованием; в конце 1830-х годов, не получив диплома, он стал учителем в средней школе, преподавая всё — от математики и физики до чистописания и гимнастики.
Вейерштрасс начал свою карьеру профессионального математика лишь в возрасте около 40 лет. Но ему предстояло совершить революцию в этой области, создав математическое чудо.
Основы математического анализа
В 1872 году Вейерштрасс опубликовал функцию, которая угрожала всему, что, как считали математики, они понимали о дифференциальном и интегральном исчислении. Его встретили безразличием, гневом и страхом, особенно со стороны математических гигантов французской школы мысли. Анри Пуанкаре осудил функцию Вейерштрасса как «возмутительное нарушение здравого смысла». Шарль Эрмит назвал её «плачевным злом».
Чтобы понять, почему результат Вейерштрасса был настолько тревожным, полезно сначала разобраться в двух самых фундаментальных понятиях математического анализа: непрерывности и дифференцируемости.
Непрерывная функция — это именно то, что подразумевает её название: функция, не имеющая разрывов или скачков. Вы можете проследить путь от любой точки такой функции до любой другой, не отрывая карандаша от земли.
В высшей математике в значительной степени изучают скорость изменения таких непрерывных функций. В общих чертах, она работает путем аппроксимации заданной функции прямыми, невертикальными линиями.
В любой точке этой кривой можно провести касательную — линию, которая наилучшим образом аппроксимирует кривую вблизи этой точки. Наклон, или крутизна, касательной измеряет скорость изменения функции в этой точке. Можно определить другую функцию, называемую производной, которая определяет наклон касательной в каждой точке исходной функции. Если производная существует в каждой точке, то исходная функция называется дифференцируемой.
Функции, содержащие разрывы, никогда не дифференцируемы: вы не сможете провести касательную, которая аппроксимирует эти разрывы, а значит, вашей производной там не будет. Но даже непрерывные функции не всегда дифференцируемы в каждой точке. Рассмотрим функцию «абсолютного значения», которая выглядит так:
С левой стороны этой V-образной кривой касательные линии наклонены вниз. С правой стороны они наклонены вверх. В нижней вершине наклон резко меняет направление. Производная функции в этой точке не существует, хотя она хорошо определена везде в остальных точках.
Большинство математиков XIX века это не смущало. Они считали это единичным явлением: по их утверждению, пока функция непрерывна, существует лишь конечное число точек, где производная не определена. Во всех остальных точках функция должна оставаться гладкой и извилистой. Другими словами, функция может лишь до определённого предела изменяться.
В действительности, еще в 1806 году видный французский математик и физик Андре-Мари Ампер заявил, что доказал это. В течение десятилетий его рассуждения оставались неоспоримыми. Затем появился Вейерштрасс.
Чудовище Вейерштрасса
Вейерштрасс открыл функцию, которая, согласно доказательству Ампера, должна была быть невозможна: она была непрерывна везде, но нигде не дифференцирована.
Он построил её, сложив бесконечное множество волнообразных «косинусоидальных» функций. Чем больше слагаемых он добавлял, тем сильнее его функция зигзагообразно изменялась — пока, в конечном итоге, не начала резко менять направление в каждой точке, напоминая бесконечно зазубренный пилообразный гребень.
Многие математики отвергли эту функцию. Это была аномалия, говорили они, — творение педанта, математически бесполезное. Они даже не могли её визуализировать. Сначала, когда вы пытаетесь построить график функции Вейерштрасса, он выглядит гладким в некоторых областях. Только при увеличении масштаба вы увидите, что эти области тоже неровные, и что они будут становиться всё более зазубренными и непослушными (то, что математики называют «патологией») с каждым дополнительным увеличением.
Однако Вейерштрасс неопровержимо доказал, что, хотя его функция не имела разрывов, она никогда не была дифференцируемой. Чтобы показать это, он сначала пересмотрел определения «непрерывности» и «дифференцируемости», сформулированные десятилетиями ранее математиками Огюстеном-Луи Коши и Бернаром Больцано. Эти определения основывались на расплывчатых, простых описаниях и непоследовательных обозначениях, что делало их легко неправильно истолковываемыми.
Поэтому Вейерштрасс переписал их, используя точный язык и конкретные математические формулы. (Каждый студент, изучающий математический анализ, изучает эпсилон-дельта-определение предела; именно Вейерштрасс ввел его современную версию и использовал ее в качестве основы для своих определений непрерывности и дифференцируемости.)
Затем он смог показать, что его функция удовлетворяет его более строгому определению непрерывности. В то же время он смог доказать, что в каждой точке его новое формальное определение производной функции никогда не имело конечного значения; она всегда «взлетала» до бесконечности. Другими словами, непрерывность не подразумевает дифференцируемости. Его функция оказалась такой же чудовищной, как и опасались математики.
Доказательство продемонстрировало, что дифференциальное и интегральное исчисление больше не может опираться на геометрическую интуицию, как это делали его создатели. Оно положило начало новому стандарту в этой области, основанному на тщательном анализе уравнений. Математики были вынуждены следовать по стопам Вейерштрасса,进一步 уточняя определение функций, понимание взаимосвязи между непрерывностью и дифференцируемостью, а также методы вычисления производных и интегралов. Эта работа по стандартизации дифференциального и интегрального исчисления с тех пор переросла в область, известную как анализ; Вейерштрасс считается одним из её основателей.
Но наследие этой функции простирается далеко за пределы основ математического анализа и математического анализа. Она показала, что математика полна чудовищ: кажущихся невозможными функций, странных объектов (это один из самых ранних примеров фрактала), дикого поведения. «Существует целая вселенная возможностей, и функция Вейерштрасса призвана открыть вам на неё глаза», — сказал Филип Грессман из Пенсильванского университета.
Оказалось, что эта теория также нашла множество практических применений. В начале XX века физики хотели изучить броуновское движение — случайное движение частиц в жидкости или газе. Поскольку это движение непрерывно, но не плавно — оно характеризуется быстрыми и бесконечно малыми флуктуациями — такие функции, как функция Вейерштрасса, идеально подходили для его моделирования. Аналогичным образом, подобные функции использовались для моделирования неопределенности в процессе принятия решений и принятия рисков, а также сложного поведения финансовых рынков.
Как и в случае с самим Вейерштрассом, последствия его функции иногда проявлялись с опозданием. Но они продолжают формировать математику и её приложения и сегодня.
Источник: www.quantamagazine.org
