Математика, лежащая в основе даже самых простых океанских волн, печально известна своей непоследовательностью. Группа итальянских математиков добилась значительных успехов в её понимании.
Иллюстрация: Кристина Армитидж/Журнал Quanta; Сомаварапу Мадхави/ShutterstockСохранить эту историю Сохранить эту историю
Оригинальная версия этой истории была опубликована в журнале Quanta Magazine.
По словам Альберто Масперо, главным преимуществом его работы является вид из окна. Его офис в Международной школе передовых исследований, расположенный на холме над древним портовым городом Триест в Италии, выходит на широкий залив на северной оконечности Адриатического моря. «Это очень вдохновляет», — сказал математик. «Безусловно, это самый красивый вид, который я когда-либо видел».
Итальянцы называют Триест «городом бора» (la città della bora), в честь знаменитого ветра «бора», который хаотично дует с Альп и проносится над городом. Когда бора достаточно сильна, она гонит волны вспять. Вместо того чтобы разбиваться о причалы, они устремляются прочь от города, в открытое море.
Но они так туда и не добираются. Наблюдая из окна в эти порывистые дни, Масперо видит, как отступающие волны медленно рассеиваются, выходя из порта, и в конце концов уступают место спокойной, безмятежной поверхности.
Уравнения, которые математики используют для изучения течения воды и других жидкостей, впервые записанные Леонардом Эйлером почти 300 лет назад, выглядят достаточно простыми. Если знать местоположение и скорость каждой капли воды и упростить расчёты, предположив отсутствие внутреннего трения или вязкости, то решение уравнений Эйлера позволит предсказать, как будет меняться вода в течение любого периода времени. Разнообразие явлений, которые мы наблюдаем в Мировом океане — цунами, водовороты, рикошеты — всё это решения уравнений Эйлера.
Но эти уравнения обычно невозможно решить. Даже одно из самых простых и распространённых решений — описывающее последовательность плавно катящихся волн — представляет собой математический кошмар для извлечения из уравнений Эйлера. Ещё около 30 лет назад большая часть наших знаний об этих волнах основывалась лишь на смеси реальных наблюдений и догадок. По большей части доказательства казались фантастикой.
«До того, как я начал изучать математику, я считал, что волны на воде — это нечто вполне понятное и не представляющее никакой проблемы», — сказал Паоло Вентура, научный сотрудник Швейцарского федерального технологического института в Лозанне и бывший аспирант Масперо. «Но на самом деле они просто странные».
Альберто Масперо (справа) и Массимилиано Берти в Триесте, Италия, где они изучают математические основы теории океанских волн. Их группа недавно возглавила попытку доказать важные гипотезы в этой области.
Фотография: Федерико МургантеОдно странное явление, десятилетиями озадачивавшее математиков, заключается в том, что даже при минимальном трении эта устойчивая череда плавно катящихся волн в конечном итоге распадается и становится нерегулярной. Математики не ожидали увидеть столь неустойчивое поведение, возникающее из столь простой отправной точки. Они хотели это доказать — показать, что неустойчивости естественным образом возникают из уравнений Эйлера. Но они не могли понять, как это сделать.
Теперь Масперо и Вентура, совместно со своими коллегами из Триеста Массимилиано Берти и Ливией Корси из Университета Рома Тре, наконец представили такое доказательство, показывающее, когда именно эти неустойчивости возникают, а когда нет. Этот результат – лишь последний шаг в эпоху возрождения, которая начинает преобразовывать наше математическое понимание земных волн. Математики используют новые вычислительные инструменты для формулирования гипотез о поведении волн. И сейчас они разрабатывают сложные методы ручного и бумажного доказательства этих гипотез.
«Это не что-то конкретное. Это целая волна новых видов анализа в разных направлениях», — сказал Уолтер Штраус, математик из Университета Брауна. «Я очень впечатлён».
Медленный прилив
Древние греки часто сравнивали неровный удар волн о берег со смехом. Учитывая, насколько эти волны ускользали от человеческого понимания, возможно, они были правы: океан всё это время смеялся над нами.
Даже в эпоху расцвета Просвещения, в конце XVII – начале XVIII веков, когда волны занимали значительную часть научного дискурса, последнее слово, казалось, всегда оставалось за океаном. Многие учёные измерили скорость звуковых волн, а Ньютон и его оппоненты вели спор о волновой природе света. Однако древнейшие волны, известные человечеству, оставались математической загадкой.
Потребовалось более века, чтобы ситуация начала меняться. В начале XIX века сэр Джордж Стокс увлёкся океанскими волнами, когда, будучи ещё мальчишкой, плавал недалеко от своего дома в Слайго, Ирландия, и огромная волна чуть не утащила его в море. В 1847 году он опубликовал монументальный трактат на эту тему. Он взял уравнения Эйлера для жидкости без вязкости и добавил математическое условие, согласно которому её верхняя поверхность должна быть совершенно «свободной» — то есть принимать любую форму.
Океанские волны могут образовывать сложные узоры, которые практически невозможно изучать математически. «Прямоугольные волны», подобные показанным выше, образуются при столкновении двух различных волновых систем.
Фотография: Мишель Гриффон.«Они выглядят неплохо», — сказал Штраус о полученных уравнениях. «Но просто взгляните на озеро, на котором дует небольшой ветер. Вы увидите все эти сложные формы, вроде белых гребней и набегающих волн, некоторые из которых параллельны друг другу, а некоторые — нет».
Каждая из этих различных форм, если рассматривать её как решение уравнений Эйлера, математически различима и крайне громоздка. Стоит лишь немного изменить начальное состояние жидкости, и она может развиваться совершенно иначе: неровности и завихрения могут превратиться в волны-убийцы и цунами.
До того, как я начал изучать математику, я считал, что волны на воде — это что-то вполне понятное и не представляющее никакой проблемы.
Паоло Вентура, Швейцарский федеральный технологический институт Лозанны
Именно эти свободные, движущиеся поверхности Стокс и хотел изучать. Но задача была колоссальной. Описать движение воды, заключённой в контейнер или текущей по трубе, и так уже сложно. Но, по крайней мере, вы знаете, где находятся границы системы — вода не может выйти за их пределы. Если же нет никаких ограничений, кроме силы тяжести, на высоту, на которую может подняться вода и какую форму она может принять, математические расчёты становятся гораздо сложнее.
«Если я пойду на пляж в семь утра, там будет очень спокойно, — сказал Корси. — Но если внимательно посмотреть на поверхность и на то, как она движется, то там полный бардак».
Тем не менее, Стокс смог предложить одно решение: на поверхности воды могут образовываться равномерно распределенные волны, распространяющиеся в одном направлении.
В 1920-х годах математики доказали гипотезу Стокса. Более того, они обнаружили, что при отсутствии внешних возмущений эти решения уравнений Эйлера сохраняются вечно: однажды образовавшись, так называемые волны Стокса будут продолжать беспрерывно скользить по поверхности воды, сохраняя свою форму.
Паоло Вентура недавно помог доказать важный результат о том, когда определённый тип волны сохраняется, а когда нет под воздействием возмущений.
Фотография: Ален Херцог/EPFLНо что, если кильватер проходящего судна пересечёт путь волн? Поглотят ли волны это возмущение и сохранят свою форму, или же они будут разрушены навсегда, превратившись в совершенно иной рисунок волн?
Десятилетиями математики предполагали, что волны Стокса стабильны, то есть любое небольшое искажение будет иметь минимальный эффект. В конце концов, реальный мир полон подобных сложностей, но моря кишат волнами Стокса. Если бы они распадались от малейшего толчка, они бы не продержались достаточно долго, чтобы добраться до берега.
Тем не менее, в 1967 году математик Т. Брук Бенджамин решил проверить это базовое предположение. Он поручил своему ученику Джиму Фейру провести серию экспериментов в волновом бассейне — узком прямоугольном бассейне с колеблющимся рулём на одном конце, который мог генерировать волны Стокса. Но Фейру не удалось добиться того, чтобы волны достигли другого конца бассейна. Сначала он подумал, что проблема в экспериментальной установке. Но вскоре стало очевидно, что волны, как ни странно, нестабильны.
В 1995 году математики наконец доказали, что подобные «неустойчивости Бенджамина — Фейра» являются неизбежным следствием уравнений Эйлера. Однако эта работа заставила исследователей задуматься о природе этих неустойчивостей. Какие виды возмущений могут уничтожить волны, а какие — нет? Насколько быстро разрастаются неустойчивости? Может ли порыв ветра в центре Тихого океана вызвать цуг волн, обрушившийся на пляж Малибу через несколько недель, или же он разрушится, не достигнув берега?
Странные архипелаги
Масперо никогда не задумывался, почему волны, выходящие из залива Триеста, затихают. В конечном счёте, его вдохновил компьютер, а не вид за окном.
На семинаре 2019 года по математике волн он и его коллеги встретились с Бернардом Деконинком, прикладным математиком из Вашингтонского университета, который вместе с Кэти Оливерас из Сиэтлского университета изучал все различные виды нестабильности, способные разрушить волны Стокса. Несколькими годами ранее они заметили поразительную закономерность и не могли перестать думать о ней.
Когда идеальная последовательность волн Стокса сталкивается с возмущением, искажающим её форму, иногда воздействие возмущения настолько усиливается, что разрушает всю последовательность, а иногда оно практически не влияет на неё. Результат зависит от частоты возмущения — от того, насколько сильно оно колеблется по сравнению с длиной исходной волны. Каяк, создающий след, состоящий из коротких, частых колебаний, создаст более высокочастотное воздействие, чем массивный океанский лайнер, который производит более продолжительные и медленные колебания.
Ливию Корси восхищает непредсказуемая, непредсказуемая природа океана и математика, которая им управляет.
Фотография: Микела ПрочезиВ целом, математики ожидают, что волны будут легче восстанавливаться после высокочастотных возмущений, таких как от каяка, поскольку их воздействие ограничено небольшой областью проходящей волны в любой момент времени. С другой стороны, кильватерная струя океанского лайнера может одновременно воздействовать на всю волну, необратимо разрушая её. Неустойчивость Бенджамина-Фейра вызывается низкочастотными возмущениями.
В 2011 году Деконинк и Оливерас моделировали различные возмущения с всё более высокими частотами и наблюдали за тем, что происходит с волнами Стокса. Как они и ожидали, при возмущениях выше определённой частоты волны сохранялись.
Но по мере того, как пара продолжала настраивать частоту, они внезапно снова начали видеть разрушения. Сначала Оливерас опасалась, что в компьютерной программе закралась ошибка. «В глубине души я думала: это не может быть правдой», — сказала она. «Но чем больше я копала, тем сильнее это чувство сохранялось».
Фактически, по мере увеличения частоты возмущения наблюдалась чередующаяся картина. Сначала возникал интервал частот, где волны становились нестабильными. За ним следовал интервал стабильности, за которым следовал ещё один интервал нестабильных колебаний, и так далее.
Деконинк и Оливерас опубликовали своё открытие как контринтуитивную гипотезу: этот архипелаг нестабильностей простирается до бесконечности. Все нестабильные интервалы они назвали «isole» — итальянское слово, означающее «острова».
Это было странно. У них не было объяснения, почему нестабильности возникали снова, не говоря уже о бесконечном количестве раз. Они хотели хотя бы получить доказательство того, что их поразительное наблюдение было верным.
Бернард Деконинк и Кэти Оливерас обнаружили странную закономерность в вычислительных исследованиях волновой устойчивости.
Фотография предоставлена Бернардом Деконинком.
Фотография: предоставлена Кэти ОливерасГодами никто не мог добиться прогресса. Затем, на семинаре 2019 года, Деконинк обратился к Масперо и его команде. Он знал, что у них большой опыт изучения математики волновых явлений в квантовой физике. Возможно, им удастся найти способ доказать, что эти поразительные закономерности возникают из уравнений Эйлера.
Итальянская группа немедленно приступила к работе. Они начали с самого низкого набора частот, который, по-видимому, приводил к затуханию волн. Сначала они применили физические методы, чтобы представить каждую из этих низкочастотных нестабильностей в виде массивов, или матриц, из 16 чисел. Эти числа кодировали, как неустойчивость будет нарастать и искажать волны Стокса с течением времени. Математики поняли, что если одно из чисел в матрице всегда равно нулю, неустойчивость не будет нарастать, и волны будут существовать. Если же число положительное, неустойчивость будет нарастать и в конечном итоге разрушать волны.
Часть меня думала: «Это не может быть правдой». Но чем больше я копал, тем сильнее это не давало мне покоя.
Кэти Оливерас, Сиэтлский университет
Чтобы показать, что это число положительно для первой группы неустойчивостей, математикам пришлось вычислить гигантскую сумму. На решение этой задачи ушло 45 страниц и почти год работы. Сделав это, они обратили внимание на бесконечное множество интервалов высокочастотных возмущений, подавляющих волны, — изолей.
Сначала они вывели общую формулу — ещё одну сложную сумму, — которая давала им необходимое число для каждого изоля. Затем они использовали компьютерную программу для решения формулы для первого 21 изоля. (После этого вычисления стали слишком сложными для компьютера.) Все числа, как и ожидалось, оказались положительными, и, похоже, они также следовали простой закономерности, которая подразумевала, что они будут положительными и для всех остальных изолей.
Но закономерность — это ещё не доказательство, и Масперо с коллегами не знали, как действовать дальше. Поэтому они обратились за помощью к мировому сообществу компьютерных экспертов.
Прорыв дамбы
Масперо просматривал математическую литературу в поисках чего-либо, что могло бы ему помочь. Проблема, как он решил, заключалась в том, что ему нужно было как-то упростить вычисления, которые ему предстояло выполнять. Он нашёл книгу, в которой Дорон Зейлбергер, математик из Ратгерского университета, изложил алгоритмические подходы к выполнению сложных алгебраических вычислений на компьютере. Не имея возможности адаптировать их к своему случаю, Масперо обратился к Зейлбергеру напрямую.
«Недавно мы столкнулись с некоторыми комбинаторными проблемами, которые не можем решить», — начиналось его письмо Зейлбергеру. «Мы хотели бы узнать, сможете ли вы нам помочь».
Зейльбергер был заинтригован. «Этот вопрос был как раз по моей части», — сказал он. Приложив некоторые усилия, он смог заставить свой компьютер, который он называет Шалош Б. Эхад (и который указан как соавтор во всех его работах), вычислить суммы для первых 2000 изолей, убедившись, что все результаты положительны и соответствуют закономерности, выявленной итальянской группой. Затем он обратился за помощью к своей сети энтузиастов компьютерной алгебры, предложив пожертвовать 100 долларов в онлайн-энциклопедию целочисленных последовательностей от имени того, кто сможет доказать, что эта закономерность сохраняется вечно.
В феврале 2024 года Зейлбергер расплатился. После продолжительной переписки по электронной почте с двумя своими постоянными коллегами он представил исчерпывающее доказательство того, что эти суммы никогда не будут равны нулю.
Деконинк и Оливерас оказались правы: их изоли были реальны. Результат означает, что математики наконец-то точно знают, какие типы возмущений уничтожат волну Стокса, а какие — нет, — и они надеялись понять это на протяжении двух столетий.
«Это просто, черт возьми, спасибо», — сказал Оливерас.
Это также добавляет работы математикам. Почему волны живут и умирают в таком чередующемся режиме? «Хорошо, эти отдельные частицы были реальны, — сказала она. — Теперь нам нужно обратить на них внимание».
Этот результат – лишь последний из недавней серии статей, призванных пролить свет на математические основы волн на воде. Математики объединяют достижения вычислительных и теоретических методов для лучшего понимания решений уравнений Эйлера, что позволяет им доказывать всё больше гипотез о поведении волн. Масперо и его коллеги надеются, что их методы теперь можно будет использовать для решения других задач в этой области.
Что касается волн, вызванных борой, за окном офиса Масперо и их последующего перехода в гладкую воду, то сейчас он не может точно сказать, объясняют ли расчёты его команды этот феномен. «Не знаю, есть ли связь, — сказал он. — Но мне нравится думать, что это одна и та же неустойчивость».
Оригинальная статья перепечатана с разрешения журнала Quanta Magazine, редакционно-независимого издания Фонда Саймонса, миссия которого заключается в повышении уровня понимания науки среди общественности путем освещения научных разработок и тенденций в области математики, физических и биологических наук.
Источник: www.wired.com
