Старая задача об алгебраических кривых досталась молодым математикам

Эрик Ларсон и Изабель Фогт решили задачу интерполяции — многовековую проблему, касающуюся некоторых из самых базовых геометрических объектов. Отчасти это заслуга доски в их гостиной. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Основной факт геометрии, известный уже тысячелетия, заключается в том, что через любые две точки плоскости можно провести прямую. Если добавить ещё несколько точек, то всё кончено: маловероятно, что через все точки пройдёт одна прямая. Однако через любые три точки можно провести окружность, а через любые пять — коническое сечение (эллипс, параболу или гиперболу).

В более общем смысле, математики хотят знать, когда можно провести кривую через произвольное число точек в произвольном числе измерений. Это фундаментальный вопрос, известный как задача интерполяции, касающийся алгебраических кривых, одного из важнейших объектов математики. «По сути, речь идёт просто о понимании того, что такое кривые», — сказал Рави Вакил, математик из Стэнфордского университета.

Но кривые, существующие в высших измерениях, несмотря на то, что они изучаются с помощью самых современных инструментов уже сотни лет, — штука непростая. В двумерном пространстве кривую можно описать одним уравнением: прямую можно записать как y = 3x − 7, а окружность — как x² + y² = 1. Однако в трёхмерном и более измерениях кривая становится гораздо сложнее и часто определяется таким количеством уравнений с таким количеством переменных, что невозможно полностью понять её геометрию. В результате самые основные свойства кривой могут быть чрезвычайно сложны для понимания, включая, казалось бы, простое понятие того, проходит ли она через некий набор точек в пространстве.

На протяжении столетий математики доказывали различные случаи задачи интерполяции: можно ли, например, провести кривую с определёнными заданными свойствами через 16 точек в трёхмерном пространстве или через миллиард точек в пятимерном пространстве? Эта работа не только позволила им ответить на важные вопросы алгебраической геометрии, но и вдохновила на развитие криптографии, цифровых хранилищ и других областей, выходящих за рамки чистой математики.

Тем не менее, сказал Вакил, недостаточно просто понимать принцип интерполяции для большинства кривых. Математики хотят знать его для всех.

В доказательстве, опубликованном в интернете в начале этого года, два молодых математика из Университета Брауна, Эрик Ларсон и Изабель Фогт, наконец-то нанесли решающий удар по этой проблеме, полностью и систематически решив её. Эта работа знаменует собой кульминацию почти десятилетней работы, в течение которой они постепенно продвигались к решению вопроса, решали важные сопутствующие задачи о том, как выглядят и ведут себя кривые, а также поженились.

«Это действительно замечательная история», — сказал Сэм Пейн, математик из Техасского университета в Остине, — «что [люди] в столь юном возрасте и на столь раннем этапе своего математического развития ухватились за такую глубокую, трудную проблему, а затем проявили такую настойчивость».

Встраивание кривых

Решение задачи интерполяции основано на работах, относящихся к XIX веку, — работах, которые дают ответ на ещё более фундаментальный вопрос: какие алгебраические кривые вообще существуют?

Кривая — это одномерный объект, находящийся в многомерном пространстве. Хотя обычно неясно, как описать кривую с помощью конкретных уравнений, математики могут охарактеризовать ее на основе определенных числовых свойств. Первое из них — это размерность пространства, в котором находится кривая. Второе — это степень кривой, которая равна числу пересечений с гиперплоскостью — подпространством, размерность которого на единицу меньше размерности самого пространства. Например, окружность в двумерной плоскости имеет степень 2, потому что при разрезании ее одномерной линией эта линия обычно пересекает ее в двух точках. Между тем, степень кривой, вложенной в 20-мерное пространство, равна числу пересечений с 19-мерной гиперплоскостью. Можно думать о степени как о своего рода мере того, насколько закручена кривая.

Третье число, которое математики используют для описания кривой, называется её родом. Поскольку кривая — одномерный объект, определяемый комплексными числами, каждая её точка может быть записана как пара действительных чисел, а не как одно комплексное число. Это означает, что с топологической точки зрения кривая фактически выглядит как двумерная поверхность, и эта поверхность может иметь дырки. (Типичный пример — поверхность бублика.) Таким образом, род кривой — это количество дырок в ней.

Прежде чем математики смогли хотя бы начать размышлять о том, как могут выглядеть кривые заданного рода и степени, им нужно было понять, когда такие кривые вообще могут существовать. Но даже это оказалось непростой задачей.

В 1870-х годах математики Александр фон Бриль и Макс Нётер (отец знаменитого математика Эмми Нётер) сформулировали предсказание, используя всего три свойства: род (g), или число имеющихся у неё дырок; степень (d), или её извилистость; и число измерений (r), в которых находится кривая. Они предположили, что кривую заданного рода можно вложить в пространство заданного числа измерений тогда и только тогда, когда степень этой кривой достаточно велика, то есть если кривая достаточно гибкая. Они выписали точное неравенство в терминах g, d и r и утверждали, что только при выполнении этого неравенства возможна кривая по вашему выбору.

Но их аргументация не получила фактического доказательства. Доказательство было получено лишь спустя более века, когда в 1980 году Филлип Гриффитс и Джо Харрис, используя современные методы алгебраической геометрии, доказали истинность теоремы Брилля-Нётер. (С тех пор математики предложили около полудюжины различных доказательств этой теоремы и разработали вокруг неё богатую теорию.)

Этот результат наконец позволил математикам вернуться к задаче интерполяции, то есть к вычислению того, сколько случайных точек в r-мерном пространстве может пройти кривая рода g и степени d. (Здесь кривая называется «общей», что означает, что она не встраивается в пространство каким-либо особым образом.) Основываясь на работе Брилла и Нётер, они сделали обоснованное предположение о том, каким должен быть ответ на этот вопрос. Как и в случае с теоремой Брилла-Нётер, ответ был сформулирован в виде частного неравенства, которому должны были удовлетворять параметры кривой, — на этот раз записанного не только в терминах g, d и r, но и в терминах n, количества точек.

Но, в отличие от теоремы Брилля-Нётер, из этого правила были явные исключения — случаи, когда геометрия кривой ограничивала количество точек, через которые она могла бы пройти. «Это уже само по себе указывает на то, что это сложная теорема, это глубокая теорема, требующая много работы», — сказал Пейн.

Именно эта проблема заинтересовала Ларсона и Фогта. Частично их вдохновил Харрис, который был одним из их профессоров, когда они вместе учились на бакалавриате в Гарвардском университете, где они познакомились в 2011 году. Позже Харрис стал научным руководителем докторской диссертации Ларсона и соруководителем Фогта, когда они, будучи аспирантами Массачусетского технологического института, начали серьезно работать над интерполяцией.

Решая проблему

Ларсон начал заниматься проблемой интерполяции, работая над другим важным вопросом алгебраической геометрии, известным как гипотеза о максимальном ранге. Когда, будучи аспирантом, он обратил внимание на эту гипотезу, которая оставалась открытой более века, она показалась ему «совершенно глупой идеей, потому что эта гипотеза была подобна кладбищу», — сказал Вакил. «Он пытался решить то, в чём люди гораздо старше его долгое время терпели неудачу».

Но Ларсон не сдавался и в 2017 году представил полное доказательство, которое сделало его восходящей звездой в этой области.

Ключом к этому доказательству стало рассмотрение различных случаев задачи интерполяции. Это было связано с тем, что значительная часть подхода Ларсона к гипотезе о максимальном ранге (которая также связана с алгебраическими кривыми) заключалась в разбиении исследуемой кривой на несколько кривых, изучении их свойств, а затем их склеивании точным образом. Чтобы склеить эти более простые кривые, ему нужно было провести каждую из них через одну и ту же группу точек, что, в свою очередь, означало доказательство задачи интерполяции. «Интерполяция даёт вам машину для построения этих [более сложных] кривых», — сказал Ларсон.

Фогт уже работала над интерполяцией. В своей первой работе в аспирантуре она доказала все случаи интерполяции (включая все исключения) в трёхмерном пространстве; в следующем году она объединилась с Ларсоном, чтобы решить эту задачу и в четырёхмерном пространстве. Хотя с тех пор пара сотрудничала и в других проектах, «именно так мы начали работать вместе», — сказала Фогт. В том же году — в том же году, когда Ларсон опубликовал своё доказательство максимального ранга — они поженились. С тех пор они часто обсуждают идеи после ужина, решая задачи на домашних досках.

Задача интерполяции заключается в том, может ли кривая определенного типа проходить через заданный набор случайных точек. Чтобы доказать это, дуэт должен показать, что кривая может изгибаться в пространстве определенным образом. Рассмотрим, например, три точки на прямой. Если немного сдвинуть одну точку от прямой, а две другие оставить неподвижными, невозможно сдвинуть прямую так, чтобы она прошла через новую конфигурацию точек. Попытка задеть все три точки заставит прямую искривиться, и она перестанет быть прямой. Таким образом, прямая может проходить через две точки, но не через три.

Математики хотели выяснить что-то подобное для более сложных кривых в многомерных пространствах — сдвинуть их в определенных точках и изучить, как они движутся.

Для этого им необходимо было рассмотреть структуру, называемую нормальным расслоением кривой, которая, по сути, определяет её колебания. Тогда задачу интерполяции можно было бы переформулировать как задачу вычисления свойств нормального расслоения кривой.

Но изучать их для более сложных кривых, которыми занимались Ларсон и Фогт, становится невыносимо сложно. Поэтому они использовали стратегию, похожую на ту, которую Ларсон использовал при доказательстве гипотезы о максимальном ранге. Имея кривую, они разбили её на части — но очень деликатно, именно так. «Они взяли задачу и разбили её, но именно таким образом, чтобы точно видеть, что происходит», — сказал Вакил.

Рассмотрим простой пример. Допустим, у вас есть гипербола на плоскости — кривая, похожая на пару зеркально отраженных дуг, обращённых друг к другу. Вы можете «деформировать» эту кривую, пока она не разобьётся на две более простые кривые, в данном случае — на пару прямых, пересекающихся в форме буквы X. Некоторые аспекты геометрии гиперболы всё ещё отражаются в геометрии этих прямых. Но поскольку прямые проще, с ними проще работать, и проще анализировать их нормальные расслоения.

Тем не менее, невозможно просто взглянуть на нормальные пучки отдельных прямых и немедленно перевести это в понимание нормального пучка гиперболы. Это связано с тем, что в точке пересечения двух прямых нормальное пучкообразование ведёт себя, в некотором смысле, некорректно. Вместо этого математикам приходится изучать нормальное пучкообразование с определёнными модификациями.

Конечно, Ларсон и Фогт рассматривали не гиперболы и прямые, а гораздо более сложные ситуации. Они начинали с разбиения сложной кривой на две части: прямую и более простую (но всё ещё сложную) кривую, которая встречалась с этой прямой в одной или двух точках. Затем они разбивали более сложную кривую на две и повторяли процесс снова, снова и снова, пока не сводили всё к действительно простым «базовым» кривым, «таким, которые можно вычислить голыми руками», как сказал Фогт. На протяжении всего этого процесса им приходилось отслеживать нормальные пучки частей — и все накапливающиеся модификации этих нормальных пучков — чтобы доказать то, что им нужно было доказать относительно исходного нормального пучка.

Но этих способов разбиения кривых оказалось недостаточно. Они не работали для всех типов кривых, охватываемых теоремой Брилля-Нётер.

Ларсону и Фогту пришлось ввести новый метод разбиения кривых — метод, не предполагающий, что одна из частей является линией. Разобраться в этом было непросто не только потому, что на определённом этапе рассуждения это могло просто не дать желаемого результата, но и потому, что им приходилось следить за исключениями, когда интерполяционное утверждение оказывалось неверным. «Ваша аргументация должна быть достаточно сложной, потому что вы никогда не сможете [в итоге] получить исключение» в качестве базового случая, сказал Фогт. «Это было бы очень плохо».

В конце концов они нашли способ это сделать. «Технически это чрезвычайно сложно. Это очень, очень ответственный конструктивный аргумент», — сказал Харрис. «Честно говоря, я думаю, что для его реализации нужен кто-то с исключительными навыками Ларсона и Фогта».

В то же время они разработали методы для обработки всех изменений в обычном наборе, которые накапливались в ходе этого рассуждения. «Это поразительный подвиг — отслеживать все эти данные и доводить их до конца», — сказал Гаврил Фаркаш, математик из Берлинского университета имени Гумбольдта.

«Эрик действительно хорош в этом деле», — сказал Фогт. Иззет Коскун, математик из Иллинойсского университета, который часто сотрудничает с Ларсоном и Фогтом, согласился. «Эрик немного пугает», — сказал он. «Большинство из нас, увидев набор из 12 неравенств, сдаются, и наши глаза стекленеют… но он не сдаётся. Для него нет ничего слишком сложного».

В конечном счёте, Ларсон и Фогт доказали, что кривые всегда интерполируются через ожидаемое количество точек, за исключением четырёх особых случаев. Они привели геометрические обоснования того, почему эти четыре типа кривых интерполируются через неожиданное количество точек. Тем самым они решили задачу раз и навсегда.

«Они приводят аргументы в таком виде, что они кажутся очень естественными. Вроде бы это совсем неудивительно», — сказал Дэйв Дженсен, математик из Университета Кентукки. «Что странно, ведь другие пытались доказать этот результат, но не смогли».

«Это просто упорство. Это нечто большее. На самом деле, просто здорово, что нам удалось это закончить», — сказал Фаркаш. «Это действительно нечто».

Семейное наследие

Хотя это доказательство может означать конец одной повествовательной линии, история далека от завершения — как с математической, так и с личной точки зрения.

Вопросов о кривых предостаточно. И работа Ларсона и Фогта даёт своего рода рецепт, как понять эти центральные, но трудноуловимые математические объекты. «Я думаю, что многие классические задачи теперь стали более доступными», — сказал Коскун. «Те вещи, о которых мы думали, что даже не можем начать думать… теперь можно задавать».

Тем временем младшая сестра Ларсон, Ханна Ларсон, тоже математик (в настоящее время она является стипендиатом фонда Клэя, получив докторскую степень в Стэнфордском университете этой весной), и работает над смежными вопросами, связанными с алгебраическими кривыми и теорией Брилля-Нётер. «Она — машина», — сказал Вакил, научный руководитель её докторской диссертации. «Она может всё».

Недавно она разработала новое доказательство теоремы Брилля-Нётер, которое Вакил назвал передовым. Она также работает, как самостоятельно, так и в сотрудничестве со своим братом и Фогтом, над доказательством аналога теоремы Брилля-Нётер для некоторых специальных кривых. «Это действительно впечатляющее семейство», — сказал Йенсен.

«Так здорово, что мы можем делать что-то вместе», — сказала Ханна Ларсон о работе со своим братом и невесткой.

Как и её брат, Ханна вдохновилась изучением этого материала ещё в бакалавриате, посетив курс Харриса. Однако она также отдаёт должное Эрику и Изабель за свой интерес к предмету. «Когда общаешься с кем-то и видишь, как ему нравится заниматься математикой или каким-то конкретным её разделом, мне тоже захотелось попробовать», — сказала она.

«Что действительно здорово, так это то, что они до смешного хорошо ладят друг с другом», — сказал Вакил. «Людям не суждено так уж хорошо ужиться друг с другом, как этим троим».

Сейчас они продолжают изучать, как выглядят различные виды кривых, как они себя ведут и что это может означать для других математических задач. «Так что эта история ещё ни в коем случае не закончена», — сказала Ханна Ларсон.

Источник: www.quantamagazine.org