Расширив рамки ключевого положения Великой теоремы Ферма, четыре математика добились больших успехов на пути к созданию единой теории математики.
Иллюстрация: Нэш Вирасекера для журнала QuantaСохранить эту историю Сохранить эту историю
Оригинальная версия этой истории была опубликована в журнале Quanta Magazine.
В 1994 году математический мир потрясло невероятное доказательство. Математик Эндрю Уайлс наконец решил Великую теорему Ферма, центральную проблему теории чисел, которая оставалась открытой более трёх столетий. Доказательство не просто очаровало математиков — оно попало на первую полосу газеты The New York Times.
Но чтобы добиться этого, Уайлсу (с помощью математика Ричарда Тейлора) сначала пришлось доказать более тонкое промежуточное утверждение — такое, которое имело бы последствия, выходящие за рамки головоломки Ферма.
Это промежуточное доказательство включало демонстрацию того, что важный тип уравнения, называемый эллиптической кривой, всегда можно связать с совершенно другим математическим объектом, называемым модулярной формой. Уайлс и Тейлор, по сути, открыли портал между разрозненными математическими мирами, обнаружив, что каждый из них выглядит как искажённое зеркальное отражение другого. Уайлс и Тейлор показали, что если математики хотят понять что-то об эллиптической кривой, они могут перейти в мир модулярных форм, найти и изучить зеркальное отражение своего объекта, а затем вернуться к своим выводам.
Эта связь между мирами, называемая «модулярностью», не только позволила Уайлсу доказать Великую теорему Ферма. Математики вскоре стали использовать её для решения всевозможных ранее неразрешимых задач.
Модульность также лежит в основе программы Лэнглендса – обширного набора гипотез, направленных на разработку «великой единой теории» математики. Если эти гипотезы верны, то все виды уравнений за пределами эллиптических кривых будут аналогичным образом связаны с объектами в их зеркальном измерении. Математики смогут перемещаться между мирами по своему усмотрению, чтобы ответить на ещё больше вопросов.
Однако доказать соответствие между эллиптическими кривыми и модулярными формами оказалось невероятно сложно. Многие исследователи считали, что установить некоторые из этих более сложных соответствий будет невозможно.
Теперь команда из четырёх математиков доказала их неправоту. В феврале квартету наконец удалось распространить модулярную связь с эллиптических кривых на более сложные уравнения, называемые абелевыми поверхностями. Команда, состоящая из Фрэнка Калегари из Чикагского университета, Джорджа Боксера и Тоби Джи из Имперского колледжа Лондона, а также Винсента Пиллони из Французского национального центра научных исследований, доказала, что каждой абелевой поверхности, принадлежащей определённому основному классу, всегда можно сопоставить модулярную форму.
Тоби Джи, Фрэнк Калегари и Винсент Пиллони, а также Джордж Боксер (на фото отсутствует), потратили почти десять лет на доказательство.
Фотографии: предоставлены Тоби Джи; Джейн Ион; MC«Мы в основном считаем, что все эти гипотезы верны, но так волнительно видеть, как это действительно реализуется», — сказала Ана Караиани, математик из Имперского колледжа Лондона. «Причём в случае, который, казалось бы, находится вне досягаемости».
Это только начало поисков, которые займут годы: математики в конечном итоге хотят доказать модулярность каждой абелевой поверхности. Но этот результат уже может помочь ответить на многие открытые вопросы, подобно тому, как доказательство модулярности эллиптических кривых открыло множество новых направлений исследований.
Сквозь зеркало
Эллиптическая кривая — это особенно фундаментальный тип уравнений, использующий всего две переменные — x и y. Если построить график её решений, то можно увидеть, казалось бы, простые кривые. Но эти решения тесно и сложно взаимосвязаны и проявляются во многих важнейших вопросах теории чисел. Например, гипотеза Бёрча и Суиннертона-Дайера — одна из самых сложных открытых проблем в математике, за решение которой первому её докажут, — касается природы решений эллиптических кривых.
Эллиптические кривые сложно изучать напрямую. Поэтому иногда математики предпочитают подходить к ним с другой стороны.
Вот тут-то и появляются модулярные формы. Модулярная форма — это высокосимметричная функция, которая рассматривается в, казалось бы, отдельной области математического изучения, называемой анализом. Поскольку они демонстрируют так много хороших симметрий, с модулярными формами проще работать.
На первый взгляд кажется, что эти объекты не должны быть связаны. Но доказательство Тейлора и Уайлса показало, что каждая эллиптическая кривая соответствует определённой модулярной форме. У них есть определённые общие свойства — например, набор чисел, описывающий решения эллиптической кривой, также будет проявляться в соответствующей ей модулярной форме. Таким образом, математики могут использовать модулярные формы для получения нового понимания эллиптических кривых.
Но математики считают, что теорема Тейлора и Уайлса о модулярности — лишь один пример универсального факта. Помимо эллиптических кривых, существует гораздо более общий класс объектов. И у всех этих объектов также должен быть партнёр в более широком мире симметричных функций, таких как модулярные формы. В этом, по сути, и заключается суть программы Ленглендса.
Эллиптическая кривая имеет всего две переменные — x и y, — поэтому её можно изобразить на плоском листе бумаги. Но если добавить ещё одну переменную, z, получится криволинейная поверхность, существующая в трёхмерном пространстве. Этот более сложный объект называется абелевой поверхностью, и, как и в случае эллиптических кривых, её решения имеют сложную структуру, которую математики стремятся понять.
Казалось естественным, что абелевы поверхности должны соответствовать более сложным типам модулярных форм. Но дополнительная переменная значительно усложняет их построение и поиск решений. Доказать, что они также удовлетворяют теореме о модулярности, казалось совершенно невозможно. «Это была известная проблема, о которой не стоило думать, потому что люди думали о ней и зашли в тупик», — сказал Джи.
Но Боксер, Калегари, Джи и Пиллони хотели попробовать.
В поисках моста
Все четверо математиков участвовали в исследованиях по программе Ленглендса, и они хотели доказать одну из этих гипотез для «объекта, который действительно встречается в реальной жизни, а не для какой-то странной вещи», — сказал Калегари.
Мало того, что абелевы поверхности встречаются в реальной жизни — то есть в реальной жизни математика, — так ещё и доказательство теоремы о модулярности, касающейся их, открыло бы новые математические горизонты. «Есть много вещей, которые можно сделать, обладая этим утверждением, и которые невозможно сделать без него», — сказал Калегари.
«После кофе мы всегда шутили, что нам пора возвращаться на шахту».
Винсент Пиллони
Математики начали совместную работу в 2016 году, надеясь повторить те же шаги, что и Тейлор и Уайлс в своём доказательстве для эллиптических кривых. Однако каждый из этих шагов был гораздо сложнее для абелевых поверхностей.
Поэтому они сосредоточились на определённом типе абелевой поверхности, называемой обычной абелевой поверхностью, с которой было проще работать. Для любой такой поверхности существует набор чисел, описывающий структуру её решений. Если бы они могли показать, что тот же набор чисел можно получить из модулярной формы, работа была бы закончена. Эти числа служили бы уникальным тегом, позволяя им сопоставлять каждую из их абелевых поверхностей с модулярной формой.
Проблема заключалась в том, что, хотя эти числа легко вычислить для заданной абелевой поверхности, математики не знают, как построить модулярную форму с точно таким же тегом. Построение модулярных форм слишком сложно, когда требования настолько ограничены. «Объекты, которые вы ищете, на самом деле не существуют», — сказал Пиллони.
Вместо этого математики показали, что достаточно построить модулярную форму, числа которой соответствовали бы числам абелевой поверхности в более слабом смысле. Числа модулярной формы должны были быть эквивалентны лишь в области так называемой часовой арифметики.
Представьте себе часы: если часовая стрелка начинается с отметки 10 и проходит четыре часа, часы укажут на 2. Но арифметические действия с часами можно выполнять с любым числом, а не только (как в случае с реальными часами) с числом 12.
Боксеру, Калегари, Джи и Пиллони нужно было только показать, что их два набора чисел совпадали, когда они использовали часы, доходящие до 3. Это означало, что для данной абелевой поверхности математики имели больше гибкости, когда дело доходило до построения соответствующей модулярной формы.
Но даже это оказалось слишком сложно.
Затем они наткнулись на множество модульных форм, соответствующие числа которых было легко вычислить, — при условии, что они определяли свои числа в соответствии с часами, которые доходят до 2. Но для абелевой поверхности требовались часы, доходящие до 3.
Математики имели представление о том, как примерно соединить эти два разных часа. Но они не знали, как сделать эту связь герметичной, чтобы найти истинное соответствие абелевой поверхности в мире модулярных форм. Затем появилась новая область математики, которая оказалась именно тем, что им было нужно.
Работа Лю Пана в, казалось бы, разрозненной области теории чисел оказалась крайне важной.
Фотография: Уилл Кроу/ Принстонский университетНеожиданная помощь
В 2020 году специалист по теории чисел Лю Пан опубликовал доказательство для модулярных форм, которое поначалу казалось не связанным с задачей квартета. Но вскоре исследователи поняли, что разработанные им методы оказались на удивление актуальными. «Я этого не ожидал», — сказал Пан.
После многих лет регулярных встреч, в основном в Zoom, математики начали успешно адаптировать методы Пана, но основные препятствия оставались. Затем, летом 2023 года, Боксер, Джи и Пиллони увидели в конференции в Бонне (Германия) идеальную возможность собраться вместе. Единственной проблемой было то, что Калегари должен был в то же время отправиться в Китай, чтобы выступить с докладом. Но сложный визит в китайское консульство в Чикаго заставил его передумать. «Восемь часов спустя мне отказали в визе, а машину эвакуировали», — сказал он. Он решил отказаться от доклада о Китае и присоединиться к своим коллегам в Германии.
Джи выделил команде комнату в подвале Хаусдорфовского научно-исследовательского института, где их вряд ли потревожат странствующие математики. Там они провели целую неделю, работая над теоремой Пана, один 12-часовой рабочий день за другим, поднимаясь на первый этаж лишь изредка, чтобы выпить кофеина. «После кофе мы всегда шутили, что нам нужно вернуться в шахту», — рассказал Пиллони.
Упорные усилия принесли свои плоды. «Позже было много неожиданных поворотов, — сказал Калегари, — но к концу недели я решил, что мы более-менее справились».
Потребовалось ещё полтора года, чтобы превратить обвинительный приговор Калегари в 230-страничное доказательство, которое они опубликовали в интернете в феврале. Собрав все части воедино, они доказали, что любая обычная абелева поверхность имеет соответствующую модулярную форму.
Их новый портал может однажды стать таким же мощным, как результат Тейлора и Уайлса, раскрывая об абелевых поверхностях больше, чем кто-либо мог себе представить. Но сначала команде предстоит распространить свой результат на неординарные абелевы поверхности. Они объединились с Pan, чтобы продолжить поиски. «Я буду удивлён, если через десять лет мы не найдём почти все из них», — сказал Джи.
Эта работа также позволила математикам сформулировать новые гипотезы, например, аналог гипотезы Бёрча и Суиннертона-Дайера, который рассматривает абелевы поверхности вместо эллиптических кривых. «Теперь мы, по крайней мере, знаем, что аналог имеет смысл» для этих обычных поверхностей, сказал Эндрю Сазерленд, математик из Массачусетского технологического института. «Раньше мы этого не знали».
«Многие вещи, о которых я мечтал, что мы когда-нибудь сможем доказать, теперь стали достижимы благодаря этой теореме», — добавил он. «Это меняет всё».
Оригинальная статья перепечатана с разрешения журнала Quanta Magazine, редакционно-независимого издания Фонда Саймонса, миссия которого заключается в повышении уровня понимания науки среди общественности путем освещения научных разработок и тенденций в области математики, физических и биологических наук.
Источник: www.wired.com
