Спустя годы после преждевременной смерти гениальной математики её идеи обретают новую жизнь.

Новое доказательство расширяет работу покойной Марьям Мирзахани, закрепляя за ней статус пионера в области нетрадиционных математических дисциплин. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

В начале 2000-х годов молодая аспирантка Гарвардского университета начала создавать экзотическую математическую вселенную, населенную формами, которые бросают вызов геометрической интуиции. Ее звали Марьям Мирзахани, и она стала первой женщиной, получившей Филдсовскую премию, высшую награду в области математики.

Её ранние работы были посвящены «гиперболическим» поверхностям. На такой поверхности параллельные линии изгибаются друг от друга дугой, а не остаются на одинаковом расстоянии, и в каждой точке поверхность изгибается в двух противоположных направлениях, подобно седлу. Хотя мы можем представить себе поверхность сферы или пончика, гиперболические поверхности обладают настолько странными геометрическими свойствами, что их невозможно визуализировать. Но их также важно понимать, потому что такие поверхности повсеместно встречаются в математике и даже в теории струн.

Мирзахани была влиятельным картографом гиперболической вселенной. Еще будучи аспиранткой, она разработала новаторские методы, которые позволили ей начать каталогизацию этих форм, прежде чем совершить революцию в других областях математических исследований. Она надеялась вернуться к своей карте гиперболического мира позже — чтобы дополнить ее детали и сделать новые открытия. Но прежде чем она смогла это сделать, ей поставили диагноз рак груди. Она умерла в 2017 году, всего в 40 лет.

Два математика подхватили нить ее работы и развили ее до еще более глубокого понимания гиперболических поверхностей. В статье, опубликованной в интернете в прошлом месяце, Налини Анантараман из Коллеж де Франс и Лаура Монк из Бристольского университета развили исследования Мирзахани, чтобы доказать важное утверждение о типичных гиперболических поверхностях. Они показали, что поверхности, которые когда-то считались редкими, если не невозможными, на самом деле распространены. Более того, если бы вы выбрали гиперболическую поверхность случайным образом, она практически гарантированно обладала бы определенными критическими свойствами.

«Это знаковый результат, — сказал Питер Сарнак, математик из Принстонского университета. — Из этого будет извлечено еще много уроков».

Эта работа, еще не прошедшая рецензирование, предполагает, что гиперболические поверхности еще более странные и менее интуитивно понятные, чем кто-либо мог себе представить. Она также опирается на титаническое математическое наследие Мирзахани, возрождая ее мечту осветить эту вселенную невообразимых форм.

Насыщенная диссертация

В детстве, живя в Тегеране, Мирзахани, страстная читательница, мечтала когда-нибудь написать собственные книги. Но она также преуспевала в математике и в итоге завоевала две золотые медали на Международной математической олимпиаде, престижном конкурсе для старшеклассников. В 1999 году, после окончания Технологического университета имени Шарифа, она поступила в аспирантуру Гарварда. Там она увлеклась гиперболической геометрией. Будучи заядлой любительницей рисовать, она получала удовольствие от попыток осмыслить формы, которые по определению нельзя нарисовать.

«Гиперболическая поверхность чем-то похожа на головоломку, которую можно собрать локально, но которую невозможно завершить в нашей Вселенной», — говорит Алекс Райт, математик из Мичиганского университета и бывший научный сотрудник Мирзахани. Это потому, что каждый элемент головоломки имеет изогнутую форму седла. Можно соединить несколько элементов, но никогда таким образом, чтобы полностью замкнуть поверхность — по крайней мере, в нашем плоском трехмерном пространстве. Это делает изучение гиперболических поверхностей особенно сложным. Даже основные вопросы о них остаются открытыми.

Чтобы разобраться в гиперболической поверхности, математики изучают замкнутые петли, расположенные на ней. Эти петли, называемые геодезическими, бывают самых разных форм; для заданной формы они прокладывают кратчайший путь от одной точки к другой, возвращаясь к исходной точке. Чем больше отверстий на поверхности, тем разнообразнее и сложнее могут быть её геодезические. Изучая количество различных геодезических заданной длины на поверхности, математики могут начать понимать, как выглядит поверхность в целом.

Мирзахани стала одержима этими кривыми, образующими круги. В обсуждениях с коллегами она постоянно поднимала эту тему, её обычная сдержанность испарилась. Она часто говорила о геодезических линиях и связанных с ними объектах, словно они были персонажами рассказа. «Я помню, как во время своих выступлений она задавала два вопроса: сколько существует кривых и где они находятся?» — сказал Касра Рафи из Университета Торонто.

Ещё будучи аспиранткой, она разработала формулу, позволявшую ей оценивать количество геодезических до заданной длины для любой гиперболической поверхности. Эта формула не только позволяла ей описывать отдельные поверхности, но и давала возможность доказать известную гипотезу в теории струн, а также понять, какие типы гиперболических поверхностей можно построить.

После получения степени магистра Мирзахани добилась значительных успехов в геометрии, топологии и динамических системах. Но она никогда не забывала тему своей докторской диссертации.

Она надеялась узнать больше о существах, обитающих в гиперболическом зоопарке, который она классифицировала. В частности, она хотела понять, как выглядит типичная гиперболическая поверхность. Часто математики сначала изучают объекты — графики, узлы, последовательности чисел — которые они могут построить. Но их построения обычно «совсем не типичны», — говорит Брам Петри из Сорбоннского университета. «Мы склонны рисовать очень особенные вещи». Типичный график, узел или последовательность, выбранные случайным образом, будут выглядеть совсем иначе.

И поэтому Мирзахани начала выбирать гиперболические поверхности наугад и изучать их свойства. «У нее были идеальные инструменты, поэтому это было очень естественно», — сказал Райт.

Но она умерла, прежде чем смогла всерьез заняться этим направлением исследований. «Она как раз разрабатывала оборудование, — сказал Монк, — и у нее не было времени им воспользоваться».

Подхватывая нить разговора

Монк никогда не думала, что именно ей придётся продолжить дело Мирзахани. На самом деле, до двадцати с небольшим лет она не собиралась строить карьеру в области математических исследований. С детства она планировала стать учительницей, когда помогала одноклассникам на уроках математики, чтобы развеять скуку. «В школе мне было очень плохо, — сказала она. — Я старалась чем-то себя занять, работая помощницей учителя».

Она поступила в магистратуру Парижского университета Сакле, став одной из трёх женщин в группе из 40 человек. Ближе к концу обучения она узнала, что обе другие женщины также планируют покинуть академическую среду. Этот уход заставил её задуматься, отражают ли их планы «наши собственные индивидуальные решения и желания», — сказала она, — «или же мы пострадали больше, чем осознавали, оказавшись в среде, где мы были скорее исключением». Она чувствовала свой долг перед девушками, которых планировала обучать, — стать примером успешной женщины в математике.

Поэтому она решила получить докторскую степень. «По крайней мере, одна из нас должна это сделать», — сказала она себе. «Иначе это будет очень грустно». (Позже одна из других женщин тоже получила докторскую степень.)

По предложению одного из своих профессоров Монк поехала на поезде на встречу с Налини Анантараман, потенциальным научным руководителем, которая, как и Мирзахани, была экспертом в нескольких областях. На самом деле, Анантараман встречалась с Мирзахани несколько раз за свою карьеру — они были примерно одного возраста и интересовались схожими темами. Обеих также объединяла страсть к гуманитарным наукам: как Мирзахани почти полностью посвятила свои исследования литературе, так и Анантараман получила образование классической пианистки и не была уверена, выберет ли она музыку или математику.

В 2015 году оба математика провели семестр в Калифорнийском университете в Беркли. Дочь Мирзахани и сын Анантарамана были примерно одного возраста, и два математика иногда встречались на местной детской площадке, где обсуждали материнство, пока их дети играли.

Анантараман знала, что Мирзахани начала экспериментировать со случайными гиперболическими поверхностями ближе к концу своей жизни. Теперь она надеялась развить эту работу.

Один из способов охарактеризовать гиперболическую поверхность — измерить её связность. Представьте, что вы муравей, идущий по поверхности в случайном направлении. Если вы будете идти некоторое время, одинаково ли вероятно, что вы окажетесь в любой точке поверхности? Если поверхность хорошо связана, и между её различными областями существует множество возможных путей, то ответ — да. Но если она плохо связана — как гантель, состоящая из двух больших областей, соединённых одним узким мостиком, — вы можете потратить много времени, блуждая только по одной стороне, прежде чем найдёте способ перейти на другую.

Математики измеряют степень связности поверхности с помощью числа, называемого спектральным зазором. Чем больше его значение, тем более связной является поверхность. Хотя представить себе поверхность по-прежнему невозможно, спектральный зазор позволяет осмыслить её общую форму. «Это как способ количественной оценки вопроса: „Как выглядит эта поверхность?“», — сказал Рафи.

Хотя теоретически спектральный зазор может принимать любое значение от 0 до 1/4, большинство гиперболических поверхностей, которые математикам удалось построить, имеют относительно небольшой спектральный зазор. Лишь в 2021 году им удалось выяснить, как строить поверхности с любым количеством отверстий, имеющие максимально возможный спектральный зазор, то есть поверхности с максимальной связностью.

Но хотя известно относительно немного гиперболических поверхностей с большим спектральным зазором, математики предполагают, что они довольно распространены. Существует обширная и в значительной степени неисследованная вселенная гиперболических поверхностей. Хотя математики обычно не могут построить отдельные поверхности в этой вселенной, они надеются понять общие свойства типичной поверхности. И, рассматривая совокупность гиперболических поверхностей в целом, они ожидают, что большинство из них имеют спектральный зазор 1/4.

Именно эту задачу Анантараман надеялась поставить перед своей новой аспиранткой. Монк, стремясь к тесному сотрудничеству с женщиной-наставником и желая поставить перед собой амбициозные цели — «если я собираюсь получить докторскую степень, я действительно это сделаю», — вспоминает она свои мысли, — согласилась.

Написание продолжения

В 2018 году, всего через год после смерти Мирзахани, Монк начала обучение в аспирантуре под руководством Анантарамана. Первым делом она постаралась узнать как можно больше о работе Мирзахани над гиперболическими поверхностями.

Было известно, что если получить достаточно точную оценку числа замкнутых геодезических на поверхности — тех петлеобразных путей, которые Мирзахани так интенсивно изучал, — то можно будет вычислить спектральный зазор этой поверхности. Монку и Анантараману нужно было показать, что почти все гиперболические поверхности имеют спектральный зазор, равный 1/4. То есть вероятность выбора поверхности с оптимальным спектральным зазором будет приближаться к 100% по мере увеличения числа отверстий на поверхности.

Начали с формулы подсчета геодезических линий, которую Мирзахани разработала во время своей работы над докторской диссертацией. Проблема заключалась в том, что эта формула недооценивает количество геодезических линий. Она подсчитывает большинство из них, но не все — она пропускает более сложные геодезические линии, которые пересекаются сами с собой, прежде чем вернуться в исходное положение, например, восьмерка, окружающая два отверстия.

Но, используя ограниченную формулу Мирзахани, Монк и Анантараман нашли способ доказать наличие относительно большого спектрального зазора. «Это выглядело почти как чудо», — сказал Анантараман. «Для меня до сих пор остается загадкой, почему это так хорошо работает».

А что если бы она и Монк смогли усовершенствовать формулу Мирзахани, чтобы подсчитать и более сложные геодезические? Возможно, им удалось бы добиться достаточной точности подсчета, чтобы перевести его в спектральный зазор в 1/4, чего до них тоже надеялись добиться математики.

Анантараман внезапно вспомнила электронное письмо, которое она получила от Мирзахани всего за пару лет до своей смерти, в котором задавался ряд вопросов о связи между спектральным зазором и подсчетом геодезических линий. «В то время я действительно не понимала, зачем она задавала все эти вопросы», — сказала Анантараман. Но теперь она задавалась вопросом, не планировала ли Мирзахани применить аналогичный подход.

В аспирантуре Монк посвятила часть времени поиску способов расширения формулы Мирзахани на более сложные геодезические линии. При этом она также написала длинные, подробные описания ключевых концепций, которые Мирзахани не полностью объяснила в своих первоначальных работах. «Мне кажется, некоторые из её идей были просто выложены на стол, чтобы кто-то другой объяснил их научному сообществу, потому что у неё самой не было возможности это сделать», — сказала она.

К 2021 году Монк выяснила, как подсчитать всевозможные геодезические линии, которые ранее были недоступны. Она и Анантараман знали, что, проведя дополнительную работу, они, вероятно, смогут использовать свою новую формулу для получения более точной оценки спектрального зазора. Но вместо того, чтобы публиковать частичный результат, они были полны решимости достичь полной цели в 1/4.

Затем они застряли.

Переосмысление Тома

Один особенно сложный тип геодезических линий постоянно мешал им. Эти геодезические линии долгое время извивались вокруг одного и того же участка поверхности, образуя запутанные клубки. Клубки появлялись лишь на небольшом количестве таких сложных поверхностей, но когда это происходило, их было очень много. Если бы Монк и Анантараман включили их в свой общий подсчет, это исказило бы вычисления, необходимые для преобразования количества в спектральный зазор, — в результате они получили бы значение меньше 1/4.

Ситуация казалась безнадежной, сказал Монк.

Ее уныние усилилось, когда две независимые команды опубликовали статьи с разницей в пару месяцев, в которых доказали незначительную разницу в 3/16. Эта новость не обеспокоила Анантараман; ее волновало лишь достижение 1/4. «Когда я начинаю работать над чем-то, я как бы влюбляюсь в далекую цель», — сказала она, — по-видимому, эту черту она разделяла с Мирзахани.

Но Монк, которая все еще училась на последнем курсе аспирантуры и нуждалась в результате, который позволил бы ей завершить диссертацию, задавалась вопросом, не стоило ли им довольствоваться меньшим. «Я была немного разочарована тем, что мы не подумали об этом», — сказала она.

Алекс Райт, который был в одной из команд, добившихся результата 3/16, понимал ее точку зрения. «Для аспиранта довольно необычно работать над такой амбициозной задачей», — сказал он. И, похоже, никто не собирался найти способ достичь результата 1/4.

Но у Анантарамана возникла идея: обратиться за вдохновением к другой области математики, называемой теорией графов. Напомним, что Анантараман и Монк пытались показать, что большинство гиперболических поверхностей максимально связны. Двадцать лет назад математик Джоэл Фридман доказал, что большинство графов — совокупностей вершин и ребер, встречающихся во всей математике, — обладают этим свойством.

Однако результат Фридмана было непросто интерпретировать. «Это печально известный сложный результат с очень длинным доказательством, которое не поддавалось упрощению», — сказал Райт.

Анантараман пыталась прочитать доказательство Фридмана, когда они с Монком начинали свой проект. Но, как и многие другие математики, она сочла его непонятным. «В то время я совершенно ничего в нем не понимала», — сказала она. Теперь она вернулась к нему в поисках новых подсказок.

Она их нашла. Некоторые этапы доказательства показались ей знакомыми, словно это был графотеоретический аналог того, что она и Монк пытались сделать со своими гиперболическими поверхностями. На самом деле, она поняла, Фридман столкнулся со сложными путями между вершинами в своих графах, которые, подобно ее запутанным геодезическим, мешали ему получить наилучшую оценку спектрального зазора. Но каким-то образом он нашел способ справиться с этими путями, и Анантараман никак не могла понять, как.

В мае 2022 года она и Монк организовали мастер-класс и пригласили Фридмана рассказать о своей работе. «Им действительно нужна была методика, которая была бы глубоко заложена в основе моего доказательства», — сказал он.

По сути, он нашел способ доказать, что может полностью исключить из своих вычислений графики с проблемными путями. После разговора с Фридманом Монк и Анантараман поняли, что могут сделать то же самое. Предстояло еще много работы: было бы сложно адаптировать метод Фридмана для гиперболических поверхностей. Но их сомнения развеялись. «Это было очень захватывающе, — сказал Монк. — На этом этапе стало совершенно ясно, что мы можем завершить работу».

Растущее наследие

В начале 2023 года два математика написали статью, в которой изложили свои достижения на тот момент. В ней они доказали рекордный спектральный зазор в 2/9. «Это показалось мне очень хорошим промежуточным шагом», — сказал Монк.

В следующем году они адаптировали методы Фридмана и разработали план их использования для получения значения 1/4. В прошлом месяце они наконец завершили доказательство, показав, что случайно выбранная гиперболическая поверхность, вероятно, будет иметь максимальный спектральный зазор. Этот результат дает математикам больше информации о гиперболических поверхностях, чем они когда-либо знали. Другие исследователи теперь надеются использовать методы этой пары для ответа на другие важные вопросы, в том числе вопрос о важных поверхностях в теории чисел и динамике.

«Такая работа мгновенно порождает лавину взаимосвязанных результатов», — сказал Антон Зорич, математик из Института математики Жюссье в Париже.

Это также позволило Монк и Анантараману глубоко ознакомиться с исследованиями Мирзахани. Хотя Монк до сих пор не смотрела ни одной из записанных лекций Мирзахани и не слышала её голоса — предпочитая, чтобы она оставалась «немного загадкой в моём сознании», — она чувствует, что знает Мирзахани благодаря её корректурам. «Когда вы внимательно читаете работы кого-то, вы в конечном итоге понимаете вещи, выходящие за рамки простого содержания работы, то, как он мыслил», — сказала Монк.

Для неё большая честь продолжить наследие Мирзахани, и математики с нетерпением ждут, что это наследие принесёт в будущем.

«Мне жаль, что она не сможет этого увидеть», — сказал Райт о своем бывшем наставнике.

Зорич согласился. «Она должна была быть там, чтобы оценить это по достоинству, — сказал он. — Я не сомневаюсь, что она была бы чрезвычайно счастлива».

Уточнение: 3 марта 2025 г.
В эту статью внесены изменения, чтобы уточнить, что одна из других женщин, обучавшихся в магистратуре у Монка, в итоге получила докторскую степень.

Исправление: 3 марта 2025 г.
Основное место работы Налини Анантараман — Коллеж де Франс.

Источник: www.quantamagazine.org