С помощью ИИ математики обнаружили скрытые ошибки в уравнениях гидродинамики.

Приз в 1 миллион долларов ждет того, кто сможет показать, где математические принципы теории потока жидкости дают сбой. С помощью специально обученных систем искусственного интеллекта исследователи обнаружили множество новых кандидатов в более простых вариантах этой задачи. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Почти 200 лет назад физики Клод-Луи Навье и Джордж Габриэль Стокс завершили разработку набора уравнений, описывающих завихрения жидкостей. И на протяжении почти 200 лет уравнения Навье-Стокса служили неоспоримой теорией поведения жидкостей в реальном мире — от океанских течений, прокладывающих себе путь между континентами, до воздуха, обволакивающего крылья самолета.

Тем не менее, многие математики подозревают, что в глубине уравнений скрываются ошибки. У них есть предчувствие, что в определенных ситуациях теория дает сбой. В таких случаях уравнения будут предсказывать движение жидкости каким-то нефизическим, непостижимым образом — например, вращение в невероятно быстрый вихрь или мгновенное изменение направления потока. Некоторая величина в уравнениях станет бесконечно большой, или «взлетит», как говорят математики.

Несмотря на огромные усилия, никому не удалось найти ситуацию, в которой уравнения Навье-Стокса давали бы сбой. Доказать это — или, альтернативно, доказать, что уравнения никогда не дают сбоя — было бы вознаграждено миллионом долларов. Поэтому, в качестве прелюдии к решению проблемы Навье-Стокса, математики искали сбои (также называемые сингулярностями) в различных упрощенных уравнениях гидродинамики, например, в тех, которые работают только в одном измерении.

Они их нашли. Но по сути все обнаруженные ими сингулярности оказались «стабильными», то есть могли образовываться множеством возможных способов. В самых реалистичных теориях жидкостей, включая уравнения Навье-Стокса, взрывы (если они существуют) скорее всего будут гораздо более хрупкими, происходящими с невероятной точностью. Эти «нестабильные» взрывы было практически невозможно обнаружить, это как иголки в стоге сена.

В этих реалистичных теориях «многие люди считают, что существуют сингулярности, но они нестабильны, поэтому мы их никогда не видим», — сказал Чарли Фефферман, математик из Принстонского университета, сформулировавший задачу вычисления уравнений Навье-Стокса стоимостью в миллион долларов.

Теперь группа математиков разработала способ обучения машин обнаружению этих фантомных сбоев. В препринте, опубликованном в сентябре, они пересмотрели более простые уравнения гидродинамики, в которых, как известно, может существовать стабильная сингулярность. Там они обнаружили дополнительные потенциальные сценарии взрыва, в том числе и нестабильные. Это был первый случай обнаружения возможной нестабильной сингулярности в жидкости, имеющей более чем одномерное измерение.

Команда продолжила исследование, обнаружив множество кандидатов в неустойчивые сингулярности и в нескольких других уравнениях гидродинамики. Они не нашли ни одной сингулярности, представляющей огромную ценность. И им еще предстоит строго доказать, что найденные ими сингулярности действительно взрываются. Но их успех в обнаружении потенциальных неустойчивых сингулярностей в простых моделях вселяет надежду на то, что в более сложных ситуациях также станет возможным обнаружение неустойчивых взрывов.

«Идея нестабильной сингулярности больше не препятствует ее обнаружению», — сказал Фефферман, который не принимал участия в новом исследовании.

Охота за сингулярностями

Решение уравнений Навье-Стокса запечатлевает кусочек вечности. Решение уравнений для некоторого начального состояния жидкости позволит определить скорость жидкости в каждой точке пространства и в каждый момент времени. В одном простом решении жидкость может начать движение в спокойном состоянии и оставаться спокойной вечно. В более сложной ситуации слабые течения могут сливаться в водовороты и вихри. Главная загадка заключается в том, имеет ли смысл каждое решение — каждая возможная история движения жидкости, удовлетворяющая уравнениям Навье-Стокса, — везде и всегда.

Однако решение уравнений Навье-Стокса для жидкостей в трех измерениях невероятно сложно, поэтому математики начали с более простых версий этой проблемы. Например, уравнения Эйлера предполагают, что жидкости текут без внутреннего трения, или вязкости. Энергия в таких безфрикционных жидкостях не рассеивается, поэтому они должны взрываться легче, чем вязкие.

Но даже в этом более простом сценарии найти решение, приводящее к взрывному падению, сложно. Уравнения гидродинамики, как правило, слишком сложны, чтобы решать их напрямую с помощью карандаша и бумаги. Поэтому распространенный подход заключается в использовании компьютера для моделирования движения жидкости и получения приблизительного представления об условиях, которые, по-видимому, приводят к взрывному падению. Если удастся точно определить условия, вызывающие взрывное падение, можно будет использовать эти знания для строгого доказательства того, что взрывное падение действительно существует.

Именно такой подход использовали Томас Хоу и Го Луо в 2013 году, когда моделировали цифровую жидкость в банке. Они задали вращение верхней половины жидкости в одном направлении, а нижней — в другом, а затем, используя уравнения Эйлера, моделировали эволюцию этого сценария во времени. В конце концов, в точках, где противоположные потоки встречались вдоль границы банки, вихревая составляющая (мера того, насколько жидкость вращается вокруг точки) становилась большой — больше, чем мог обработать их компьютер.

Это был намёк на то, что подобный набор условий приведёт к катастрофе. Но это не гарантировало успеха. «На кладбищах разбросаны предполагаемые уникальные решения трёхмерной задачи Эйлера», — сказал Фефферман.

Хоу и его коллеге, Цзяцзе Чену, потребовалось почти десять лет, чтобы опровергнуть «предполагаемое» утверждение. В 2022 году они с помощью компьютера доказали, что кандидат в сингулярность подразумевает существование истинной сингулярности. Это было знаковое доказательство, и оно пробудило в математиках желание продвинуться еще дальше в исследованиях.

Исследование основывалось на компьютерном моделировании, а это означало, что малейшие корректировки начального состояния цифровой жидкости (или любые ошибки округления в цифровом виде) не влияли на ее дальнейшую судьбу. Сингулярность все равно возникала бы на границе банки, даже если бы события развивались несколько иначе.

Поэтому сингулярность была стабильной. Но сингулярность не обязательно должна быть стабильной. Взрыв может произойти только тогда, когда жидкость находится в самом деликатном состоянии. В таком случае любое изменение этого первоначального состояния, каким бы незначительным оно ни было, предотвратит взрыв жидкости.

Многие математики предполагают, что если в более реалистичных уравнениях гидродинамики и существуют сингулярности, то они будут неустойчивыми, возникая внезапно.

Их также будет гораздо сложнее найти.

Переход к конечному состоянию

Практически невозможно обнаружить кандидата в нестабильные сингулярности с помощью компьютерного моделирования. Во-первых, вам понадобится космическая удача, чтобы точно подобрать начальную конфигурацию для вашей жидкости — это сродни попытке идеально уравновесить ручку на кончике, — говорит Тристан Бакмастер, математик из Нью-Йоркского университета. Затем, чтобы сохранить равновесие, вам также придется обеспечить безупречное развитие жидкости от одного момента к другому, поскольку даже малейшее отклонение направит ее по пути, который не приведет к взрыву.

Компьютеры не способны на бесконечную точность. Они неизбежно будут вносить численные ошибки, которые, хотя и ничтожны, помешают формированию нестабильной сингулярности. «Это как ветер, дующий на вашу ручку», — сказал Бакмастер.

В результате почти все потенциальные кандидаты на взрыв оказались стабильными.

Поэтому Бакмастер и его коллеги начали разрабатывать потенциально ветроустойчивый способ обнаружения неустойчивых участков.

Они не ставили перед собой такую цель. В 2021 году они использовали нейронную сеть как новый способ неизбирательного поиска кандидатов в сингулярности любого рода. Нейронная сеть, как правило, представляет собой функцию, определяемую огромным массивом чисел. Эти числа тщательно корректируются посредством высокоэффективного процесса «обучения», включающего угадывание, проверку и уточнение, пока функция не сможет выполнять желаемую задачу. Например, если откалибровать нейронную сеть, используя тысячи размеченных фотографий кошек и собак, она «научится» принимать неразмеченные изображения, которые она никогда раньше не видела, и помечать их как «кошка» или «собака».

Бакмастер и его команда обратились к так называемой нейронной сети, основанной на физических принципах, или PINN. В отличие от нейронной сети для классификации изображений, PINN не обучается, изучая внешние данные. Вместо этого она берет дифференциальное уравнение в частных производных — уравнение, описывающее, как система изменяется со временем, — и корректируется до тех пор, пока не сможет представить функцию, которая является решением этого уравнения. Например, она может брать уравнения гидродинамики и обучаться находить функцию, которая отражает достоверную историю жидкости, возможно, содержащую сингулярность.

Но ни одна компьютерная технология не может напрямую воспроизвести бесконечную природу сингулярности. Представьте, что вы запускаете симуляцию вашей жидкости и наблюдаете за её движением во времени. Вы можете представить некоторую величину, например, скорость в разных точках жидкости, в виде кривой на графике. По мере изменения жидкости во времени вы будете видеть, как меняется и эта кривая, как в кино. Если кривая становится намного круче от кадра к кадру, жидкость может приближаться к сингулярности. Однако симуляция не может достичь этой конечной точки. Компьютер исчерпает память раньше, чем кривая станет бесконечно крутой, что приведёт к сбою программы. Тогда вы не сможете точно знать, что должно было произойти — действительно ли вы приближались к взрыву или нет.

Чтобы обойти неудобства, связанные с бесконечностью, математики в последнее время сосредоточили свои поиски на сингулярностях со специальным свойством, называемым самоподобием. Это означает, что существует способ растянуть кривую скорости в одном кадре, чтобы она соответствовала более крутой кривой скорости в последующем кадре. Таким образом, если вы хотите обнаружить потенциальную сингулярность, вам больше не нужно пытаться наблюдать, как кривая становится бесконечно крутой. Вместо этого вы можете приблизить изображение участка кривой с возрастающей крутизной во время воспроизведения видео таким образом, чтобы нейтрализовать это увеличение. С этой новой, динамической точки зрения кривая все ближе и ближе приближается к застывшей кривой конечной крутизны. Это преобразование превращает цель — застывший предел — в конечный объект, с которым может справиться конечный компьютер.

Команда Бакмастера поняла, что нейронные сети с фиксированным фокусом (PINN) могут быть чрезвычайно эффективным способом поиска таких «замороженных» решений уравнений гидродинамики. Более того, эти нейронные сети также могут определять уникальную скорость масштабирования, которая делает единственное решение «замороженным» и конечным.

Поначалу их метод PINN выявил только известные кандидаты. Например, в 2022 году Бакмастер, Хавьер Гомес-Серрано из Университета Брауна и их коллеги использовали метод PINN, чтобы сосредоточиться на стабильном взрыве, обнаруженном Хоу и Ло в 2013 году. (Хоу и Чен доказали его существование позже в том же году.)

Они также заново обнаружили известный кандидат на сингулярность в уравнениях Кордобы-Кордобы-Фонтелоса (CCF), которые описывают более простую одномерную жидкость. Этот кандидат на сингулярность был особенно примечателен — он оказался нестабильным. Он был обнаружен в 2019 году, поскольку уравнения CCF оказались тесно связаны с еще более простой моделью жидкости, которая хорошо изучена. Но PINN смог найти это решение более общим способом и гораздо точнее. Это потому, что это не было моделированием в традиционном смысле, когда жидкость перемещается во времени. Скорее, оно напрямую стремилось к пределу замерзания.

«Времени нет, поэтому вас не волнует, что система нестабильна, — сказал Бакмастер. — Вы просто пытаетесь решить само уравнение».

Новая стабильность

Бакмастер и Гомес-Серрано были воодушевлены перспективой использования своей нейронной сети PINN для поиска новых кандидатов на нестабильные сингулярности. Они объединились с Google DeepMind и в течение следующих нескольких лет дорабатывали подход на основе нейронных сетей для поиска нестабильных взрывов в нескольких различных классических теориях жидкостей. Ёнджи Ван, ныне исследователь в DeepMind, возглавил команду, которая перешла от готовых нейронных сетей PINN к специализированным нейронным сетям, адаптированным под конкретные уравнения жидкостей, которые они пытались решить. Исследователи также дополнительно настроили структуру нейронных сетей PINN, чтобы направлять их к решениям с характеристиками, которые, как они знали, должны быть у сингулярностей.

По мере того, как они это делали, их системы PINN стали лучше выявлять кандидаты в сингулярности. Намного лучше.

В сентябре их совместная работа, в которой приняли участие более 20 исследователей, выявила множество ранее не наблюдавшихся сингулярностей, большинство из которых были нестабильными.

Возвращаясь к исследованию вращающейся жидкости в банке, они описали набор из четырех новых кандидатов на неустойчивые сингулярности в уравнениях Эйлера. Они по-прежнему были в целом похожи на известную устойчивую сингулярность Хоу и Ло, хотя начальные условия вращения немного отличались по интенсивности и другим переменным. Каждый найденный ими кандидат был более неустойчивым, чем предыдущий, — он исчезал еще легче при незначительной корректировке параметров эксперимента.

Они также исследовали уравнения, описывающие, как жидкость фильтруется через несжимаемую пористую среду, такую как почва или горные породы, в двух измерениях. Никто никогда не находил кандидатов в сингулярности в этой установке. Они обнаружили четыре — одну стабильную, три нестабильные. Все они включали аналогичную установку, которую можно визуализировать в мысленном эксперименте, хотя в реальности ни один ученый не смог бы регулировать жидкость с той бесконечной точностью, которая необходима для того, чтобы сделать эксперимент реальным. Представьте себе муравейник, заполненный слоем песка и слоем камней (но без муравьев). Теперь добавьте каплю воды, смачивающую часть песка. Со временем гравитация тянет воду вниз сквозь песок, и капля сплющивается, падая. В конце концов, она ударяется о слой камней, и свойство, связанное с плотностью жидкости, кажется, взрывается.

Наконец, команда вернулась к одномерным уравнениям CCF, на этот раз обнаружив еще более неустойчивую сингулярность, чем раньше. Один из способов визуализации этой модели — представить себе расширяющуюся лужу с двумя противоположными течениями. Уравнения CCF описывают границу раздела между этими двумя течениями. Если добавить в эту границу тщательно сформированный изгиб, он заострится в сингулярный пик.

Примечательно, что, подобно уравнениям Навье-Стокса (и в отличие от двух других типов уравнений, изученных исследователями), уравнения CCF описывают жидкости, обладающие диссипативными свойствами, сходными с вязкостью. Таким образом, каждая из изученных ими моделей показывает, что метод PINN может справиться с некоторыми сложными аспектами полных уравнений Навье-Стокса, такими как многомерность и диссипация.

«Мы пытаемся выявлять и устранять технические неполадки одну за другой», — сказал Гомес-Серрано.

Важно отметить, что ни один из этих новых кандидатов в сингулярности еще не доказан. Но Гомес-Серрано ожидает, что это возможно, поскольку приближения PINN очень точны. А чем точнее кандидат, тем легче доказать, что это истинная сингулярность. По сравнению с тем временем, когда группа впервые запустила свой PINN несколько лет назад, точность измерений увеличилась примерно в миллиард раз.

«Точность поразительна, — сказала Ева Миранда, математик из Политехнического университета Каталонии в Испании. — Остаточные ошибки настолько малы, что эти решения вполне могут быть использованы в качестве исходных данных для будущих доказательств с помощью компьютеров».

Гонка за побег за пределы границ

Главный вопрос, или, точнее, подготовительный вопрос к главному вопросу, заключается в том, сможет ли коллаборация DeepMind теперь использовать свой аппарат PINN для обнаружения сингулярности в уравнениях Эйлера — для жидкости, не заключенной в банку, что является гораздо более сложной задачей. Математики говорят, что им потребуется еще раз усовершенствовать свои методы для этой более сложной и необычной жидкости, но они настроены оптимистично.

«Вы создаёте мощный инструмент для поиска очень труднодоступных вещей», — сказал Бакмастер.

Однако другие математики указывают на то, что прошлые результаты не гарантируют будущих, поскольку неограниченная жидкость совсем не похожа на ограниченную. «Это совершенно другое дело», — сказал Диего Кордоба, математик из Института математических наук в Испании и один из Кордоб, создавших модель CCF. (Его отец — второй из них.)

Таким образом, конкуренция накаляется, поскольку исследователи ищут «безграничные» сингулярности в уравнениях Эйлера и за их пределами. Кордоба и его коллега Луис Мартинес-Зороа из университета CUNEF в Испании использовали методы, основанные на работе с карандашом и бумагой, для обнаружения стабильных сингулярностей в нескольких различных конфигурациях жидкостей. Они считают, что близки к тому, чтобы их подход заработал для безграничной жидкости Эйлера. (Кордоба опасался, что коллаборация DeepMind вот-вот опередит их в достижении этой цели, но, к его облегчению, их нейронные сети PINN пока недостаточно мощны, чтобы решить эту проблему. Найденные ими решения, по его словам, «нестабильны, но не настолько».)

Другой участник, Тарек Эльгинди из Калифорнийского университета в Сан-Диего, уже добился успеха, работая в условиях, не ограниченных рамками (с некоторыми оговорками), и намерен расширить сферу применения своей стратегии.

Неясно, какая именно техника, если вообще какая-либо, дойдёт до финиша. «Я буду очень горд и очень рад, если Хави это удастся», — сказал Кордоба, который был научным руководителем Гомеса-Серрано. «Но я буду ещё счастливее, если это удастся нам».

Если кому-то это удастся, то он перейдет к уравнениям Навье-Стокса. Но, несмотря на недавний всплеск прогресса в обнаружении новых «сбоев» в жидкостях, математики не решаются возлагать слишком большие надежды.

«Можно предаваться мечтам, но только день-два, — сказала Гомес-Серрано. — Идей недостаточно. Тогда мечтания прекращаются».

Источник: www.quantamagazine.org