Теория струн вдохновила на блестящее, но загадочное новое математическое доказательство.

Много лет назад один смелый лауреат Филдсовской премии изложил масштабную программу, которая, по его утверждению, могла бы решить важную проблему в алгебраической геометрии. Другие математики сомневались. Теперь он утверждает, что у него есть доказательство. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

В августе группа математиков опубликовала статью, в которой утверждалось, что они решили важную проблему в алгебраической геометрии, используя совершенно новые методы. Это мгновенно привлекло внимание всей области, вызвав восторг у одних математиков и скептицизм у других.

В результате получаются полиномиальные уравнения, в которых переменные возводятся в степени (например, y = x или x² − 3xy = z²). Эти уравнения являются одними из самых простых и распространенных в математике, и сегодня они лежат в основе многих различных областей исследований. В результате математики стремятся изучать их решения, которые могут быть представлены в виде геометрических фигур, таких как кривые, поверхности и многомерные объекты, называемые многообразиями.

Существует бесконечно много типов полиномиальных уравнений, которые математики хотели бы освоить. Но все они попадают в одну из двух основных категорий — уравнения, решения которых можно вычислить, следуя простому алгоритму, и уравнения, решения которых имеют более сложную структуру. Вторая категория — это то, где сосредоточена основная математическая энергия: именно на ней математики стремятся сосредоточить свое внимание, чтобы добиться значительных успехов.

Но после того, как математики разделили всего несколько типов многочленов на «легкие» и «сложные», они зашли в тупик. На протяжении последних полувека даже относительно простые на вид многочлены сопротивлялись классификации.

Затем этим летом появилось новое доказательство. В нем утверждалось, что оно положило конец тупиковой ситуации, предложив заманчивую перспективу классификации множества других типов многочленов, которые до сих пор казались совершенно недоступными.

Проблема в том, что никто в мире алгебраической геометрии её не понимает. По крайней мере, пока. Доказательство основано на идеях, заимствованных из теории струн. Его методы совершенно незнакомы математикам, посвятившим свою карьеру классификации многочленов.

Некоторые исследователи доверяют репутации одного из авторов статьи, лауреата Филдсовской премии Максима Концевича. Но Концевич также склонен к смелым заявлениям, заставляющим других задуматься. В математических факультетах по всему миру возникли группы для изучения этого новаторского результата и снятия напряжения.

На этот обзор могут уйти годы. Но он также возродил надежду на область исследований, которая застопорилась. И это знаменует собой раннюю победу более широкой математической программы, которую Концевич отстаивал десятилетиями — программы, которая, как он надеется, построит мосты между алгеброй, геометрией и физикой.

«Общее мнение, — сказал Паоло Стеллари, математик из Миланского университета, не принимавший участия в этой работе, — состоит в том, что мы, возможно, имеем дело с частью математики будущего».

Рациональный подход

Попытка классифицировать все многочлены связана с древнейшим видом математики: решением уравнений. Например, чтобы решить простой многочлен y = 2x, достаточно найти значения x и y, удовлетворяющие уравнению. У этого уравнения бесконечно много решений, таких как x = 1, y = 2. Если построить график всех решений на координатной плоскости, получится прямая линия.

Другие многочлены сложнее решить напрямую, и их решения представляют собой более сложные, многомерные фигуры в пространстве.

Но для некоторых из этих уравнений, как оказалось, существует очень простой способ найти все возможные решения. Вместо того чтобы подставлять разные числа в каждую переменную по отдельности, можно получить все решения сразу, переписав переменные через новую переменную t.

Рассмотрим многочлен x² + y² = 1, описывающий окружность. Теперь приравняем x к 2t/(1 + t²) и y к (1 − t²)/(1 + t²). Подставив эти новые формулы обратно в исходное уравнение, получим 1 = 1, что всегда верно, независимо от значения t. Это означает, что, выбрав любое действительное числовое значение для t, вы мгновенно получите решение исходного многочлена. Например, приравняв t к 1, получим x = 2(1)/(1 + (1)²) = 1 и y = 0. И действительно, x = 1, y = 0 является решением исходного уравнения: (1)² + (0)² = 1.

Этот простой способ представления всех ваших решений называется рациональной параметризацией. Он эквивалентен отображению каждой точки на графике вашего исходного многочлена — в данном случае, окружности — в единственную точку на прямой.

Любое полиномиальное уравнение первой степени — то есть любой полином, члены которого возведены в степень не более 1 — может быть параметризовано таким образом. Количество переменных в уравнении не имеет значения: оно может содержать две переменные или 200. При превышении двух переменных решения полиномиального уравнения будут образовывать сложные многомерные фигуры. Но поскольку полином всё ещё может быть параметризован, существует способ отобразить каждую точку многомерной фигуры в точки на особенно простом пространстве с тем же числом измерений (например, прямой). Это, в свою очередь, даёт простой способ вычисления всех решений полинома.

Аналогично, любой многочлен второй степени (члены которого возведены в степень не более 2) имеет рациональную параметризацию.

Но если степень уравнения равна 3 или выше, его не всегда можно параметризовать. Это зависит от количества переменных в уравнении.

Возьмем типичный многочлен третьей степени: эллиптические кривые, такие как y² = x³ + 1, которые имеют всего две переменные. «Эллиптические кривые великолепны, они прекрасны, но их невозможно параметризовать», — говорит Брендан Хассетт из Университета Брауна. Не существует простой формулы для x и y, которая давала бы все решения эллиптической кривой, поэтому невозможно отобразить кривую на прямую линию. «Если бы это было возможно, они не были бы такими интересными», — добавил Хассетт.

Вместо этого решения эллиптической кривой обладают гораздо более сложной структурой — той, которая на протяжении веков играла жизненно важную роль в теории чисел и которую криптографы использовали для кодирования секретных сообщений.

А что насчет уравнений третьей степени с большим количеством переменных? Можно ли их параметризовать, или структура их решений более интересна, как, например, у эллиптических кривых?

В 1866 году немецкий математик Альфред Клебш показал, что уравнения третьей степени с тремя переменными, решения которых образуют двумерные поверхности, обычно параметризуемы. Более чем столетие спустя Герберт Клеменс и Филипп Гриффитс опубликовали монументальное доказательство, в котором показали, что для большинства уравнений третьей степени с четырьмя переменными верно обратное. Эти уравнения, образующие трехмерные многообразия, называемые трехмерными свертками, не параметризуемы: их решения нельзя отобразить в простое трехмерное пространство.

Многие математики подозревали, что следующий классифицируемый многочлен — уравнения третьей степени с пятью переменными (образующие четырехмерные многообразия, известные как четырехмерные свертки) — также обычно не будет параметризуемым. Фактически, они полагали, что многочлены никогда не должны быть параметризуемыми после определенного момента. Но методы Клеменса и Гриффитса не работали для четырехмерных свертков.

Таким образом, на протяжении десятилетий работа по классификации оставалась в застое.

Обращение пророка в христианство

Математики были удивлены, когда летом 2019 года на конференции в Москве Максим Концевич выступил с докладом о классификации четырехмерных многообразий.

Во-первых, Концевич известен своим высокоуровневым подходом к математике, предпочитая выдвигать амбициозные гипотезы и намечать общие программы, часто оставляя более тонкие детали и формальное доказательство другим. Он сам описывал себя как нечто среднее между пророком и мечтателем.

Последние три десятилетия он посвятил разработке программы, называемой гомологической зеркальной симметрией, корни которой уходят в теорию струн. В 1980-х годах теоретики струн хотели подсчитать количество кривых на многомерных многообразиях, чтобы ответить на вопросы о том, как могут вести себя строительные блоки Вселенной. Чтобы подсчитать кривые на данном многообразии, они рассматривали его «зеркальное изображение» — другое многообразие, которое, хотя и сильно отличалось от исходного, обладало схожими свойствами. В частности, они обнаружили, что алгебраический объект, связанный с зеркальным изображением, называемый структурой Ходжа, может показать количество кривых на исходном многообразии. Обратное также было верно: если посчитать кривые на зеркальном изображении, то можно получить информацию о структуре Ходжа исходного многообразия.

В 1994 году Концевич набросал программу, объясняющую основную причину этого соответствия. Его программа также предсказывала, что это соответствие распространяется на все виды многообразий, выходящие за рамки тех, которые имеют отношение к теории струн.

Пока никто не знает, как доказать программу зеркальной симметрии Концевича. «Это будет математика следующего столетия», — сказал он. Но за эти годы он частично продвинулся в доказательстве, одновременно изучая потенциальные последствия этой программы.

В 2002 году один из друзей Концевича, Людмил Кацарков из Университета Майами, выдвинул гипотезу об одном из таких следствий: что программа может быть полезна для классификации полиномиальных уравнений.

Кацарков был знаком с доказательством Клеменса и Гриффитса 1972 года о том, что трехмерные многообразия не параметризуемы. В этой работе они непосредственно рассмотрели структуру Ходжа для данного трехмерного многообразия. Затем они использовали ее, чтобы показать, что трехмерное многообразие нельзя отобразить в простое трехмерное пространство. Но структуры Ходжа, связанные с четырехмерными многообразиями, были слишком сложны для анализа с помощью тех же инструментов.

Идея Кацаркова заключалась в том, чтобы косвенно получить доступ к структуре Ходжа четырехмерного многообразия — подсчитав, сколько кривых определенного типа находится на его зеркальном изображении. Обычно математики, изучающие структуры Ходжа четырехмерных многообразий, не задумываются о подсчете кривых подобным образом: они встречаются только в, казалось бы, несвязанных областях математики, таких как теория струн. Но если программа зеркальной симметрии верна, то количество кривых на зеркальном изображении должно пролить свет на особенности структуры Ходжа исходного четырехмерного многообразия.

В частности, Кацарков хотел разбить количество кривых зеркального изображения на части, а затем использовать программу зеркальной симметрии, чтобы показать, что существует соответствующий способ разбить структуру Ходжа четырехмерного многообразия. Затем он мог бы работать с этими частями структуры Ходжа, а не со всей структурой целиком, чтобы показать, что четырехмерные многообразия нельзя параметризовать. Если бы хотя бы одна из частей не могла быть отображена в простое 4D-пространство, он получил бы свое доказательство.

Но эта линия рассуждений основывалась на предположении, что программа зеркальной симметрии Концевича верна для четырехкратных кратных отражений. «Было ясно, что это должно быть так, но у меня не было технических возможностей понять, как это сделать», — сказал Кацарков.

Однако он знал человека, обладавшего такими способностями: самого Концевича.

Но его другу это было неинтересно.

Крепко копаясь

В течение многих лет Кацарков пытался убедить Концевича применить свои исследования зеркальной симметрии к классификации многочленов — безуспешно. Концевич хотел сосредоточиться на всей программе, а не на этой конкретной проблеме. Затем в 2018 году они вдвоем, вместе с Тони Пантевым из Пенсильванского университета, работали над другой проблемой, которая включала в себя разложение структур Ходжа и подсчет кривых на части. Это убедило Концевича выслушать Кацаркова.

Кацарков еще раз подробно объяснил ему свою идею. Концевич тут же обнаружил альтернативный путь, который Кацарков долго искал, но так и не нашел: способ черпать вдохновение из зеркальной симметрии, не полагаясь на нее напрямую. «После того, как вы годами об этом думали, вы видите, как это происходит за секунды, — сказал Кацарков. — Это потрясающий момент».

Концевич утверждал, что для разрушения структуры Ходжа можно использовать собственные значения кривизны четырехкратной структуры, а не ее зеркального отражения. Им оставалось лишь выяснить, как связать эти две структуры таким образом, чтобы получить необходимые элементы. Тогда они смогли бы сосредоточиться на каждом элементе (или «атоме», как они его называли) структуры Ходжа по отдельности.

Именно такой план Концевич изложил своей аудитории на конференции в Москве в 2019 году. Некоторым математикам это показалось неизбежным, поскольку строгое доказательство уже не за горами. Математики — консервативная группа людей, и часто ждут абсолютной достоверности, чтобы представить новые идеи. Но Концевич всегда был немного смелее. «Он очень открыт в своих идеях и очень дальновиден», — сказал Даниэль Померлеано, математик из Массачусетского университета в Бостоне, изучающий зеркальную симметрию.

Концевич предупредил, что оставался один важный момент, с которым они до сих пор не знали, как справиться: формула, описывающая, как будет изменяться каждый атом, когда математики попытаются отобразить четырехмерное пространство в новые пространства. Только имея такую формулу, они могли бы доказать, что какой-либо атом никогда не достигнет состояния, соответствующего правильно «упрощенному» четырехмерному пространству. Это означало бы, что четырехмерные пространства не параметризуемы, и что их решения богаты и сложны. «Но у людей почему-то сложилось впечатление, что он сказал, что это уже сделано», — сказал Померлеано, и они ожидали скорого доказательства.

Когда этого не произошло, некоторые математики начали сомневаться в том, что у него есть настоящее решение. Тем временем к команде присоединился Тони Юэ Ю, работавший тогда во Французском национальном центре научных исследований. По словам Концевича, свежие идеи Ю и его скрупулезный стиль доказательства оказались решающими для проекта.

Когда во время пандемии COVID-19 начались локдауны, Юй посетил Концевича в расположенном неподалеку французском Институте перспективных научных исследований. Они наслаждались тишиной опустевшего института, проводя часы в лекционных залах, где было больше досок, вспоминает Юй.

Регулярно встречаясь с Пантевым и Кацарковым по Zoom, они быстро завершили первую часть своего доказательства, точно определив, как использовать количество кривых на данном четырехмерном многообразии для разложения его структуры Ходжа на атомы. Но им было трудно найти формулу, описывающую, как затем можно преобразовать атомы.

Они не знали, что математик Хироши Иритани из Киотского университета, присутствовавший на лекции Концевича в Москве, также начал разрабатывать подобную формулу. «Он был очарован моей гипотезой, — сказал Концевич. — Я не знал, но он начал над ней работать».

В июле 2023 года Иритани доказал формулу, описывающую изменения атомов при отображении четырехмерных пространств в новые. Она не дала столько информации, сколько требовалось Концевичу и его коллегам, но в течение следующих двух лет они смогли её усовершенствовать. Затем они использовали свою новую формулу, чтобы показать, что в четырехмерных пространствах всегда будет по крайней мере один атом, который нельзя преобразовать в простое четырехмерное пространство. Четырехмерные пространства не поддавались параметризации.

Обработка продолжается

Когда команда опубликовала свое доказательство в августе, многие математики были в восторге. Это был самый большой прогресс в проекте классификации за последние десятилетия и намекал на новый способ решения задачи классификации полиномиальных уравнений, выходящих далеко за пределы четырехмерных многообразий.

Но другие математики не были так уверены. С момента лекции в Москве прошло шесть лет. Сдержал ли Концевич наконец свое обещание, или еще оставались неясные моменты?

И как они могли развеять свои сомнения, когда методы доказательства были настолько чужды — это были знания теории струн, а не полиномиальной классификации? «Они говорят: „Это черная магия, что это за механизм?“» — сказал Концевич.

«Внезапно они предлагают совершенно новый подход, используя инструменты, которые ранее считались не имеющими отношения к этой теме», — сказал Шаоюнь Бай из Массачусетского технологического института. «Люди, которые разбираются в проблеме, не понимают эти инструменты».

Бай — один из нескольких математиков, пытающихся сейчас преодолеть этот разрыв в понимании. В течение последних нескольких месяцев он совместно с другими исследователями организовал «семинар по чтению», в котором участвуют аспиранты, докторанты и профессора, стремящиеся разобраться в новой статье. Каждую неделю другой математик углубляется в какой-либо аспект доказательства и представляет его остальным участникам группы.

Но даже сейчас, после 11 таких 90-минутных сессий, участники все еще чувствуют себя растерянными, когда дело доходит до важных деталей доказательства. «В статье содержатся блестящие оригинальные идеи, — сказал Бай, — на их осмысление требуется значительное время».

Подобные читательские группы собираются в Париже, Пекине, Южной Корее и других местах. «Сейчас люди по всему миру работают над одной и той же статьей», — сказал Стеллари. «Это нечто особенное».

Хассетт сравнивает это с доказательством гипотезы Пуанкаре, представленным Григорием Перельманом в 2003 году, в котором также использовались совершенно новые методы для решения известной проблемы. Лишь после того, как другие математики воспроизвели доказательство Перельмана, используя более традиционные инструменты, сообщество действительно приняло его.

«Сопротивление будет, — сказал Кацарков, — но мы проделали работу, и я уверен, что это правильно». Он и Концевич также считают это крупной победой для программы зеркальной симметрии: хотя они и не приблизились к доказательству, результат предоставляет дополнительные доказательства того, что это правда.

«Я очень стар и очень устал, — сказал Кацарков. — Но я готов развивать эту теорию, пока жив».

Источник: www.quantamagazine.org