Бритта Шпет посвятила свою карьеру доказательству одной-единственной центральной гипотезы. Наконец, вместе со своим партнёром Марком Кабанесом, она добилась успеха. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Введение
В 2003 году немецкая аспирантка Бритта Шпет столкнулась с гипотезой Маккея, одной из крупнейших открытых проблем в области математики, известной как теория групп. Поначалу её цели были относительно скромными: она надеялась доказать одну-две теоремы, которые позволили бы ей продвинуться в решении этой проблемы, как это делали многие другие математики до неё. Но с годами она снова и снова возвращалась к ней. Всякий раз, когда она пыталась сосредоточиться на чём-то другом, она говорила, что «это не получалось».
Существовал риск, что столь целенаправленное стремление к решению столь сложной задачи может навредить её академической карьере, но Шпет всё равно посвятила ей всё своё время. Это привело её в офис Марка Кабанеса, математика, ныне работающего в Институте математики Жюсьё в Париже. Вдохновлённый её усилиями, он тоже увлекся этой гипотезой. Работая вместе, они влюбились друг в друга и в итоге создали семью.
Проблема, которая их поглотила, берет ключевую тему в математике и превращает ее в конкретный инструмент для теоретиков групп. Математика полна чрезвычайно сложных абстрактных объектов, которые невозможно изучить целиком. Но часто, как обнаружили математики, достаточно взглянуть на небольшой фрагмент такого объекта, чтобы понять его более широкие свойства. Например, в третьем веке до нашей эры древнегреческий математик Эратосфен оценил окружность Земли — примерно 25 000 миль — измерив тени, отбрасываемые солнцем всего в двух городах, расположенных примерно в 500 милях друг от друга. Аналогично, когда математики хотят понять невероятно запутанную функцию, им может потребоваться лишь посмотреть, как она ведет себя для небольшого подмножества возможных входных данных. Этого может быть достаточно, чтобы понять, что функция делает для всех возможных входных данных.
Гипотеза Маккея — ещё один пример этого принципа. Она гласит, что если вы хотите сформулировать полное описание группы — важной математической сущности, изучение которой может оказаться невероятно сложным, — вам достаточно взглянуть лишь на её крошечную часть.
Работая вместе над гипотезой Маккея, Бритта Шпет и Марк Кабанес влюбились и создали семью.
После того, как гипотеза была выдвинута в 1970-х годах, десятки математиков пытались доказать её. Они добились частичного прогресса и в процессе этого многое узнали о группах – абстрактных объектах, описывающих различные симметрии математической системы. Но полное доказательство казалось недостижимым.
Затем появилась Шпет. Спустя 20 лет после того, как она впервые узнала об этой задаче, и более чем через десять лет после встречи с Кабанесом, два математика наконец завершили доказательство.
Когда пара объявила результат, их коллеги были в восторге. «Я хотела, чтобы были парады», — сказала Перси Диаконис из Стэнфордского университета. «Годы упорной, упорной, упорной работы, и она это сделала, они это сделали».
Сила простых чисел
Гипотеза Маккея началась с наблюдения странного совпадения.
Джон Маккей, которого один из друзей описывал как «блестящего, мягко говорящего и очаровательно неорганизованного человека», был известен своей способностью замечать числовые закономерности в самых неожиданных местах. Этот математик из Университета Конкордия, пожалуй, наиболее известен своей гипотезой о «чудовищном лунном свете», которая была доказана в 1992 году и установила глубокую связь между так называемой группой-монстром и специальной функцией из теории чисел.
До своей смерти несколько лет назад Маккей раскрыл множество других важных связей, многие из которых связаны с группами. Группа — это набор элементов, объединённых с правилом, определяющим, как эти элементы соотносятся друг с другом. Её можно рассматривать как совокупность симметрий — преобразований, которые оставляют форму, функцию или другой математический объект неизменным определённым образом. Несмотря на всю свою абстрактность, группы чрезвычайно полезны и играют центральную роль в математике.
В 1972 году Маккей сосредоточился на конечных группах — группах с конечным числом элементов. Он заметил, что во многих случаях важную информацию о конечной группе можно получить, рассмотрев очень небольшое подмножество её элементов. В частности, Маккей исследовал элементы, образующие особую, меньшую группу — называемую силовским нормализатором — внутри исходной группы.
Представьте, что у вас есть группа из 72 элементов. Одно это вам мало что говорит: существует 50 различных групп такого размера. Но 72 также можно записать в виде произведения простых чисел, 2 $latex times$ 2 $latex times$ 2 $latex times$ 3 $latex times$ 3 — то есть, как 23 $latex times$ 32. (Обычно, чем больше различных простых чисел вам нужно для описания размера вашей группы, тем сложнее ваша группа.) Вы можете разложить вашу группу на меньшие подгруппы на основе этих простых чисел. В этом случае, например, вы можете рассмотреть подгруппы с восемью (23) элементами и подгруппы с девятью (32) элементами. Изучая эти подгруппы, вы можете узнать больше о структуре вашей общей группы — из каких еще строительных блоков она состоит, например.
Теперь возьмём одну из этих подгрупп и добавим к ней несколько конкретных элементов, чтобы создать специальную подгруппу — силовский нормализатор. В вашей группе из 72 элементов вы можете построить отдельный силовский нормализатор для каждой подгруппы из восьми и девяти элементов — это будут 2-силовский нормализатор и 3-силовский нормализатор соответственно.
Нормализаторы Силова, как и подгруппы, из которых они построены, могут многое рассказать математикам об исходной группе. Но Маккей выдвинул гипотезу, что эта связь гораздо сильнее, чем кто-либо предполагал. Дело не только в том, что нормализатор Силова может дать представление об общей структуре конечной группы. Он утверждал, что если математики хотят вычислить ключевую величину, которая поможет им охарактеризовать свою группу, им достаточно будет взглянуть на один из определённого набора нормализаторов Силова: нормализатор Силова будет характеризоваться точно таким же числом.
Эта величина подсчитывает количество «представлений» определённого типа — способов переписать элементы группы с помощью числовых массивов, называемых матрицами. Такой подсчёт может показаться произвольным, но он даёт математикам представление о том, как элементы группы соотносятся друг с другом, и участвует в расчётах других важных свойств.
Казалось, не было веских причин, по которым величина Маккея всегда должна быть одинаковой для конечной группы и её силовских нормализаторов. Силовской нормализатор может содержать лишь долю доли процента от числа элементов в большей группе. Более того, силовские нормализаторы часто имеют совершенно иную структуру.
Это как если бы «на каждых выборах в США голоса подсчитывались в целом, и в этом маленьком городке в Монтане они были бы абсолютно одинаковыми пропорционально», — сказал Габриэль Наварро из Университета Валенсии. «Не похожи, не больше и не меньше. Абсолютно одинаковы».
Но именно это и предполагал Маккей — для всех конечных групп. Если это правда, это значительно облегчило бы жизнь математиков: с силовскими нормализаторами гораздо проще работать, чем с их родительскими группами. Это также намекнуло бы на существование более глубокой математической истины, которую математики пока не постигли.
Через год после того, как Маккей впервые заметил это совпадение, математик Марти Айзекс доказал, что оно справедливо для большого класса групп. Но затем математики зашли в тупик. Им удалось показать, что оно справедливо для той или иной конкретной группы, но оставалось ещё бесконечно много групп, которые нужно было исследовать.
Доказательство всей гипотезы казалось невыносимо сложным. Как оказалось, следующий крупный шаг в решении этой проблемы потребовал бы завершения одного из самых грандиозных математических проектов в истории.
Один гигантский скачок для теории групп, один маленький шаг для Маккея
Проект — попытка классифицировать все строительные блоки конечных групп — в конечном итоге потребовал тысячи доказательств и занял более 100 лет. Но в 2004 году математикам наконец удалось показать, что все строительные блоки должны относиться к одной из трёх категорий или же принадлежать к списку из 26 исключений.
Математики давно подозревали, что эта классификация, будучи завершенной, поможет упростить такие проблемы, как гипотеза Маккея. Возможно, им не нужно было доказывать эту гипотезу для всех конечных групп. Возможно, им достаточно было доказать альтернативное утверждение, охватывающее 29 типов строительных блоков — или для какого-то связанного набора простых групп — которое автоматически влекло бы за собой полную гипотезу Маккея.
Но сначала кто-то должен был доказать, что эта стратегия действительно работает. В том же году, когда классификация была официально завершена, Айзекс, Наварро и Гюнтер Малле нашли правильный способ переформулировать гипотезу Маккея, чтобы им оставалось сосредоточиться только на узком наборе групп.
Для каждой группы в этом новом наборе им нужно было бы предъявить нечто более сильное, чем то, что предложил Маккей: не только количество представлений должно быть одинаковым как для группы, так и для нормализатора Силова, но и эти представления должны были бы соотноситься друг с другом по определённым правилам. Айзекс, Наварро и Малле показали, что если это более сильное утверждение верно для этих конкретных групп, то гипотеза Маккея должна быть верна для каждой конечной группы. («Это было во время Евро-2004», — вспоминал Наварро. Его соавторы «не знали, что я иногда тайком сбегаю посмотреть некоторые матчи. Но важные вещи есть важные вещи»).
Габриэль Наварро и двое его коллег превратили одну из крупнейших открытых гипотез теории групп в разрешимую задачу.
Переформулировка задачи, предложенная этим трио, стала крупным прорывом. В течение нескольких лет математики использовали её для решения большинства случаев, связанных с гипотезой Маккея. Более того, она помогла им упростить смежные вопросы, которые также предполагали использование одной части объекта для изучения целого. «Теперь, используя это как образец, мы отбросили множество гипотез», — сказала Мэнди Шеффер Фрай, математик из Денверского университета.
Однако существовал один класс групп — «группы типа Ли», для которых новая версия гипотезы Маккея оставалась открытой. Представления этих групп были особенно трудны для изучения, и было непросто доказать, что отношения между ними удовлетворяют условиям, сформулированным Айзексом, Наварро и Маллем.
Но этим делом занималась одна из аспиранток Малле, Бритта Шпет.
«Наша одержимость»
В 2003 году Шпет поступила в Кассельский университет, чтобы начать докторскую работу под руководством Малле. Она была практически идеальной кандидатурой для работы над гипотезой Маккея: даже в старших классах школы она могла потратить дни и недели на одну задачу. Ей особенно нравились задачи, которые испытывали её выносливость, и она с теплотой вспоминает долгие часы, проведённые в поисках «хитростей, которые, в каком-то смысле, даже не так уж и сложны».
Шпет посвятила всё своё время изучению групповых представлений настолько глубоко, насколько это было возможно. После получения степени магистра она решила использовать эти знания, чтобы продолжить работу над гипотезой Маккея. «У неё просто невероятная, очень сильная интуиция», — сказал её друг и коллега Шеффер Фрай. «Она способна предвидеть, что всё будет именно так».
Несколько лет спустя, в 2010 году, Шпет начала работать в Университете Париж-Сите, где познакомилась с Кабанесом. Он был экспертом по более узкому набору групп, лежавших в основе переформулированной версии гипотезы Маккея, и Шпет часто заходила к нему в кабинет, чтобы задать вопросы. Кабанес «всегда возражал: „Боже мой, эти группы такие сложные!“», — вспоминал он. Несмотря на первоначальные сомнения, он тоже в конце концов увлёкся этой проблемой. Она стала «нашей навязчивой идеей», — сказал он.
Существует четыре категории групп лиева типа. Шпет и Кабанес совместно начали доказывать гипотезу для каждой из этих категорий и в течение следующего десятилетия сообщили о нескольких важных результатах.
Их работа привела их к глубокому пониманию групп типа Ли. Хотя эти группы являются наиболее распространёнными строительными блоками других групп и, следовательно, представляют большой математический интерес, их представления невероятно сложно изучать. Кабанесу и Шпету часто приходилось полагаться на непрозрачные теории из разных областей математики. Но, изучая эти теории, они дали одни из лучших на сегодняшний день описаний этих важных групп.
В это же время они начали встречаться и у них родилось двое детей. (В конце концов они обосновались в Германии, где им нравится работать вместе за одной из трёх досок в их доме.)
К 2018 году у них осталась только одна категория групп типа Ли. Если бы это было сделано, гипотеза Маккея была бы доказана.
На это последнее дело у них ушло еще шесть лет.
«Выдающееся достижение»
Группа Ли четвёртого типа «столкнулась со множеством трудностей и неприятных сюрпризов», – сказала Шпет. (К тому же, в 2020 году пандемия не позволила двум их маленьким детям ходить в школу, что затрудняло их работу.) Но постепенно ей и Кабанесу удалось показать, что количество представлений для этих групп совпадает с количеством представлений для их силовских нормализаторов, и что способ соответствия этих представлений удовлетворяет необходимым правилам. Последний случай был рассмотрен. Из этого автоматически следовало, что гипотеза Маккея верна.
В октябре 2023 года они наконец почувствовали себя достаточно уверенно в своём доказательстве, чтобы представить его более чем ста математикам. Год спустя они опубликовали его в интернете, чтобы всё сообщество могло с ним ознакомиться. «Это совершенно выдающееся достижение», — сказала Радха Кессар из Манчестерского университета.
Математики теперь могут уверенно изучать важные свойства групп, рассматривая только их силовские нормализаторы — гораздо более простой подход к пониманию этих абстрактных сущностей, который может иметь практическое применение. И, по словам Наварро, в процессе установления этой связи исследователи разработали «прекрасную, замечательную и глубокую математику».
Другие математики теперь надеются исследовать ещё более глубокую концептуальную причину, по которой странное совпадение, обнаруженное Маккеем, является истинным. Хотя Шпет и Кабанес доказали это, математики до сих пор не понимают, почему сравнительно крошечного множества достаточно, чтобы так много рассказать о его более крупной родительской группе.
«Должна быть какая-то структурная причина, почему эти цифры одинаковы», — сказал Кессар.
Некоторые математики провели предварительную работу, пытаясь понять эту связь, но пока она остается загадкой.
Шпет и Кабанес двигаются дальше, каждый в поисках новой страсти. Пока что, по словам Шпет, ничто не поглощало её так, как гипотеза Маккея. «Если ты совершила одно большое дело, то трудно найти в себе смелость и энтузиазм для следующего», — сказала она. «Иногда это было настоящей борьбой. И это также придавало тебе смысл жизни каждый день».
Источник: www.quantamagazine.org
