Ускорение и СТО

Многим людям нравится научная фантастика, я тоже люблю иногда почитать «Автостопом по галактике» или посмотреть «Интерстеллар». Во время потребления подобного контента возникает один и тот же вопрос: как они путешествуют на такие далекие расстояния за такое короткое время? Я хочу попробовать ответить на этот вопрос с точки зрения релятивистской механики. В данной статье мы рассмотрим полет ракеты с Земли до ближайшей к Солнцу звезды — Проксиме Центавра.

Условия

В СТО абсолютное большинство задач сводится к задачам с постоянной скоростью, однако для реального мира это будет слишком упрощенная модель, так как чтобы эту скорость набрать, надо для начала двигаться с ускорением. Задача, которую мы рассмотрим сегодня именно про это.

Сразу оговорюсь, что я не буду ставить ограничение на конечную скорость, ракета просто будет постоянно ускоряться. Верхнее ограничение на скорость поставит СТО. Это значит, что в какой-то момент для дальнейшего ускорения нам нужна будет энергия больше той, которая содержится во всей вселенной, но мы закроем глаза на такие мелочи.

Условие: ракета летит с Земли до Проксимы Центавра с нулевой начальной скоростью с ускорением g.
Ускорение возьмем равным 10 м/с
Расстояние между Землей и Проксимой Центавра: световых года или км

Решение задачи

Возьмем систему K, связанную с Землей, и систему K’, связанную с ракетой. Мы не можем использовать СТО для случая, когда система отсчета ускоряется, поэтому мы будем брать новую систему K’ в каждый момент времени.

Вывод формулы для скорости

Из преобразований Галилея следует, что в классической механике ускорение не зависит от системы отсчета:

В случае релятивистской механики ускорение для разных систем отсчета будет разное. Для системы K’ — собственной системы ракеты — ускорение будет равно g:

Найдем, какое ускорение будет в системе K. Выведем это из формулы для сложения скоростей в случае СТО:

Система отсчета K’ — система отсчета корабля, значит скорость корабля в этой системе отсчета равна 0:

Выведем формулу для ускорения в лабораторной системе отсчета, используя формулу, полученную выше, и формулу для релятивистского замедления времени:

Из-за невозможности использования СТО для случая, когда система отсчета ускоряется, мы будем в каждый момент времени брать новую систему отсчета K’, связанную с ракетой, поэтому в каждый момент времени будет равно :

Получили дифференциальное уравнение. Его можно решить с помощью замены:

Теперь сделаем еще одну замену, теперь тригонометрическую :

Тогда мы получим следующее уравнение:

Подставим начальные условия, чтобы найти константу (в начальный момент времени скорость равна 0):

Решим такое уравнение, чтобы найти скорость в лабораторной системе отсчета:

Сделаем обратную замену . Тогда формула для скорости будет выглядеть так:

Рассмотрим граничные случаи:

В самом начале пути ракета будет двигаться практически по законам классической механики, однако с набором скорости на нее все больше будет действовать релятивистская механика. Если она будет ускоряться бесконечно долго, то ее скорость в лабораторной системе не превысит скорость света, а значит мы не нарушили постулаты СТ.

Вывод формулы для координаты

Найдем зависимость координаты от времени:

Подставим начальные условия, чтобы найти константу (в начальный момент времени координата равна 0):

Таким образом формула для координаты будет выглядеть так:

Приведем это уравнение к виду, в котором мы сможем определить вид зависимости:

Графиком функции в данном случае будет являться гипербола.

Рассмотрим граничные случаи:

Координаты также, как и скорость тоже сначала меняется по законам классической механики, а с увеличением скорости увеличивается влияние СТО.

Вывод формулы для времени

Найдем зависимость времени, которое прошло в лабораторной системе отсчета, от пройденного пути.

Для того, чтобы найти собственное время, выразим интервал в обеих системах отсчета. При этом , так как ракета не двигается в собственной системе отсчета:

Так как интервал — инвариантная величина, и части будут равны:

Подставим начальные условия, чтобы найти константу ():

Таким образом формула для времени в собственной и лабораторной системе отсчета будет выглядеть так:

Рассмотрим граничные случаи для и :

Время в лабораторной и собственной системе отсчета получилось разное. Посмотрим, насколько оно отличается в случае реального в ближайшее время полета к звезде.

Подстановка значений

Теперь, когда мы знаем все зависимости для скорости и времени, посмотрим, за сколько ракета долетит до ближайшей к Солнцу звезде — Проксиме Центавра.

Сначала найдем время в собственной и лабораторной системе отсчета:

Разница между собственным временем и временем в лабораторной системе отсчета составила практически целый год.

Теперь найдем скорость, которую она разовьет при подлете к звезде:

Таким образом, ракета пролетит Проксима Центавру со скоростью, равной 0,98 от скорости света.

Вывод

Специальная теория относительности является незаменимым инструментом для анализа задач, в которых тело движется с релятивистскими скоростями и при этом изменяет свою скорость.

Однако применение СТО в таких сценариях требует особой аккуратности и глубокого понимания ее постулатов, поскольку интуиция, сформированная в рамках классической механики, здесь часто оказывается обманчивой и приводит к принципиальным ошибкам. Вот ключевые моменты, на которые следует обращать внимание:

1. Отказ от классического правила сложения скоростей. В СТО скорости складываются нелинейно, и простое арифметическое сложение или вычитание недопустимо. Необходимо использовать релятивистскую формулу сложения скоростей, которая гарантирует, что результирующая скорость никогда не превысит скорость света.

2. Релятивистский импульс и энергия. Второй закон Ньютона в его привычной форме () в СТО не работает. Сила приводит к изменению релятивистского импульса (), где — лоренц-фактор, растущий с увеличением скорости. Это объясняет, почему разогнать массивное тело до скорости света невозможно — потребовалась бы бесконечная энергия (). В нашей задаче мы решили не учитывать это, однако в случае реальных запусков это естественно стоит учесть.

3. Относительность одновременности и замедление времени. Процессы, происходящие с ускоряющимся объектом (например, ход часов в его системе отсчета), с точки зрения неподвижного наблюдателя будут замедляться. Это не абстрактный эффект, а реальное физическое явление, которое необходимо учитывать, например, при расчете времени жизни быстро движущихся частиц.

4. Корректный выбор системы отсчета. Анализ задачи кардинально меняется в зависимости от того, с точки зрения какой инерциальной системы отсчета он проводится. Часто для решения задачи, связанной с ускорением, используется метод мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчета, которая в каждый момент времени движется с той же скоростью, что и ускоряющееся тело. Только такой тщательный и осознанный подход позволяет успешно применять мощный математический аппарат СТО для решения нестандартных задач в области релятивистской кинематики и динамики.

В данной статье мы разобрали только простейший случай — бесконечное ускорение, которое не соответствует реальности из-за очень большого количества энергии, необходимого для такого ускорения. В дальнейшем можно ввести изменение ускорения с изменением скорости, потому что в каждый момент времени дальнейшее ускорение будет требовать все больше энергии. Ну и конечно стоит рассмотреть замедление в какой-то момент времени, чтобы не просто пролететь какую-то звездную систему, а сесть на планету и т.д.

Пишите в комментариях, если хотите разбор такой задачи, и предлагайте свои решения.

Подготовлено сообществом

Источник: habr.com