Все сложные взаимосвязанные системы, от талых вод в Арктике до Интернета, по-видимому, подчиняются тем же математическим принципам, что и случайная матрица. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
В 1999 году, сидя на автобусной остановке в Куэрнаваке, Мексика, чешский физик Петр Шеба заметил, как молодые люди раздают водителям автобусов клочки бумаги в обмен на деньги. Он узнал, что это была не организованная преступность, а теневая торговля: каждый водитель платил «шпиону», чтобы тот записывал, когда автобус, ехавший перед ним, отъезжал от остановки. Если автобус отъезжал недавно, он замедлял ход, позволяя пассажирам скопиться на следующей остановке. Если же автобус отъезжал давно, он ускорялся, чтобы другие автобусы не могли его обогнать. Эта система максимизировала прибыль водителей. И это натолкнуло Шебу на идею.
«Мы почувствовали здесь некоторое сходство с квантовыми хаотическими системами», — пояснил соавтор Шебы, Милан Крбалек, в электронном письме.
После нескольких неудачных попыток поговорить со шпионами лично, Шеба попросил своего ученика объяснить им, что он не сборщик налогов и не преступник — он просто «сумасшедший» учёный, готовый обменять текилу на их данные. Мужчины отдали ему использованные бумаги. Когда исследователи нанесли на компьютер графики тысяч расписаний отправления автобусов, их подозрения подтвердились: взаимодействие между водителями привело к тому, что интервалы между отправлениями приобрели характерный рисунок, ранее наблюдавшийся в экспериментах по квантовой физике.
«Я думал, что что-то подобное может произойти, но был очень удивлен, что все получилось именно так», — сказал Шеба.
Субатомные частицы имеют мало общего с децентрализованными системами обмена данными. Но за годы, прошедшие с момента обнаружения этой странной взаимосвязи, та же закономерность обнаружилась и в других, не связанных с ней областях. Теперь ученые считают, что это широко распространенное явление, известное как «универсальность», обусловлено фундаментальной связью с математикой и помогает им моделировать сложные системы — от интернета до климата Земли.
Этот паттерн был впервые обнаружен в природе в 1950-х годах в энергетическом спектре ядра урана, гиганта с сотнями движущихся частей, который дрожит и растягивается бесконечным множеством способов, создавая бесконечную последовательность энергетических уровней. В 1972 году теоретик чисел Хью Монтгомери наблюдал его в нулях дзета-функции Римана, математического объекта, тесно связанного с распределением простых чисел. В 2000 году Крбалек и Шеба сообщили о его наличии в автобусной системе Куэрнаваки. А в последние годы он появился в спектральных измерениях композитных материалов, таких как морской лед и человеческие кости, и в динамике сигналов модели Эрдоша-Реньи, упрощенной версии Интернета, названной в честь Пола Эрдоша и Альфреда Реньи.
Каждая из этих систем имеет свой спектр — последовательность, подобную штрих-коду, представляющую такие данные, как уровни энергии, дзета-нули, время отправления автобусов или скорость сигналов. Во всех спектрах наблюдается один и тот же характерный паттерн: данные кажутся распределенными хаотично, и все же соседние линии отталкиваются друг от друга, придавая определенное расстояние между ними. Этот тонкий баланс между хаосом и порядком, определяемый точной формулой, также проявляется в чисто математическом контексте: он определяет расстояние между собственными значениями, или решениями, огромной матрицы, заполненной случайными числами.
«Почему так много физических систем ведут себя как случайные матрицы, до сих пор остается загадкой, — сказал Хорнг-Тзер Яу, математик из Гарвардского университета. — Но за последние три года мы сделали очень важный шаг в нашем понимании этого явления».
Исследуя феномен «универсальности» в случайных матрицах, ученые лучше поняли, почему он возникает в других областях и как его можно использовать. В ряде недавних работ Яу и другие математики охарактеризовали множество новых типов случайных матриц, которые могут соответствовать различным числовым распределениям и правилам симметрии. Например, числа, заполняющие строки и столбцы матрицы, могут быть выбраны из колоколообразной кривой возможных значений, или же это могут быть просто 1 и –1. Верхняя правая и нижняя левая половины матрицы могут быть зеркальными отражениями друг друга, а могут и не быть. Снова и снова, независимо от их конкретных характеристик, случайные матрицы демонстрируют один и тот же хаотичный, но регулярный паттерн в распределении своих собственных значений. Вот почему математики называют этот феномен «универсальностью».
«Похоже, это закон природы», — сказал Ван Ву, математик из Йельского университета, который вместе с Теренсом Тао из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе доказал универсальность этого закона для широкого класса случайных матриц.
Считается, что универсальность возникает, когда система очень сложна, состоит из множества частей, которые сильно взаимодействуют друг с другом, генерируя спектр. Такой паттерн, например, проявляется в спектре случайной матрицы, потому что все элементы матрицы участвуют в вычислении этого спектра. Но случайные матрицы — это всего лишь «игрушечные системы», представляющие интерес, поскольку их можно строго изучать, и при этом они достаточно сложны для моделирования реальных систем, — сказал Ву. Универсальность гораздо более распространена. Гипотеза Вигнера (названная в честь Юджина Вигнера, физика, открывшего универсальность в атомных спектрах) утверждает, что все сложные, коррелированные системы демонстрируют универсальность, от кристаллической решетки до Интернета.
Чем сложнее система, тем более устойчивой должна быть её универсальность, — сказал Ласло Эрдеш из Мюнхенского университета, один из сотрудников Яу. — «Это потому, что мы считаем, что универсальность — это типичное поведение».
Во многих простых системах отдельные компоненты могут оказывать слишком большое влияние на результат работы системы, изменяя спектральную структуру. В более крупных системах ни один компонент не доминирует. «Это как если бы у вас была комната, где собралось много людей, и они решили что-то сделать, личность одного человека не так уж важна», — сказал Ву.
Всякий раз, когда система демонстрирует универсальность, это поведение служит подтверждением того, что система достаточно сложна и коррелирована, чтобы её можно было рассматривать как случайную матрицу. «Это означает, что вы можете использовать случайную матрицу для её моделирования, — сказал Ву. — Вы можете вычислить другие параметры матричной модели и использовать их для прогнозирования того, что система может вести себя так же, как и с вычисленными вами параметрами».
Этот метод позволяет ученым понять структуру и эволюцию Интернета. Некоторые свойства этой обширной компьютерной сети, такие как типичный размер кластера компьютеров, можно точно оценить по измеримым свойствам соответствующей случайной матрицы. «Люди очень интересуются кластерами и их местоположением, отчасти из-за практических соображений, таких как реклама», — сказал Ву.
Аналогичный метод может привести к улучшению моделей изменения климата. Ученые обнаружили, что наличие универсальности в характеристиках, подобных энергетическому спектру материала, указывает на высокую степень взаимосвязи его компонентов, и, следовательно, на то, что он будет проводить жидкости, электричество или тепло. И наоборот, отсутствие универсальности может свидетельствовать о том, что материал разрежен и действует как изолятор. В новой работе, представленной в январе на Объединенной математической конференции в Сан-Диего, штат Калифорния, Кен Голден, математик из Университета Юты, и его студент Бен Мерфи использовали это различие для прогнозирования теплопередачи и потока жидкости в морском льду как на микроскопическом уровне, так и в лоскутных останках арктического талого льда, простирающихся на тысячи километров.
Спектральное измерение мозаики талых прудов, полученное с вертолета, или аналогичное измерение образца морского льда в ледяном керне мгновенно показывает состояние любой из этих систем. «Поток жидкости через морской лед управляет или опосредует очень важные процессы, которые необходимо понимать, чтобы понять климатическую систему», — сказал Голден. «Переходы в статистике собственных значений представляют собой совершенно новый, математически строгий подход к включению морского льда в климатические модели».
Этот же прием в конечном итоге может стать простым методом диагностики остеопороза. Голден, Мерфи и их коллеги обнаружили, что спектр плотной, здоровой кости демонстрирует универсальность, в то время как спектр пористой, остеопоротической кости — нет.
«Мы имеем дело с системами, где «частицы» могут быть миллиметрового или даже километрового масштаба», — сказал Мерфи, имея в виду составляющие части этих систем. «Удивительно, что одна и та же математическая модель описывает оба случая».
Причина, по которой реальная система демонстрирует такое же спектральное поведение, как и случайная матрица, проще всего понять на примере ядра тяжелого атома. Все квантовые системы, включая атомы, подчиняются правилам математики, а именно правилам матриц. «В этом и заключается суть квантовой механики», — сказал Фримен Дайсон, вышедший на пенсию математический физик, который в 1960-х и 1970-х годах, работая в Принстонском институте перспективных исследований, помог разработать теорию случайных матриц. «Каждая квантовая система управляется матрицей, представляющей полную энергию системы, а собственные значения матрицы — это энергетические уровни квантовой системы».
Матрицы, лежащие в основе простых атомов, таких как водород или гелий, могут быть вычислены точно, что позволяет получить собственные значения, которые с поразительной точностью соответствуют измеренным энергетическим уровням атомов. Но матрицы, соответствующие более сложным квантовым системам, таким как ядро урана, быстро становятся слишком сложными для понимания. По словам Дайсона, именно поэтому такие ядра можно сравнивать со случайными матрицами. Многие взаимодействия внутри урана — элементы его неизвестной матрицы — настолько сложны, что они размываются, подобно смеси звуков, сливающихся в шум. Следовательно, неизвестная матрица, управляющая ядром, ведет себя как матрица, заполненная случайными числами, и поэтому ее спектр демонстрирует универсальность.
Учёные до сих пор не выработали интуитивного понимания того, почему именно этот случайный, но регулярный паттерн, а не какой-либо другой, возникает в сложных системах. «Мы знаем это только из вычислений», — сказал Ву. Ещё одна загадка — как это связано с дзета-функцией Римана, спектр нулей которой демонстрирует универсальность. Нули дзета-функции тесно связаны с распределением простых чисел — неприводимых целых чисел, из которых строятся все остальные. Математики давно задавались вопросом о хаотичном расположении простых чисел вдоль числовой прямой от единицы до бесконечности, и универсальность даёт подсказку. Некоторые считают, что в основе дзета-функции Римана может лежать матрица, достаточно сложная и коррелированная, чтобы демонстрировать универсальность. Обнаружение такой матрицы имело бы «большие последствия» для окончательного понимания распределения простых чисел, сказал Пол Бургад, математик из Гарварда.
Или, возможно, объяснение кроется еще глубже. «Возможно, в основе универсальности Вигнера и дзета-функции лежит не матрица, а какая-то другая, еще не открытая, математическая структура», — сказал Эрдош. «В таком случае матрицы Вигнера и дзета-функции могут быть просто разными представлениями этой структуры».
Многие математики ищут ответ, но нет никакой гарантии, что он существует. «Никто не предполагал, что автобусы в Куэрнаваке окажутся примером этого. Никто не предполагал, что нули дзета-функции станут еще одним примером», — сказал Дайсон. «Прелесть науки в том, что она совершенно непредсказуема, и поэтому все полезное рождается из неожиданностей».
Данная статья была перепечатана на сайте Wired.com.
Источник: www.quantamagazine.org
