Суть Великой теоремы Ферма получила сверхспособности.

Расширив область применения ключевой идеи Великой теоремы Ферма, четыре математика добились значительных успехов в построении «великой единой теории» математики. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

В 1994 году доказательство, ставшее настоящим землетрясением, потрясло математический мир. Математик Эндрю Уайлз наконец-то разрешил Великую теорему Ферма, центральную проблему теории чисел, которая оставалась нерешенной более трех столетий. Доказательство не только захватило математиков — оно попало на первую страницу The New York Times.

Но для этого Уайлзу (с помощью математика Ричарда Тейлора) сначала пришлось доказать более тонкое промежуточное утверждение — такое, последствия которого выходили за рамки головоломки Ферма.

Это промежуточное доказательство заключалось в демонстрации того, что важный тип уравнений, называемый эллиптической кривой, всегда может быть связан с совершенно другим математическим объектом, называемым модулярной формой. Уайлз и Тейлор, по сути, открыли портал между разрозненными математическими областями, показав, что каждая из них выглядит как искаженное зеркальное отражение другой. Если математики хотят понять что-либо об эллиптической кривой, показали Уайлз и Тейлор, они могут перейти в мир модулярных форм, найти и изучить зеркальное отражение своего объекта, а затем перенести свои выводы обратно.

Эта связь между мирами, называемая «модулярностью», не только позволила Уайлзу доказать Великую теорему Ферма. Математики вскоре использовали её для решения самых разных ранее неразрешимых задач.

Модульность также лежит в основе программы Лэнглендса — обширного набора гипотез, направленных на разработку «великой единой теории» математики. Если гипотезы верны, то всевозможные уравнения, выходящие за рамки эллиптических кривых, будут аналогичным образом связаны с объектами в их зеркальной области. Математики смогут перемещаться между мирами по своему усмотрению, чтобы ответить на еще больше вопросов.

Однако доказать соответствие между эллиптическими кривыми и модулярными формами оказалось невероятно сложно. Многие исследователи считали, что установить некоторые из этих более сложных соответствий невозможно.

Теперь группа из четырех математиков доказала их неправоту. В феврале квартету наконец удалось распространить связь модулярности с эллиптических кривых на более сложные уравнения, называемые абелевыми поверхностями. Команда — Фрэнк Калегари из Чикагского университета, Джордж Боксер и Тоби Джи из Имперского колледжа Лондона, а также Винсент Пиллони из Французского национального центра научных исследований — доказала, что каждой абелевой поверхности, принадлежащей определенному главному классу, всегда может быть сопоставлена модулярная форма.

«В основном мы считаем, что все предположения верны, но так здорово видеть, как это действительно воплощается в жизнь», — сказала Ана Караиани, математик из Имперского колледжа Лондона. «И это в случае, который, как казалось, был недостижим».

Это лишь начало многолетних поисков — в конечном итоге математики хотят доказать модулярность для каждой абелевой поверхности. Но результат уже сейчас может помочь ответить на многие открытые вопросы, подобно тому как доказательство модулярности для эллиптических кривых открыло множество новых направлений исследований.

Сквозь Зазеркалье

Эллиптическая кривая — это особенно фундаментальный тип уравнения, использующий всего две переменные — x и y. Если построить график её решений, можно увидеть, казалось бы, простые кривые. Но эти решения взаимосвязаны сложным и многогранным образом, и они встречаются во многих важнейших вопросах теории чисел. Например, гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера — одна из самых сложных открытых проблем в математике, за доказательство которой первым предусмотрена награда в 1 миллион долларов — касается природы решений эллиптических кривых.

Эллиптические кривые сложно изучать напрямую. Поэтому иногда математики предпочитают подходить к их изучению с другой стороны.

Вот тут-то и пригодятся модулярные формы. Модулярная форма — это функция с высокой степенью симметрии, которая встречается в, казалось бы, отдельной области математических исследований, называемой анализом. Благодаря множеству приятных симметрий, с модулярными формами проще работать.

На первый взгляд, эти объекты кажутся несвязанными. Но доказательство Тейлора и Уайлза показало, что каждой эллиптической кривой соответствует определённая модулярная форма. У них есть определённые общие свойства — например, набор чисел, описывающих решения эллиптической кривой, также встречается в соответствующей ей модулярной форме. Таким образом, математики могут использовать модулярные формы для получения новых знаний об эллиптических кривых.

Однако математики считают, что теорема Тейлора и Уайлза о модулярности — лишь один из примеров универсального факта. Существует гораздо более общий класс объектов, выходящий за рамки эллиптических кривых. И у всех этих объектов также должен быть аналог в более широком мире симметричных функций, например, модулярные формы. По сути, именно в этом и заключается суть программы Лэнглендса.

Эллиптическая кривая имеет всего две переменные — x и y — поэтому её можно изобразить на плоском листе бумаги. Но если добавить ещё одну переменную, z, получится криволинейная поверхность, существующая в трёхмерном пространстве. Этот более сложный объект называется абелевой поверхностью, и, как и в случае с эллиптическими кривыми, её решения имеют сложную структуру, которую математики стремятся понять.

Нажимая кнопку просмотра этого видео, вы соглашаетесь с нашей политикой конфиденциальности.

Казалось естественным, что абелевы поверхности должны соответствовать более сложным типам модулярных форм. Но дополнительная переменная значительно усложняет их построение и поиск решений. Доказать, что они также удовлетворяют теореме о модулярности, казалось совершенно недостижимым. «Это была известная проблема, о которой не стоило задумываться, потому что люди думали о ней и застревали на месте», — сказал Джи.

Но Боксер, Калегари, Джи и Пиллони хотели попробовать.

Найти мост

Все четверо математиков участвовали в исследованиях в рамках программы Лэнглендса, и они хотели доказать одну из этих гипотез для «объекта, который действительно встречается в реальной жизни, а не для чего-то странного», — сказал Калегари.

Абелевы поверхности не только встречаются в реальной жизни — в реальной жизни математика, — но и доказательство теоремы о модулярности, касающейся их, открыло бы новые математические возможности. «Существует множество вещей, которые можно сделать, имея это утверждение, и которые невозможно сделать иначе», — сказал Калегари.

Математики начали совместную работу в 2016 году, надеясь повторить те же шаги, что и Тейлор и Уайлз в своем доказательстве для эллиптических кривых. Но каждый из этих шагов оказался гораздо сложнее для абелевых поверхностей.

Поэтому они сосредоточились на определенном типе абелевых поверхностей, называемых обычными абелевыми поверхностями, с которыми было проще работать. Для любой такой поверхности существует набор чисел, описывающих структуру ее решений. Если бы они смогли показать, что тот же набор чисел можно вывести и из модулярной формы, работа была бы завершена. Эти числа служили бы уникальным идентификатором, позволяющим сопоставлять каждую из их абелевых поверхностей с модулярной формой.

Проблема заключалась в том, что, хотя эти числа легко вычислить для данной абелевой поверхности, математики не знают, как построить модулярную форму с точно таким же обозначением. Модульные формы просто слишком сложно построить, когда требования настолько ограничены. «Объекты, которые вы ищете, вы на самом деле не знаете, что они существуют», — сказал Пиллони.

Вместо этого математики показали, что достаточно построить модулярную форму, числа которой в более слабом смысле соответствуют числам абелевой поверхности. Числа модулярной формы должны были быть эквивалентны лишь в области так называемой арифметики часов.

Представьте себе часы: если часовая стрелка изначально показывает 10, и проходит четыре часа, часы покажут 2. Но арифметические операции на часах можно производить с любым числом, а не только (как в случае с реальными часами) с числом 12.

Боксеру, Калегари, Джи и Пиллони достаточно было показать, что их два набора чисел совпадают, используя часы, показывающие время до 3. Это означало, что для данной абелевой поверхности математики имели больше гибкости при построении соответствующей модулярной формы.

Но даже это оказалось слишком сложно.

Затем они наткнулись на кладезь модулярных форм, соответствующие им числа было легко вычислить — при условии, что они определяли свои числа в соответствии с тактовой частотой до 2. Но для абелевой поверхности требовалась частота до 3.

Математики имели представление о том, как приблизительно соединить эти два разных типа часов. Но они не знали, как сделать соединение герметичным, чтобы найти истинное соответствие абелевой поверхности в мире модулярных форм. Затем появилась новая математическая теория, которая оказалась именно тем, что им было нужно.

Неожиданная помощь

В 2020 году теоретик чисел Лю Пан опубликовал доказательство модулярных форм, которое на первый взгляд не казалось связанным с проблемой квартета. Но вскоре стало ясно, что разработанные им методы оказались на удивление актуальными. «Я этого не ожидал», — сказал Пан.

После нескольких лет регулярных встреч, в основном в Zoom, математики начали добиваться прогресса в адаптации методов Пана, но серьезные препятствия оставались. Затем, летом 2023 года, Боксер, Джи и Пиллони увидели в конференции в Бонне, Германия, прекрасную возможность собраться вместе. Единственная проблема заключалась в том, что Калегари должен был одновременно отправиться в Китай, чтобы выступить с докладом. Но сложный визит в китайское консульство в Чикаго заставил его пересмотреть свои планы. «Через восемь часов мне отказали в визе, а машину эвакуировали», — сказал он. Он решил отказаться от выступления в Китае и присоединиться к своим коллегам в Германии.

Джи снял для команды комнату в подвале Научно-исследовательского института Хаусдорфа, где их вряд ли могли беспокоить странствующие математики. Там они провели целую неделю, работая над теоремой Пана, день за днем по 12 часов, лишь изредка поднимаясь на землю за кофе. «После кофе мы всегда шутили, что нам нужно вернуться в шахту», — сказал Пиллони.

Упорный труд окупился. «В дальнейшем было много неожиданных поворотов, — сказал Калегари, — но к концу той недели я подумал, что мы более или менее победили».

Потребовалось еще полтора года, чтобы превратить убеждение Калегари в доказательство на 230 страницах, которое они опубликовали в интернете в феврале. Собрав все части воедино, они доказали, что любая обычная абелева поверхность имеет связанную с ней модулярную форму.

Их новый портал однажды может оказаться таким же мощным, как результат Тейлора и Уайлса, раскрывая больше информации об абелевых поверхностях, чем кто-либо мог себе представить. Но сначала команде придется распространить свой результат на нетипичные абелевы поверхности. Они объединились с Паном, чтобы продолжить поиски. «Через десять лет я буду удивлен, если мы не найдем почти все из них», — сказал Джи.

Эта работа также позволила математикам сформулировать новые гипотезы — например, аналог гипотезы Бирча и Свиннертона-Дайера, в котором вместо эллиптических кривых используются абелевы поверхности. «Теперь мы, по крайней мере, знаем, что аналог имеет смысл» для этих обычных поверхностей, — сказал Эндрю Сазерленд, математик из Массачусетского технологического института. «Раньше мы этого не знали».

«Многие вещи, которые я мечтал когда-нибудь доказать, теперь стали достижимы благодаря этой теореме», — добавил он. «Это меняет всё».

Источник: www.quantamagazine.org