Вэй Хо увлекается алгеброй, геометрией и человеческим аспектом математики

Вэй Хо, первый директор программы «Женщины и математика» в Институте перспективных исследований, сочетает алгебру и геометрию в своей работе над классом кривых, относящимся к античности. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Как и многие будущие математики, Вэй Хо росла, участвуя в математических олимпиадах. В восьмом классе она выиграла государственный конкурс Mathcounts в Висконсине, а её команда заняла третье место на национальном чемпионате.

В отличие от многих будущих математиков, она не была уверена, что когда-нибудь захочет ими стать.

«Мне хотелось заниматься всем и всегда», — сказала Хо. «Я очень серьёзно относилась к балету до начала старшей школы. Я редактировала литературный журнал. Я участвовала в дебатах и занималась криминалистикой. Я играла в теннис и футбол, на пианино и скрипке». В отличие от этого, многие успешные математики, казалось, были одержимы математикой, полностью исключая всё остальное. Как она, человек с множеством увлечений, могла конкурировать с такой сосредоточенностью?

В конечном итоге Хо увлеклась строгостью математики. Она по-прежнему увлекается балетом, чтением романов и разгадыванием загадочных кроссвордов, одновременно помогая переосмыслить математический аппарат, лежащий в основе фундаментальных математических понятий, таких как полиномиальные уравнения, с которыми связаны давние и сложные открытые вопросы.

Хо изучает знакомые геометрические объекты, но переформулирует вопросы, помещая их в область рациональных чисел — чисел, которые можно записать в виде дробей. «Потом во всё это начинает вмешиваться теория чисел», — сказала она.

Её особенно интересуют эллиптические кривые, которые определяются особым видом полиномиального уравнения, имеющего применение в различных областях математики. Эллиптические кривые встречаются в анализе — в широком смысле, в изучении непрерывных величин, таких как действительные числа, — и в алгебре, которая занимается поиском и определением точных математических структур. (Хотя их фокус и различается, анализ и алгебра разделяются скорее осмысленностью, чем строгой границей, поскольку между ними существует множество пересечений.)

В революционном препринте, опубликованном в 2018 году, Хо и её коллега Левент Альпёге из Гарвардского университета обнаружили новую верхнюю границу для числа целочисленных решений многочленов, определяющих эллиптические кривые. Их метод основан на многолетних работах Луиса Морделла, американского математика, эмигрировавшего в Великобританию в 1906 году. В своей работе Хо и Альпёге удалось получить новую информацию о распределении этих целочисленных решений, которая ранее не была доступна другим группам, изучающим аналогичные задачи.

Хо проводит этот год (в отпуске, связанном с преподавательской деятельностью в Мичиганском университете) в качестве приглашенного профессора в Институте перспективных исследований, где она недавно была назначена первым директором программы «Женщины и математика» Института перспективных исследований. Она также является членом Американского математического общества 2023 года и научным сотрудником Принстонского университета.

Она надеется, что руководство программой «Женщины и математика» «по крайней мере, поможет сообществу больше, поможет большему количеству людей, а не просто сидеть в своём офисе и заниматься математическими исследованиями самостоятельно или с коллегами», — сказала она. «Я могу доказывать теоремы, и, возможно, когда-нибудь смогу доказать теорему, которая через 100 лет будет иметь значение. Может быть, да, а может быть, и нет. Но я чувствовала, что не оказываю достаточного влияния на мир или на окружающих».

Quanta пообщалась с Хо в серии видеоконференций. Интервью были сокращены и отредактированы для ясности.

Как бы вы описали свой подход к изучению математики?

Иногда математики делят себя на алгебраистов и аналитиков. Моя математика затрагивает обе стороны, но в душе я алгебраист, хотя и геометрически мыслящий. Я часто склонен считать алгебру и геометрию по сути одним и тем же.

Это не совсем точно, но, по сути, со времён Декарта, и особенно в прошлом веке, эти две темы стали очень близки. Существует довольно точный словарь, который в некоторых ситуациях может помочь перевести геометрическую картину в алгебраические следствия.

В моём случае геометрическая картина часто помогает формулировать утверждения и гипотезы, а также даёт интуицию, но затем мы переводим их в алгебру, когда пишем. Алгебра, как правило, более строгая, позволяет легче обнаружить ошибки. Кроме того, алгебра может быть проще использовать, когда геометрию становится слишком сложно визуализировать.

На каких идеях вы сосредоточились в своей последней работе?

Значительная часть моей работы связана с эллиптическими кривыми, которые являются весьма естественными объектами в теории чисел и арифметической геометрии.

Должно быть, сложно найти целочисленные решения для таких уравнений. Мы ожидаем, что почти все кривые не должны иметь целочисленных решений. Но доказать это очень сложно.

Мы с Левентом изучили это распределение числа целых точек. Мы используем классическую конструкцию из книги Морделла «Диофантовы уравнения» 1969 года. Мы можем дать верхнюю границу числа целых точек на эллиптической кривой. Другие исследователи уже давали такие оценки. Мы нашли другую, простую для формулировки, границу.

Какую роль сыграла предыдущая работа Морделла в вашем недавнем результате?

Наш вопрос касается целых точек на эллиптических кривых. Морделл нашёл способ связать его с чем-то другим, что мы можем изучать.

Это то, с чем мы постоянно сталкиваемся в математике: мы хотим понять объект, но нам нужно найти для его понимания посредника. Иногда этот посредник очень точен. Иногда он теряет информацию. Но на самом деле к нему мы можем получить доступ.

Когда вы решили сосредоточиться на математике?

Не думаю, что для меня наступил переломный момент. Сейчас я доволен своей жизнью и карьерой, но мне кажется, что если бы всё сложилось немного иначе, я мог бы быть счастлив во многих профессиях и других областях. Возможно, большинство математиков не стали бы этого говорить, потому что им нравится говорить о своей увлечённости математикой и о том, что они никогда не смогут думать ни о чём другом. Что касается меня, то, думаю, это не так.

Мне интересно многое. Возможно, я стал математиком, потому что меня раздражала недостаточная строгость в других областях. В детстве меня учили мыслить как математика, потому что именно так мы рассуждали дома. Отец играл со мной в математические игры, и это означало, что я с раннего возраста учился логическому мышлению. Мне хотелось, чтобы всё было доказано.

Но я не был уверен, что стану хорошим математиком.

Почему?

В молодости я не знал так много математиков, которые были бы похожи на меня хоть в чём-то. Мы постоянно говорим о ролевых моделях. Дело не только в том, что я мало видел женщин или американок азиатского происхождения.

Я имею в виду, что я не видел много людей, увлечённых чем-то, кроме математики. Это заставляло меня сильно сомневаться в себе. Как я могу добиться успеха в математике, если не трачу 100% своего времени на размышления о ней? Именно это я и видел вокруг. У меня сложилось впечатление, что другие люди, мои сверстники и люди старше меня, подходят к математике иначе, чем я. Я думал, что будет сложно построить карьеру, где я не буду таким. У меня будут другие интересы.

Я не видел, чтобы кто-то так сильно заботился о человеческом аспекте. Я боялся, что какая-то часть меня помешает мне стать математиком.

Вас только что назначили директором программы «Женщины и математика» IAS. Что эта программа даёт женщинам-математикам?

Это недельный семинар для женщин на разных этапах карьеры, включая студенток бакалавриата, аспиранток, постдокторантов, а также некоторых преподавателей младших и старших курсов. Обучение математике проходит в благоприятной атмосфере.

Студенты, которые, возможно, не знали, что хотят заниматься математикой, встречаются с очень опытными математиками и получают наставничество на протяжении всего обучения. Они могут видеть разных людей на разных этапах карьеры и делиться с ними своим опытом. Не думаю, что есть много других программ, которые охватывают весь этот спектр и специализируются на какой-то конкретной области.

Программа 2023 года называется «Закономерности в целых числах». В ней будет участвовать много специалистов по аддитивной комбинаторике и аналитической теории чисел. Мы приглашаем людей из разных сфер деятельности, чтобы они могли познакомиться друг с другом.

Студенты старших курсов, уже работающие в этой области, встречаются с постдокторантами, младшими и старшими преподавателями в своей области и получают возможность поработать с ними вместе в течение недели.

Вы также участвуете в проекте Stacks , представляющем собой обширный онлайн-ресурс. В чём его уникальность?

Огромный объём и доступность. Это огромный — более 7500 страниц, если распечатать — онлайн-проект, совместная работа. Но, если говорить реалистично, почти весь его написал [математик из Колумбийского университета] Айзе Йохан де Йонг. Это строгий, тщательно составленный ресурс для специалистов по алгебраической геометрии. Он сделал для сообщества нечто удивительное.

Каждую неделю-две он растёт. Это надёжный справочник практически по любому вопросу. Он охватывает огромный объём алгебраической геометрии, для которого вам пришлось бы изучить как минимум 20 учебников.

Это жизнь в том смысле, что можно что-то добавлять и редактировать. Если есть ошибки, они будут обнаружены.

Ещё один интересный момент — система тегов. Несмотря на то, что этот документ постоянно пополняется, вы по-прежнему можете ссылаться на определённый тег бесконечно. Существует более 21 000 постоянных тегов для конкретных результатов, которые вы, возможно, захотите процитировать. Питер Бельманс разработал всю бэкенд-систему, которая также использовалась в других проектах. Другие разработчики адаптировали её технологию.

Проблема в том, — и Йохан это знает, — что рано или поздно он не сможет продолжать писать. Когда-нибудь, если мы хотим, чтобы это продолжалось, к этому будут более активно привлекаться другие люди.

Какую роль ваши семинары играют в проекте Stacks?

Суть в том, чтобы начать вовлекать в процесс молодых людей. Мы просим их писать фрагменты и статьи, которые в конечном итоге могут быть включены в него. Здесь есть определённые противоречия, поскольку для того, чтобы сайт оставался корректным и качественным ресурсом, его необходимо тщательно модерировать. Так что Йохану ещё предстоит проделать большую работу по наполнению сайта. Он не должен быть похож на Википедию, где каждый может к нему прикоснуться. Это немного печально, но это необходимо, чтобы всё работало.

Мы пытаемся найти способы постепенно вовлечь больше людей в проект Stacks. Мы привлекаем наставников для работы над проектами с аспирантами и постдоками. Они изучают алгебраическую геометрию. Затем они что-то пишут.

Мы только что опубликовали том с кучей пояснительных статей, которые, как мы надеемся, в конечном итоге войдут в проект Stacks.

Проект Stacks может продолжать оказывать огромное влияние на протяжении сотен лет, если в него вмешается достаточное количество людей и будет поддерживать его реализацию.

Источник: www.quantamagazine.org