Украинский математик решил многовековую задачу упаковки сфер в измерениях восемь и двадцать четыре. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
В паре статей, опубликованных в этом месяце, украинский математик решил две многомерные версии многовековой проблемы «упаковки сфер». В измерениях восемь и двадцать четыре (последнее измерение в сотрудничестве с другими исследователями) она доказала, что два высокосимметричных расположения упаковывают сферы вместе максимально плотным образом.
Математики изучают упаковки сфер по крайней мере с 1611 года, когда Иоганн Кеплер предположил, что самый плотный способ упаковать сферы одинакового размера в пространстве — это знакомая пирамидальная укладка апельсинов, которую можно увидеть в продуктовых магазинах. Несмотря на кажущуюся простоту проблемы, она не была решена до 1998 года, когда Томас Хейлз, ныне работающий в Питтсбургском университете, наконец доказал гипотезу Кеплера на 250 страницах математических аргументов в сочетании с гигантскими компьютерными вычислениями.
Упаковки сфер с большим количеством измерений трудно визуализировать, но они являются исключительно практическими объектами: Плотные упаковки сфер тесно связаны с кодами коррекции ошибок, используемыми сотовыми телефонами, космическими зондами и Интернетом для отправки сигналов по зашумленным каналам. Сферу с большим количеством измерений легко определить — это просто набор точек в пространстве с большим количеством измерений, которые находятся на фиксированном расстоянии от заданной центральной точки.
Поиск наилучшей упаковки сфер одинакового размера в многомерном пространстве должен быть даже сложнее, чем трехмерный случай, который решил Хейлс, поскольку каждое добавленное измерение означает больше возможных упаковок для рассмотрения. Однако математики давно знают, что два измерения являются особенными: в измерениях восемь и 24 существуют ослепительно симметричные упаковки сфер, называемые E8 и решеткой Лича, соответственно, которые упаковывают сферы лучше, чем лучшие кандидаты, известные математикам в других измерениях.
«Каким-то образом все просто идеально складывается, и это своего рода чудо», — сказал Генри Кон, математик из Microsoft Research New England в Кембридже, штат Массачусетс. «У меня нет простого, интуитивного объяснения, о чем идет речь».
По причинам, которые математики не до конца понимают, E8 и решетка Лича связаны с широким спектром математических дисциплин, включая теорию чисел, комбинаторику, гиперболическую геометрию и даже такие области физики, как теория струн. Они образуют «связующее звено, где сходятся воедино множество различных областей математики», — сказал Кон. «Происходит что-то чудесное, и я хотел бы понять, что именно».
Математики накопили убедительные числовые доказательства того, что E8 и решетка Лича являются лучшими упаковками сфер в своих соответствующих измерениях. Но до сих пор эти доказательства были немного далеки от доказательства. Исследователи уже более десятилетия знают, каким должен быть недостающий ингредиент в доказательстве — «вспомогательная» функция, которая может вычислить наибольшую допустимую плотность сфер — но они не могли найти правильную функцию.
Теперь, в статье, опубликованной в сети 14 марта, Марина Вязовская, научный сотрудник Берлинской математической школы и Берлинского университета имени Гумбольдта, предложила недостающую функцию в измерении 8. Ее работа использует теорию модулярных форм, мощных математических функций, которые, когда их можно применить к проблеме, по-видимому, открывают огромные объемы информации. В этом случае нахождение правильной модулярной формы позволило Вязовской доказать всего на 23 страницах, что E8 является лучшей восьмимерной упаковкой.
«Это потрясающе просто, как и все великие вещи», — сказал Питер Сарнак из Принстонского университета и Института перспективных исследований. «Вы просто начинаете читать статью и понимаете, что это правильно».
В течение недели Вязовская вместе с Коном и тремя другими математиками успешно распространила свой метод и на решетку Лича.
«Я думаю, некоторые из нас надеялись на это уже очень долгое время», — сказал Хейлз.
Заполнение пробелов
Можно построить аналог пирамидальной укладки апельсинов в каждом измерении, но по мере того, как измерения становятся выше, промежутки между апельсинами более высокого измерения увеличиваются. К восьмому измерению эти промежутки достаточно велики, чтобы вместить новые апельсины, и только в этом измерении добавленные апельсины плотно фиксируются на месте. Полученная восьмимерная упаковка сфер, известная как E8, имеет гораздо более однородную структуру, чем можно было бы предположить из ее двухэтапной конструкции. «Часть тайны здесь в том, что этот объект оказывается гораздо более красивым и симметричным, чем кажется», — сказал Кон. «Есть тонны дополнительных симметрий».
Решетка Лича аналогичным образом строится путем добавления сфер к менее плотной упаковке, и она была открыта почти как запоздалая мысль. В 1960-х годах британский математик Джон Лич изучал 24-мерную упаковку, которую можно построить из кода «Голея», кода с исправлением ошибок, который позже использовался для передачи исторических фотографий Юпитера и Сатурна, сделанных зондами «Вояджер». Вскоре после того, как статья Лича об этой упаковке была отправлена в печать, он заметил, что в отверстиях упаковки есть место для размещения дополнительных сфер, и что это удвоит плотность упаковки.
В полученной решетке Лича каждая сфера окружена 196 560 другими сферами в таком уникальном расположении, что математик Джон Конвей из Принстонского университета открыл три совершенно новых типа симметрии, исследуя структуру решетки. Решетка Лича — «один из немногих самых захватывающих математических объектов», — сказал Джил Калай, математик из Еврейского университета в Иерусалиме.
В 2003 году Кон и Ноам Элкис из Гарвардского университета разработали способ оценки того, насколько хорошо E8 и решетка Лича работают по сравнению с другими упаковками сфер в соответствующих измерениях. В каждом измерении, как показали Кон и Элкис, существует бесконечная последовательность «вспомогательных» функций, которые можно использовать для вычисления верхних пределов того, насколько плотными могут быть упаковки сфер в этом измерении.
В большинстве измерений лучшие упаковки сфер, обнаруженные на сегодняшний день, даже близко не приблизились к пределам плотности, полученным с помощью этого метода. Но Кон и Элкис обнаружили, что в измерениях восемь и 24 лучшие упаковки — E8 и решетка Лича — практически упирались головами в потолок. Когда Кон и Абхинав Кумар из Университета Стоуни-Брук провели обширные численные расчеты последовательностей вспомогательных функций, они обнаружили, что наилучшие возможные упаковки сфер в измерениях восемь и 24 могут быть не более чем на 0,000000000000000000000000000001 процента плотнее, чем E8 и решетка Лича.
Учитывая эту смехотворно близкую оценку, казалось очевидным, что E8 и решетка Лича должны быть лучшими упаковками сфер в своих соответствующих измерениях. Кон и Элкис подозревали, что для каждого из этих двух измерений должна быть некая вспомогательная функция, которая дала бы точный ответ, соответствующий плотности E8 и решетки Лича. «Мы провели много докладов и даже созвали одну или две конференции, чтобы распространить проблему в надежде, что такая [функция] известна или может быть легко найдена, если мы только знаем, в какой математической области искать, но ничего не нашли», — написал Элкис в электронном письме.
Хейлз сказал, что он годами верил, что правильная функция должна существовать, но он понятия не имел, как ее определить. «Я чувствовал, что для ее обнаружения понадобится Рамануджан», — сказал он, имея в виду математика начала 20-го века Шринивасу Рамануджана, который был известен тем, что вытаскивал глубокие математические идеи из воздуха.
Теперь Вязовская нашла неуловимые вспомогательные функции для E8 и решетки Лича, используя тип математического объекта, который Рамануджан также широко изучал: модулярные формы. «Она вытащила Рамануджана», — сказал Хейлз.
Добыча золота
Модулярные формы — это функции, обладающие особыми симметриями, такими как в круговых мозаиках ангелов и дьяволов М. К. Эшера. Эти функции обладают поразительной силой проливать свет на различные области математики — например, они сыграли важную роль в доказательстве Великой теоремы Ферма в 1994 году. И хотя модулярные формы изучались на протяжении столетий, математики все еще открывают глубокие секреты, скрытые внутри их коэффициентов. Сарнак называет их золотой жилой. «Я жду, когда кто-нибудь однажды напишет статью «Необоснованная эффективность модулярных форм», — сказал он.
К сожалению, однако, существует лишь ограниченный запас модульных форм, и они являются крайне ограниченными объектами. «Вы не можете просто написать модульную форму, которая делает все, что вы хотите», — сказал Кон. «Поэтому вопрос в том, существует ли на самом деле такая, которая делает то, что вам нужно».
Докторская диссертация Вязовской 2013 года была посвящена модульным формам, и она также имеет опыт в дискретной оптимизации, одной из областей, которые являются центральными для проблемы упаковки сфер. Поэтому, когда три года назад друг Вязовской Андрей Бондаренко из Норвежского университета науки и технологий в Тронхейме предложил им поработать вместе над восьмимерной проблемой упаковки сфер, Вязовская согласилась.
Они работали над этой проблемой время от времени вместе с Данилом Радченко из Института математики Макса Планка в Германии. В конце концов Бондаренко и Радченко перешли к другим проблемам, но Вязовская продолжала работать одна. «Я чувствовала, что это моя проблема», — сказала она.
После двух лет интенсивных усилий ей удалось придумать правильную вспомогательную функцию для E8 и доказать, что она верна. По ее словам, трудно объяснить, как именно она узнала, какую модульную форму использовать, и в настоящее время она пишет статью, чтобы попытаться описать свою «философскую причину» поиска там, где она это сделала. «За этим стоит совершенно новая математическая история», — сказала она.
После того, как Вязовская опубликовала свою статью 14 марта, она была поражена всплеском волнения, который она вызвала среди исследователей упаковки сфер. «Я думала, что людям будет интересен результат, но я не знала, что будет так много внимания», — сказала она.
В тот вечер Кон написал ей по электронной почте, чтобы поздравить, и пока они обменивались электронными письмами, он спросил, возможно ли распространить ее метод на решетку Лича. «Я чувствовала, что «я уже устала и заслуживаю немного отдыха», — сказала Вязовска. «Но я все равно старалась быть полезной».
Они вдвоем объединились с Кумаром, Радченко и Стивеном Миллером из Ратгерского университета, и, используя более раннюю работу Вязовской, быстро нашли способ построить правильную вспомогательную функцию для решетки Лича. Команда опубликовала свою 12-страничную статью в сети всего через неделю после того, как Вязовская опубликовала свою первую статью.
Новые результаты не имеют практических последствий для кодов исправления ошибок, поскольку знание того, что E8 и решетка Лича близки к совершенству, уже было достаточным для всех реальных приложений. Но эти два доказательства дают математикам как чувство завершенности, так и мощный новый инструмент. По словам Кона, естественным следующим вопросом является то, можно ли адаптировать эти методы, чтобы показать, что E8 и решетка Лича обладают «универсальной оптимальностью». Это означало бы, что они обеспечивают не только наилучшие упаковки сфер, но и упаковки с наименьшей энергией, если, например, центры сфер рассматривать как электроны, отталкивающиеся друг от друга.
А поскольку E8 и решетка Лича связаны со многими областями математики и физики, новый подход Вязовской может в конечном итоге привести ко многим другим открытиям, сказал Акшай Венкатеш из Стэнфордского университета. «Мне кажется более вероятным, что эта функция также является частью какой-то более богатой истории».
Эта статья была перепечатана на Wired.com.
Источник: www.quantamagazine.org
