Поняв, что домашнее обучение ограничивает возможности подростка, она добилась зачисления в аспирантуру Беркли, где в итоге опровергла предположение, существовавшее 40 лет. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
Никто никогда не утверждал, что сложные математические задачи не поддаются решению подростками, не окончившими среднюю школу. Но вероятность такого результата казалась бы крайне низкой.
Однако статья, опубликованная 10 февраля, повергла математический мир в шок, восторг и готовность принять в свои ряды новый смелый талант. Ее автором была Ханна Каиро, которой на тот момент было всего 17 лет. Она разгадала 40-летнюю загадку поведения функций, известную как гипотеза Мидзохаты-Такеучи.
«Мы все были в шоке, абсолютно. Я не помню, чтобы когда-либо видел что-то подобное», — сказал Итамар Оливейра из Бирмингемского университета, который последние два года пытался доказать истинность этой гипотезы. В своей статье Каиро показала, что она неверна. Результат противоречит обычным интуитивным представлениям математиков о том, что могут и чего не могут делать функции.
То же самое можно сказать и о самой Каиро, которая нашла свой путь к доказательству после многих лет домашнего обучения в изоляции и нетрадиционного пути в мире математики.
Мир без границ
Каиро выросла в Нассау, на Багамах, куда её родители переехали, чтобы отец мог устроиться на работу разработчиком программного обеспечения. Она и двое её братьев — один на три года старше, другой на восемь лет младше — учились дома. Каиро начала изучать математику, используя онлайн-уроки Khan Academy, и быстро освоила стандартную программу. К 11 годам она закончила курс высшей математики.
Вскоре она изучила все доступные в интернете материалы. Родители нашли пару преподавателей математики, которые занимались с ней дистанционно — сначала Мартина Магида из колледжа Уэлсли, затем Амира Аазами из университета Кларка. Но большая часть ее обучения проходила самостоятельно: она читала и усваивала учебники по математике для аспирантов, которые рекомендовали ей преподаватели. «В конце концов, — вспоминает Каиро, — Аазами сказал что-то вроде того, что ему некомфортно получать за это деньги, потому что он чувствует, что на самом деле не учит меня. Ведь в основном я читала книгу и пыталась доказать теоремы».
К 14 годам Ханна Каиро самостоятельно освоила математику на уровне, эквивалентном программе углубленного изучения на уровне бакалавриата.
Но Каир обнаружил, что домашнее обучение ограничивает возможности.
«В каком-то смысле, меня не покидало ощущение однообразия. Что бы я ни делала, я всегда оказывалась в одном и том же месте и занималась в основном одними и теми же делами», — сказала она. «Я была очень изолирована, и ничто не могло это изменить. В некоторые дни я просыпалась и понимала: я просто стала старше».
Математика стала для нее своего рода убежищем, пространством, которое казалось просторным, когда ее повседневная жизнь была лишена простора.
«Математика была другим миром, который я могла исследовать. Миром, который не ограничивал меня, миром, к которому я могла получить доступ в любой момент, просто подумав о нем», — сказала она. «Так я выросла, воспринимая математику как мир идей, которые я могу исследовать самостоятельно. Этот процесс помог мне взглянуть на математику иначе, чем многим другим людям».
В 2021 году, в разгар пандемии COVID-19, мир Каир начал расширяться, в то время как для многих других он сужался. Ограничения на поездки заставили ее семью остаться в доме бабушки и дедушки в Чикаго. Пока они были там, она присоединилась к математическим кружкам Чикаго, где учителя и ученики собираются вместе, чтобы решать сложные задачи.
Этот опыт побудил её в следующем году подать заявку на двухнедельную онлайн-летнюю программу, организованную математическим кружком Беркли, который воспитал одних из самых выдающихся математиков в мире. В своей заявке она перечислила набор предметов, изученных самостоятельно, которые в совокупности составляли эквивалент продвинутой степени бакалавра математики. Ей было 14 лет.
В подростковом возрасте Каир сконструировал функцию, которая вела себя странным и неожиданным образом, опровергнув тем самым важную гипотезу в области, называемой теорией ограничения Фурье.
«Ханна — это нечто запредельное, — сказала Звезделина Станкова, математик из Беркли и основательница Берклианского математического кружка. — Каждый раз, когда она подает документы в университет или на программу, она на несколько уровней выше остальных».
Однако этот разрозненный опыт так и не убедил Каиро в её исключительных математических способностях. Она говорит тихо, открыто и скромно, и, кажется, искренне не уверена в том, насколько её способности соответствуют способностям других — отчасти потому, что годами её единственным ориентиром была она сама.
«В детстве я не была уверена в своих способностях, — сказала она. — Мне нравилось играть на пианино, и окружающие говорили, что у меня большой талант и к математике, и к игре на пианино. И, оглядываясь назад, я понимаю, что, конечно, мои навыки игры на пианино были выше среднего. Но это ни в коем случае не было чем-то исключительным. С другой стороны, в математическом плане я, кажется, ничем не примечательна».
Найдя своё место
В 2023 году, после второго лета, проведенного в математическом кружке Беркли, Каиро задумалась о дальнейших шагах. Она уже подала заявки в несколько университетов, и хотя большинство учебных заведений отказали ей — она еще не закончила среднюю школу — ее приняли в Калифорнийский университет в Дэвисе. Стоит ли ей начать обучение в бакалавриате на три года раньше? Или лучше поискать возможности для получения образования в другом месте?
Станкова посоветовала ей вместо этого принять участие в программе параллельного обучения в Беркли, где она могла бы посещать курсы математики на уровне магистратуры, проводимые ведущими исследователями в этой области.
Математический мир был ошеломлен, когда Каиро представила свой контрпример к гипотезе Мидзохаты-Такеучи — как потому, что он разрешил важную нерешенную проблему, так и потому, что Каиро в то время еще училась в старшей школе.
Каиро последовала этому совету. Осенью 2023 года её семья переехала в Дэвис, в 60 милях к северо-востоку от Беркли. Там её старший брат поступил на первый курс Калифорнийского университета в Дэвисе, и родители разрешили ей ездить в Беркли по вторникам и четвергам. К весне она уже ходила на занятия пять дней в неделю и посещала несколько дополнительных курсов. Она вспоминает это как период в своей жизни, когда почувствовала себя полной новых возможностей.
«Я начала заводить друзей, и мне было хорошо», — сказала она. После окончания весеннего семестра ее семья переехала из Дэвиса в Беркли — ее брат решил перевестись туда — и Каиро наконец-то почувствовала себя в своей тарелке.
Тем не менее, это потребовало адаптации. «У меня было мало опыта общения, поэтому мне еще предстояло научиться взаимодействовать с другими людьми», — сказала она.
По мере приближения 2024–2025 учебного года Каиро размышляла о том, какие курсы она бы выбрала. Один курс особенно привлек ее внимание — курс для аспирантов по теории ограничений Фурье, разделу гармонического анализа. «Это был один из самых продвинутых курсов по анализу, предлагаемых в том семестре, поэтому я подумала: «Просто пойду и пройду его»», — сказала она.
Преподавателем курса был Жуйсян Чжан, выдающийся математик, чей путь в эту область развивался по более традиционному сценарию: золотая медаль на Международной математической олимпиаде 2008 года, престижном конкурсе для старшеклассников; докторская степень в Принстонском университете; постдокторская работа в Институте перспективных исследований; должность преподавателя в Беркли, одном из ведущих математических факультетов мира.
Каиро написал Чжану электронное письмо с просьбой о зачислении. «Ханна была очень целеустремленной и, казалось, увлечена этой темой», — сказал он. «Одного такого отношения мне достаточно, поэтому я просто дал ей разрешение».
Спустя несколько недель, работая над набором задач, она столкнулась с проблемой, которая не давала ей покоя.
Дополнительные баллы
Задача представляла собой упрощенную версию гипотезы Мидзохаты-Такеучи. Чжан включил её в одно из своих домашних заданий в качестве разминки, надеясь побудить студентов попрактиковаться в применении сложных методов в этой глубокой области математики. Задание также включало необязательное дополнение, предлагающее им подумать, можно ли распространить найденное ими доказательство для упрощенного случая на более сложные формулировки задачи.
Каиро завершила решение задач и приняла предложение Чжан продолжить размышления. Ей казалось естественным следовать за идеей, насколько это возможно. «Зачем мне останавливаться?» — сказала она.
Гипотеза Мидзохаты-Такеучи — это проблема гармонического анализа, области, изучающей, как функции формируются из волнообразных компонент.
Любую заданную функцию можно представить как сумму более простых волнообразных частей, называемых синусоидами. Каждая из этих синусоид, в свою очередь, имеет частоту. Математики часто стремятся понять природу функций, которые могут быть построены только из синусоид с определенными частотами. В этих случаях допустимыми являются только те частоты, которые удовлетворяют уравнениям, описывающим определенные поверхности, например, сферу. Это связано с тем, что функции, определяющие многие физические волны — такие как свет, звук и квантовые частицы — ограничены именно такими частотами.
Для Каиро «математика была другим миром, который я могла исследовать. Миром, который не ограничивал меня, миром, к которому я могла получить доступ в любой момент, просто подумав о нем», — сказала она.
Гипотеза Мидзохаты-Такеучи рассматривает функции, построенные из волн, частоты которых лежат на такой поверхности. Она утверждает, что энергия функции — мера того, насколько велика функция — может быть распределена и сконцентрирована только в определенных конфигурациях.
Это как если бы вы играли музыку в комнате странной формы. Иногда музыка может эхом отражаться и усиливаться, становясь очень громкой. Но когда это происходит, это может случиться только в определенных местах.
На протяжении десятилетий математики добились ограниченного прогресса в нескольких частных случаях гипотезы Мидзохаты-Такеучи. Но общая проблема оставалась открытой. Ни один из стандартных методов, казалось, не мог ее решить. Эта недоступность заставляла некоторых математиков подозревать, что гипотеза ложна; другие же считали, что ее элегантность делает ее более вероятной.
«Иногда по утрам я просыпался с мыслью, что раз это так просто и элегантно сформулировано, и так широко, то в конце концов это должно быть правдой», — сказал Тони Карбери, математик из Эдинбургского университета, который десятилетиями работал над этой проблемой. «В другие утра я просыпался и говорил… это никак не может быть правдой в каком-либо упрощенном смысле».
Математики оказались в тупике.
Превышение пределов
На пути к доказательству любой сложной проблемы возникает множество сомнений. Математики сомневаются в своих подходах, сомневаются в своей интуиции, сомневаются в том, что идея, которой они следуют — столь многообещающая в данный момент — действительно подтвердится.
В случае с Каиро эти сомнения усилились. Она была новичком в этой области, и ее первые попытки доказать полную гипотезу были предварительными и неполными. Она сомневалась, движется ли она в правильном направлении. То же самое чувствовала и Чжан.
Решив пропустить колледж, Каиро вскоре начнет обучение в докторантуре в Университете Мэриленда.
«Я приходила к нему на консультации и спрашивала: „Эти идеи работают?“ Оказалось, что нет, потому что они были глупыми», — сказала она. «За этим следовал спор. Я приходила на консультации с новыми идеями и спрашивала, работают ли они. А он отвечал „нет“».
Каиро продолжала читать и размышлять. В конце концов, она нашла способ построить странную, сложную функцию из волн, частоты которых лежат на искривленной поверхности — именно такой поверхности требовала гипотеза. Обычно, когда складываются такие волны, они интерферируют, взаимно компенсируя друг друга в одних местах и усиливая в других.
Но Каиро показала, что в её функции они не взаимно компенсировались, как ожидалось. Вместо этого их интерференция создавала неравномерные структуры, в результате чего энергия функции распределялась по одним областям и концентрировалась в других, образуя фракталоподобный эффект, который не допускала гипотеза Мидзохаты-Такеучи. Она обнаружила перед собой математическую конструкцию, которая, по многим соображениям, не должна была существовать.
Поначалу это ее насторожило. «Со мной такое часто случается, — сказала она. — Я натыкаюсь на что-то, что выглядит как доказательство, и мне кажется, что доказательство есть, но [тогда] оказывается, что я ошибалась».
Затем произошло два события. Во-первых, она поняла, что может заменить свою сложную конструкцию гораздо более простой и добиться того же результата.
Другая причина заключалась в том, что она убедила себя и Чжана в правильности результата.
«Статья Каиро — отличный пример того, как естественные и изящные предположения могут давать сбои, о которых мы и не задумывались», — сказал Оливейра. «Но чтобы это увидеть, нам нужно взглянуть на ситуацию под правильным углом».
Новый ландшафт
Доказательство и его неожиданный автор воодушевили математическое сообщество с тех пор, как Каиро опубликовал его в феврале. «Я был просто поражен. Это была моя любимая задача почти 40 лет, и я был совершенно потрясен», — сказал Карбери. «Когда я узнал, что [Каиро] намного моложе, чем я думал раньше, я был еще больше впечатлен. Элегантность, с которой написана статья, просто поразительна».
Математики воодушевлены тем, как работа Каира вдохновит на новые исследования. «Я уверен, что отныне, всякий раз, когда мы будем сталкиваться с проблемой подобного рода, мы будем пытаться проверить ее с помощью конструкций, подобных тем, что были предложены в работе Каира», — сказал Оливейра.
Ему и другим специалистам в области гармонического анализа также придётся столкнуться с изменившейся ситуацией. В гармоническом анализе существует целый ряд вопросов о том, как концентрируется энергия волны. Если бы гипотеза, известная как гипотеза Стейна, была верна, это укрепило бы связи между некоторыми из наиболее важных вопросов в этом более широком круге. Но работа Каиро показывает, что гипотеза Стейна ложна. Она устраняет одну из самых многообещающих связей, которые математики надеялись установить между различными разделами гармонического анализа.
Математический мир также привыкает к факту, касающемуся самой Каиро. После завершения доказательства она решила сразу поступить в аспирантуру, минуя колледж (и аттестат о среднем образовании). По ее мнению, она уже жила жизнью аспирантки. Каиро подала заявки в 10 аспирантских программ. Шесть из них отклонили ее заявку из-за отсутствия высшего образования. Две приняли ее, но затем вышестоящие руководители этих университетов отменили эти решения.
Только Университет Мэриленда и Университет Джонса Хопкинса были готовы принять её сразу в докторантуру. Она начнёт обучение в Мэриленде осенью. По окончании учёбы это будет её первая степень.
Источник: www.quantamagazine.org
