В течение 50 лет математики считали, что общее количество действительных чисел непознаваемо. Новое доказательство предполагает обратное. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
Существует бесконечное количество бесконечностей. Какая из них соответствует действительным числам?
Введение
В октябре 2018 года Дэвид Асперо был на отдыхе в Италии, глядя в окно машины, пока его девушка везла их в гостиницу типа «постель и завтрак», когда дело дошло до него: недостающий шаг того, что теперь стало новым эпохальным доказательством размеров бесконечности. «Это был этот мгновенный опыт», — сказал он.
Асперо, математик из Университета Восточной Англии в Соединенном Королевстве, связался с коллегой, с которым он долгое время работал над доказательством, Ральфом Шиндлером из Университета Мюнстера в Германии, и описал свое открытие. «Это было совершенно непостижимо для меня», — сказал Шиндлер. Но в конце концов дуэт превратил фантазм в твердую логику.
Их доказательство, появившееся в мае в Annals of Mathematics, объединяет две конкурирующие аксиомы, которые были предложены в качестве конкурирующих основ бесконечной математики. Асперо и Шиндлер показали, что одна из этих аксиом подразумевает другую, повышая вероятность того, что обе аксиомы — и все, что они подразумевают относительно бесконечности — истинны.
«Это фантастический результат», — сказал Менахем Магидор, ведущий специалист по математической логике в Еврейском университете в Иерусалиме. «Честно говоря, я сам пытался его получить».
Самое главное, что результат усиливает аргументы против гипотезы континуума, чрезвычайно влиятельной гипотезы 1878 года о слоях бесконечностей. Обе аксиомы, которые сошлись в новом доказательстве, указывают на то, что гипотеза континуума ложна, и что дополнительный размер бесконечности находится между двумя, которые 143 года назад были гипотетическими для первого и второго бесконечно больших чисел.
«Теперь у нас есть последовательная альтернатива гипотезе континуума», — сказал Илияс Фарах, математик из Йоркского университета в Торонто.
Результатом стала победа лагеря математиков, которые нутром чувствуют, что гипотеза континуума неверна. «Этот результат чрезвычайно проясняет картину», — сказала Джульетта Кеннеди, математический логик и философ из Хельсинкского университета.
Однако другой лагерь выступает за иное видение бесконечной математики, в котором верна гипотеза континуума, и битва между этими сторонами далека от завершения.
«Это удивительное время», — сказал Кеннеди. «Это одно из самых интеллектуально захватывающих, абсолютно драматичных событий, которые когда-либо происходили в истории математики, где мы сейчас находимся».
Бесконечность бесконечностей
Да, бесконечность имеет множество размеров. В 1873 году немецкий математик Георг Кантор потряс математику до глубины души, когда обнаружил, что «действительные» числа, заполняющие числовую прямую — большинство из них с бесконечными цифрами, например, 3,14159… — превосходят по численности «натуральные» числа, такие как 1, 2 и 3, хотя и тех, и других бесконечно много.
Бесконечные множества чисел мешают нашей интуиции о размере, поэтому в качестве разминки сравните натуральные числа {1, 2, 3, …} с нечетными числами {1, 3, 5, …}. Вы можете подумать, что первое множество больше, так как только половина его элементов появляется во втором множестве. Однако Кантор понял, что элементы двух множеств можно поставить в соответствие один к одному. Вы можете объединить в пары первые элементы каждого множества (1 и 1), затем объединить в пары их вторые элементы (2 и 3), затем их третьи элементы (3 и 5) и так до бесконечности, охватывая все элементы обоих множеств. В этом смысле два бесконечных множества имеют одинаковый размер, или то, что Кантор называл «мощностью». Он обозначил их размер кардинальным числом $latexboldsymbol{aleph}_{0}$ («алеф-ноль»).
Но Кантор обнаружил, что натуральные числа не могут быть поставлены в однозначное соответствие с континуумом действительных чисел. Например, попробуйте сопоставить 1 с 1,00000… и 2 с 1,00001…, и вы пропустите бесконечно много действительных чисел (вроде 1,000000001…). Вы не сможете сосчитать их все; их мощность больше, чем у натуральных чисел.
Размеры бесконечности на этом не заканчиваются. Кантор обнаружил, что множество мощности любого бесконечного множества — множество всех подмножеств его элементов — имеет большую мощность, чем оно само. Каждое множество мощности само по себе имеет множество мощности, так что кардинальные числа образуют бесконечно высокую башню бесконечностей.
Стоя у подножия этого грозного сооружения, Кантор сосредоточился на первых двух этажах. Ему удалось доказать, что множество, образованное различными способами упорядочения натуральных чисел (например, от наименьшего к наибольшему или со всеми нечетными числами первыми), имеет мощность $latexboldsymbol{aleph}_{1}$, на один уровень выше натуральных чисел. Более того, каждый из этих «типов порядка» кодирует действительное число.
Его гипотеза континуума утверждает, что это в точности размер континуума — что существует ровно $latexboldsymbol{aleph}_{1}$ действительных чисел. Другими словами, мощность континуума следует непосредственно за $latexboldsymbol{aleph}_{0}$, мощностью натуральных чисел, без каких-либо размеров бесконечности между ними.
Но, к великому огорчению Кантора, он не смог этого доказать.
В 1900 году математик Дэвид Гильберт поставил континуум-гипотезу на первое место в своем знаменитом списке 23 математических задач, которые необходимо решить в 20 веке. Гильберт был очарован зарождающейся математикой бесконечности — «раем Кантора», как он ее называл, — и континуум-гипотезой, казалось, был ее самым доступным плодом.
Напротив, шокирующие разоблачения прошлого века превратили вопрос Кантора в глубокую эпистемологическую головоломку.
Проблема возникла в 1931 году, когда австрийский логик Курт Гёдель обнаружил, что любой набор аксиом, который вы можете положить в основу математики, неизбежно будет неполным. Всегда будут вопросы, которые ваш список основных правил не сможет разрешить, истинные математические факты, которые они не смогут доказать.
Как Гёдель сразу же предположил, континуум-гипотеза является именно таким случаем: проблемой, которая не зависит от стандартных аксиом математики.
Эти аксиомы, всего 10, известны как ZFC (от «аксиомы Цермело-Френкеля с аксиомой выбора»), и они лежат в основе почти всей современной математики. Аксиомы описывают основные свойства наборов объектов или множеств. Поскольку практически все математическое может быть построено из множеств (пустое множество {} обозначает 0, например; {{}} обозначает 1; {{},{{}}} обозначает 2 и т. д.), правил множеств достаточно для построения доказательств по всей математике.
В 1940 году Гёдель показал, что нельзя использовать аксиомы ZFC для опровержения континуум-гипотезы. Затем в 1963 году американский математик Пол Коэн показал обратное — их также нельзя использовать для ее доказательства. Доказательство Коэна вместе с доказательством Гёделя означает, что континуум-гипотеза независима от аксиом ZFC; они могут иметь ее в любом случае.
В дополнение к гипотезе континуума, большинство других вопросов о бесконечных множествах также оказываются независимыми от ZFC. Эта независимость иногда интерпретируется как отсутствие ответа на эти вопросы, но большинство теоретиков множеств считают это глубоким заблуждением.
Они считают, что континуум имеет точный размер; нам просто нужны новые инструменты логики, чтобы выяснить, что это такое. Эти инструменты появятся в форме новых аксиом. «Аксиомы не решают эти проблемы», — сказал Магидор, — «поэтому мы должны расширить их до более богатой системы аксиом». Не хватает ZFC как средства для математической истины, а не самой истины.
Начиная с Коэна, теоретики множеств пытались укрепить основы бесконечной математики, добавив по крайней мере одну новую аксиому в ZFC. Эта аксиома должна пролить свет на структуру бесконечных множеств, породить естественные и красивые теоремы, избежать фатальных противоречий и, конечно же, разрешить вопрос Кантора.
Гёдель, со своей стороны, считал, что гипотеза континуума ложна — что существует больше вещественных чисел, чем предполагал Кантор. Он подозревал, что их $latexboldsymbol{aleph}_{2}$. Он предсказал, как он писал в 1947 году, «что роль проблемы континуума в теории множеств будет такой, что она в конечном итоге приведет к открытию новых аксиом, которые позволят опровергнуть гипотезу Кантора».
Источник Света
Возникли две конкурирующие аксиомы, которые делают именно это. Десятилетиями их подозревали в логической несовместимости. «Всегда было это напряжение», — сказал Шиндлер.
Чтобы понять их, нам нужно вернуться к работе Пола Коэна 1963 года, где он разработал технику, называемую форсингом. Начав с модели математической вселенной, которая включала $latexboldsymbol{aleph}_{1}$ вещественных чисел, Коэн использовал форсинг для расширения континуума, чтобы включить новые вещественные числа за пределами модели. Коэн и его современники вскоре обнаружили, что в зависимости от специфики процедуры форсинг позволяет вам добавлять столько вещественных чисел, сколько вам нужно — скажем, $latexboldsymbol{aleph}_{2}$ или $latexboldsymbol{aleph}_{35}$. Помимо новых вещественных чисел, математики обобщили метод Коэна, чтобы вызвать всевозможные другие возможные объекты, некоторые из которых логически несовместимы друг с другом. Это создало мультивселенную возможных математических вселенных.
«Его метод создает неоднозначность в нашей вселенной множеств», — сказал Хью Вудин, теоретик множеств из Гарвардского университета. «Он создает это облако виртуальных вселенных, и как мне узнать, в какой из них я нахожусь?»
Что было виртуальным, а что реальным? Какой из двух конфликтующих объектов, придуманных разными процедурами принуждения, следует разрешить? Не было ясно, когда и существует ли вообще объект, просто потому что его можно было представить с помощью метода Коэна.
Чтобы решить эту проблему, математики сформулировали различные «аксиомы принуждения» — правила, которые установили фактическое существование конкретных объектов, ставших возможными благодаря методу Коэна. «Если вы можете представить себе, что объект существует, то он существует; это руководящий интуитивный принцип, который приводит к аксиомам принуждения», — объяснил Магидор. В 1988 году Магидор, Мэтью Форман и Сахарон Шелах довели этот этос до логического завершения, сформулировав максимум Мартина, который гласит, что все, что вы можете представить себе с помощью любой процедуры принуждения, будет истинной математической сущностью, пока эта процедура удовлетворяет определенному условию согласованности.
При всей экспансивности максимума Мартина, для того чтобы одновременно разрешить все эти продукты принуждения (при удовлетворении этого условия постоянства), размер континуума скачет только до консервативного $latexboldsymbol{aleph}_{2}$ — на одно кардинальное число больше минимально возможного значения.
Помимо решения проблемы континуума, максимум Мартина оказался мощным инструментом для исследования свойств бесконечных множеств. Сторонники говорят, что он способствует многим всеобъемлющим утверждениям и общим теоремам. Напротив, предположение, что континуум имеет мощность $latexboldsymbol{aleph}_{1}$, имеет тенденцию давать больше исключительных случаев и препятствий для доказательств — «рай контрпримеров», по словам Магидора.
Максимум Мартина стал чрезвычайно популярен как расширение ZFC. Но затем в 1990-х годах Вудин предложил другую убедительную аксиому, которая также убивает гипотезу континуума и прикрепляет континуум к $latexboldsymbol{aleph}_{2}$, но совершенно другим путем. Вудин назвал аксиому (*), произносимую как «звезда», потому что она была «как яркий источник — источник структуры, источник света», — сказал он мне.
(*) касается модельной вселенной множеств, которая удовлетворяет девяти аксиомам ZF плюс аксиоме определенности, а не аксиоме выбора. Определенность и выбор логически противоречат друг другу, поэтому (*) и максимум Мартина кажутся непримиримыми. Но Вудин разработал процедуру принуждения, с помощью которой можно расширить свою модельную математическую вселенную до большей, которая согласуется с ZFC, и именно в этой вселенной аксиома (*) верна.
Что делает (*) таким проясняющим, так это то, что оно позволяет математикам делать утверждения в форме «Для всех X существует Y, такое что Z», когда речь идет о свойствах множеств внутри области. Такие утверждения являются мощными способами математического рассуждения. Одно из таких утверждений: «Для всех множеств $latexboldsymbol{aleph}_{1}$ вещественных чисел существуют вещественные числа, не входящие в эти множества». Это отрицание гипотезы континуума. Таким образом, согласно (*), гипотеза Кантора ложна. Тот факт, что (*) позволяет математикам сделать этот вывод и утверждать многие другие свойства множеств вещественных чисел, делает ее «привлекательной гипотезой», сказал Шиндлер.
При наличии двух высокопродуктивных аксиом сторонники принуждения столкнулись с тревожным избытком. «Обе аксиомы принуждения [максимум Мартина] и аксиома (*) прекрасны и кажутся правильными и естественными», — сказал Шиндлер, «так что какую из них выбрать?»
Если аксиомы противоречат друг другу, то принятие одной из них означало бы пожертвовать приятными следствиями другой, и суждение могло бы показаться произвольным. «Вам пришлось бы придумать какие-то причины, по которым одна из них истинна, а другая ложна — или, может быть, обе должны быть ложными», — сказал Шиндлер.
Вместо этого его новая работа с Асперо показывает, что максимум Мартина++ (технический вариант максимума Мартина) подразумевает (*). «Если вы объедините эти теории, как это сделали мы», — сказал Шиндлер, — «я бы сказал, что вы можете принять это как аргумент в пользу: возможно, люди что-то поняли правильно».
Недостающее звено
Асперо и Шиндлер были молодыми исследователями вместе в институте в Вене 20 лет назад. Их доказательство проросло несколько лет спустя, когда Шиндлер прочитал рукопись, как обычно, написанную от руки теоретиком множеств Рональдом Йенсеном. В ней Йенсен изобрел технику под названием L-форсинг. Шиндлер был впечатлен ею и попросил своего студента попытаться развить ее дальше. Пять лет спустя, в 2011 году, он описал L-форсинг Асперо, который навестил его в Мюнстере. Асперо сразу же предположил, что они могли бы использовать эту технику, чтобы вывести (*) из максимума Мартина++.
Они объявили, что у них есть доказательство в следующем году, в 2012. Вудин немедленно обнаружил ошибку, и они отозвали свою статью со стыдом. Они часто возвращались к доказательству в последующие годы, но неизменно обнаруживали, что им не хватает одной ключевой идеи — «недостающего звена», сказал Асперо, в логической цепочке, ведущей от максимума ++ Мартина к (*).
Их план атаки для вывода последней аксиомы из первой состоял в том, чтобы разработать процедуру принуждения, похожую на L-принуждение, с помощью которой можно было бы сгенерировать тип объекта, называемого свидетелем. Этот свидетель проверяет все утверждения формы (*). Пока процедура принуждения подчиняется требуемому условию согласованности, максимум++ Мартина установит, что свидетель, поскольку его можно заставить существовать, существует. И, таким образом, (*) следует.
«Мы знали, как построить такие воздействия», — сказал Асперо, но они не могли понять, как гарантировать, что их процедура воздействия будет соответствовать ключевому требованию максимума Мартина. «Вспышка» Асперо в машине в 2018 году наконец указала путь: они смогли разбить воздействие на рекурсивную последовательность воздействий, каждое из которых удовлетворяло необходимым условиям. «Я помню, что был очень уверен, что этот ингредиент на самом деле заставит доказательство работать», — сказал он, хотя потребовались дальнейшие вспышки прозрения как от Асперо, так и от Шиндлера, чтобы все это проработать.
Другие звезды
Сходимость максимума Мартина++ и (*) создает прочную основу для башни бесконечностей, в которой мощность континуума равна $latexboldsymbol{aleph}_{2}$. «Вопрос в том, верно ли это?» — спрашивает Питер Келлнер, специалист по теории множеств в Гарварде.
По словам Кёлльнера, знание того, что аксиома сильнейшего принуждения подразумевает (*), может считаться доказательством как за, так и против нее. «На самом деле это зависит от того, каково ваше отношение к (*)», — сказал он.
Результат сходимости сосредоточит внимание на правдоподобности (*), поскольку (*) позволяет математикам делать такие мощные утверждения, как «для всех X существует Y», которые имеют последствия для свойств действительных чисел.
Несмотря на чрезвычайную полезность (*) в разрешении этих утверждений, казалось бы, без противоречий, Кельнер относится к тем, кто сомневается в этой аксиоме. Одно из ее следствий — зеркальное отображение структуры определенного большого класса множеств с помощью гораздо меньшего множества — кажется ему странным.
Примечательно, что человек, который, возможно, был наиболее воодушевлен правильностью (*), также выступил против нее. «Меня считают предателем», — сказал Вудин в одном из наших разговоров в Zoom этим летом.
Двадцать пять лет назад, когда он выдвинул (*), Вудин считал, что гипотеза континуума ложна, и, таким образом, (*) является источником света. Но около десяти лет назад он изменил свое мнение. Теперь он считает, что континуум имеет мощность $latexboldsymbol{aleph}_{1}$ и что (*) и принуждение «обречены».
Вудин назвал доказательство Асперо и Шиндлера «фантастическим результатом», который «заслуживает быть в Анналах» — Annals of Mathematics широко считается ведущим математическим журналом — и он признал, что этот вид результата сходимости «обычно принимается за доказательство некой истины». Но он в это не верит. Есть проблема, упомянутая Келлнером, и еще одна, еще более серьезная проблема, которую он выявил во внезапном опыте собственного опыта в 2019 году, вскоре после прочтения препринта статьи Асперо и Шиндлера. «Это неожиданный поворот в истории», — сказал Вудин.
Когда он ставил (*), Вудин также ставил более сильные варианты, называемые (*)+ и (*)++, которые применяются к полному набору мощности (множеству всех подмножеств) действительных чисел. Известно, что в различных моделях математической вселенной, если не в общем, (*)+ противоречит максимуму Мартина. В новом доказательстве, которым он начал делиться с математиками в мае, Вудин показал, что (*)+ и (*)++ эквивалентны, что означает, что (*)++ также противоречит максимуму Мартина в различных моделях.
(*)+ и (*)++ намного превосходят (*) по одной причине: они позволяют математикам делать утверждения в форме «Существует множество действительных чисел …» и, таким образом, описывать и анализировать свойства любых множеств действительных чисел. (*) не предоставляет такой «экзистенциальной теории» множеств действительных чисел. И поскольку максимум Мартина, по-видимому, противоречит (*)+ и (*)++, кажется, что экзистенциальные утверждения о множествах действительных чисел могут быть невозможны в рамках максимума Мартина. Для Вудина это является решающим фактором: «Это говорит о том, что оно обречено».
Остальные основные игроки все еще переваривают доказательство Вудина. Но некоторые подчеркнули, что его аргументы носят предположительный характер. Даже Вудин признает, что неожиданное открытие может изменить картину (и его мнение), как это уже случалось раньше.
Многие в сообществе ждут результатов попытки Вудина доказать гипотезу «конечной L»: то есть существование всеобъемлющего обобщения модельной вселенной множеств Гёделя. Если окончательная L существует — у Вудина есть веские основания полагать, что это так, и сейчас он пытается доказать это на 400 страницах — он сочтет очевидным, что «аксиома мечты», которую нужно добавить к ZFC, должна быть конечной аксиомой L или утверждением, что окончательная L — это вселенная множеств. И в отношении конечной L Кантор прав: континуум имеет мощность $latexboldsymbol{aleph}_{1}$. Если доказательство сработает, окончательная аксиома L будет если не очевидным выбором расширения для ZFC, то, по крайней мере, грозным конкурентом максимуму Мартина.
С тех пор, как Гёдель и Коэн установили независимость гипотезы континуума от ZFC, бесконечная математика стала историей «выбери свое собственное приключение», в которой теоретики множеств могут увеличить количество действительных чисел до любого уровня — скажем, $latexboldsymbol{aleph}_{35}$ или $latexboldsymbol{aleph}_{1000}$ — и исследовать последствия. Но с результатом Асперо и Шиндлера, убедительно указывающим на $latexboldsymbol{aleph}_{2}$, и Вудином, выстраивающим аргументы в пользу $latexboldsymbol{aleph}_{1}$, установилась четкая дихотомия, и абсолютный победитель кажется вновь возможным. Большинство теоретиков множеств не хотели бы ничего, кроме как выйти из математической мультивселенной и объединиться за единой картиной рая Кантора, которая достаточно красива, чтобы называться истинной.
Кеннеди, например, считает, что мы можем вскоре вернуться в этот «мир до грехопадения». «Гильберт, когда он выступал с речью, сказал, что человеческое достоинство зависит от того, способны ли мы решать вопросы в математике в стиле «да» или «нет», — сказала она. «Это был вопрос искупления человечества, вопроса о том, является ли математика тем, чем мы всегда ее считали: установить истину. Не просто эту истину, ту истину. Не просто возможности. Нет. Континуум имеет такой-то размер, и точка».
Разъяснение 23 июля 2021 г.:
Статья была изменена, чтобы устранить возможное неверное представление о количестве порядковых типов натуральных чисел.
Источник: www.quantamagazine.org
