Почему математическое доказательство — это социальный договор

Специалист по теории чисел Эндрю Грэнвилл о том, что такое математика на самом деле, и почему объективность так и не достижима. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

В 2012 году математик Синъити Мотидзуки заявил, что решил abc-гипотезу – важный открытый вопрос в теории чисел о связи между сложением и умножением. Была лишь одна проблема: его доказательство, занимавшее более 500 страниц, было совершенно непостижимым. Оно опиралось на клубок новых определений, обозначений и теорий, которые почти все математики считали невозможными для понимания. Годы спустя, когда два математика перевели значительную часть доказательства на более привычный язык, они указали на то, что один из них назвал «серьёзным, неустранимым пробелом» в его логике – но Мотидзуки отверг их аргумент на том основании, что они просто не поняли его работу.

Этот инцидент поднимает фундаментальный вопрос: что такое математическое доказательство? Мы склонны считать его откровением некой вечной истины, но, возможно, его лучше понимать как некую социальную конструкцию.

Эндрю Грэнвилл, математик из Монреальского университета, в последнее время много размышлял об этом. После того, как один философ обратился к нему с просьбой прокомментировать некоторые из его работ, «я задумался о том, как мы приходим к нашим истинам», — сказал он. «И как только начинаешь толкать эту дверь, понимаешь, что это обширная тема».

Грэнвилл увлекался арифметикой с раннего возраста, но никогда не задумывался о карьере в области математических исследований, потому что не знал о существовании такой науки. «Мой отец бросил школу в 14 лет, моя мать — в 15 или 16», — сказал он. «Они родились в тогдашнем рабочем районе Лондона, и университет был для них чем-то за гранью возможного. Так что мы понятия не имели».

Окончив Кембриджский университет, где он изучал математику, он начал адаптировать роман Мартина Эмиса «Записки Рэйчел» к сценарию. Работая над проектом и пытаясь найти финансирование, он не хотел устраиваться на офисную работу — в перерыве между школой и колледжем он работал в страховой компании и не хотел туда возвращаться, — «поэтому я пошёл в аспирантуру», — сказал он. Фильм так и не был снят (позднее по роману был снят фильм), но Грэнвилл получил степень магистра математики и переехал в Канаду, чтобы завершить докторскую диссертацию. Он ни разу не оглянулся назад.

Нажимая кнопку просмотра этого видео, вы соглашаетесь с нашей политикой конфиденциальности.

«Это было настоящее приключение, — сказал он. — Я не ожидал многого. Я толком не знал, что такое докторская степень».

За прошедшие десятилетия он написал более 175 статей, в основном по теории чисел. Он также приобрёл известность благодаря своим работам о математике для широкой аудитории: в 2019 году он совместно со своей старшей сестрой Дженнифер, сценаристом, написал графический роман о простых числах и связанных с ними концепциях. В прошлом месяце одна из его статей на тему «как мы приходим к нашим истинам» была опубликована в журнале Annals of Mathematics and Philosophy. Вместе с другими математиками, специалистами по информатике и философами он планирует опубликовать в следующем году в «Бюллетене Американского математического общества» сборник статей о том, как машины могут изменить математику.

Quanta поговорила с Грэнвиллом о природе математических доказательств — от того, как они работают на практике, до распространённых заблуждений о них и того, как корректура может развиваться в эпоху искусственного интеллекта. Интервью было отредактировано и сокращено для ясности.

Недавно вы опубликовали статью о природе математического доказательства. Почему вы решили, что об этом важно написать?

Методы исследования математиков обычно не очень хорошо представлены в популярных СМИ. Люди склонны воспринимать математику как чистый поиск, где мы приходим к великим истинам исключительно посредством чистого размышления. Но математика — это догадки, часто ошибочные. Это экспериментальный процесс. Мы учимся постепенно.

Например, когда гипотеза Римана впервые появилась в статье в 1859 году, это было словно волшебство: вот эта удивительная гипотеза, возникшая словно из ниоткуда. 70 лет люди говорили о том, чего может достичь великий мыслитель, используя лишь чистую мысль. Затем математик Карл Зигель нашёл черновые заметки Римана в Гёттингенском архиве. На самом деле, Риман выполнил множество страниц вычислений нулей дзета-функции Римана. Знаменитые слова Зигеля: «Вот и всё о чистой мысли».

Итак, в том, как люди пишут о математике, есть некая напряженность, особенно некоторые философы и историки. Они, кажется, считают нас некими чисто магическими существами, единорогами науки. Но, как правило, это не так. Мы редко представляем собой чистую мысль.

Как бы вы охарактеризовали деятельность математиков?

Культура математики — это прежде всего доказательства. Мы сидим и думаем, и 95% нашей деятельности — это доказательства. Значительную часть знаний мы получаем, борясь с доказательствами и интерпретируя возникающие при этом вопросы.

Мы часто воспринимаем доказательство как математический аргумент. С помощью ряда логических шагов оно доказывает истинность данного утверждения. Но вы пишете, что это не следует путать с чистой, объективной истиной. Что вы имеете в виду?

Главная цель доказательства — убедить читателя в истинности утверждения. Это значит, что верификация играет ключевую роль. Лучшая система верификации, существующая в математике, заключается в том, что множество людей рассматривают доказательство с разных точек зрения, и оно хорошо вписывается в контекст, который им знаком и в который они верят. В каком-то смысле мы не говорим, что знаем его истинность. Мы говорим, что надеемся на его правильность, потому что множество людей проверили его с разных точек зрения. Доказательства принимаются в соответствии с этими стандартами сообщества.

Затем существует понятие объективности — уверенности в правильности утверждаемого, ощущения, что вы обладаете абсолютной истиной. Но как мы можем быть уверены в своей объективности? Сложно вырваться из контекста, в котором вы сделали утверждение, — получить точку зрения, выходящую за рамки парадигмы, установленной обществом. Это справедливо как для научных идей, так и для всего остального.

Можно также спросить, что объективно интересно или важно в математике. Но это тоже, безусловно, субъективно. Почему мы считаем Шекспира хорошим писателем? В своё время Шекспир не был так популярен, как сегодня. Очевидно, существуют общественные условности относительно того, что интересно и важно. И это зависит от текущей парадигмы.

Как это выглядит с точки зрения математики?

Один из самых известных примеров смены парадигмы — это исчисление. Когда исчисление было изобретено, оно предполагало деление чего-то, стремящегося к нулю, на что-то другое, стремящееся к нулю, что приводило к нулю, делённому на ноль, что не имело никакого смысла. Изначально Ньютон и Лейбниц придумали объекты, называемые бесконечно малыми. Это позволило их уравнениям работать, но по сегодняшним меркам это было неразумно и не строго.

Теперь у нас есть формула эпсилон-дельта, введенная в конце XIX века. Эта современная формула настолько поразительно, очевидно, хороша для правильного понимания этих концепций, что, глядя на старые формулировки, вы спрашиваете себя: «О чём они думали?» Но в то время это считалось единственно возможным способом. Справедливости ради стоит сказать, что Лейбницу и Ньютону, вероятно, понравился бы современный подход. Они не додумались до этого из-за парадигм своей эпохи. Так что на это ушло ужасно много времени.

Проблема в том, что мы не знаем, когда ведём себя подобным образом. Мы заперты в обществе, в котором живём. У нас нет взгляда со стороны, чтобы оценить наши предположения. Одна из опасностей математики заключается в том, что можно считать что-то неважным, потому что это сложно выразить или обсудить на выбранном вами языке. Это не значит, что вы правы.

Мне очень нравится эта цитата Декарта, где он, по сути, говорит: «Я думаю, что знаю о треугольнике всё, но кто может сказать, что я это знаю? Ведь кто-то в будущем может предложить совершенно иную точку зрения, которая позволит гораздо лучше понять треугольник». И я думаю, он прав. Это можно увидеть в математике.

Как вы написали в своей статье, доказательство можно рассматривать как общественный договор — своего рода взаимное соглашение между автором и его математическим сообществом. Мы видели крайний пример того, как это не работает, — на примере заявленного Мотидзуки доказательства abc-гипотезы.

Это крайность, потому что Мотидзуки не хотел играть в игру так, как она играется сейчас. Он сделал этот выбор, чтобы остаться незамеченным. Когда люди совершают большие прорывы, предлагая действительно новые и сложные идеи, я считаю, что они обязаны попытаться привлечь других, объяснив свои идеи максимально доступным образом. А он скорее сказал: «Ну, если вам не нравится читать это так, как я написал, это не моя проблема. Он имеет право играть в ту игру, в которую хочет. Но это не имеет никакого отношения к сообществу. Это не имеет никакого отношения к тому, как мы добиваемся прогресса».

Если доказательства существуют в социальном контексте, как они меняются со временем?

Всё начинается с Аристотеля. Он утверждал, что необходима некая дедуктивная система — что доказывать новые вещи можно, только основываясь на том, что уже известно и в чём вы уверены, возвращаясь к определённым «исходным утверждениям» или аксиомам.

Итак, вопрос: какие основные вещи вы считаете истинными? Долгое время люди просто говорили: «Линия — это линия, окружность — это окружность». Есть несколько простых и очевидных вещей, и именно с них нам следует начать.

Эта точка зрения сохранилась навсегда. Во многом она актуальна и сегодня. Но разработанная тогда аксиоматическая система Евклида — «прямая есть прямая» — имела свои недостатки. Были парадоксы, открытые Бертраном Расселом, основанные на понятии множества. Более того, можно было играть словами с математическим языком, создавая проблемные утверждения, например, «это утверждение ложно» (если оно истинно, то оно ложно; если оно ложно, то оно истинно), которые указывали на наличие проблем в аксиоматической системе.

Итак, Рассел и Альфред Уайтхед попытались создать новую систему математических вычислений, которая могла бы избежать всех этих проблем. Но она была до смешного сложной, и трудно было поверить, что это были правильные примитивы, с которых можно было начать. Никому это не понравилось. Например, доказательство 2 + 2 = 4 занимало бы очень много места, начиная с исходной точки. В чём смысл такой системы?

Затем появился Дэвид Гильберт и у него возникла потрясающая идея: возможно, нам вообще не стоит никому говорить, с чего правильно начинать. Вместо этого стоит исследовать всё, что работает — простую, последовательную и непротиворечивую отправную точку. Из аксиом невозможно вывести две вещи, противоречащие друг другу, и можно описать большую часть математики в терминах выбранных аксиом. Но не следует априори говорить, каковы они.

Это, похоже, тоже вписывается в наше предыдущее обсуждение объективной истины в математике. Значит, на рубеже XX века математики осознали, что может существовать множество аксиоматических систем — что один заданный набор аксиом не следует воспринимать как универсальную или самоочевидную истину?

Верно. И, должен сказать, Гильберт начал заниматься этим не из абстрактных соображений. Он очень интересовался другими понятиями геометрии: неевклидовой геометрией. Она была очень спорной. В то время люди говорили: если вы дадите мне определение линии, проходящей через углы параллелепипеда, с какой стати я должен вас слушать? И Гильберт сказал, что если он сможет сделать его последовательным и непротиворечивым, то вам стоит его слушать, потому что это, возможно, другая геометрия, которую нам нужно понять. И это изменение точки зрения — что можно допустить любую аксиоматическую систему — касалось не только геометрии; оно касалось всей математики.

Но, конечно, некоторые вещи полезнее других. Поэтому большинство из нас работает с одними и теми же 10 аксиомами, системой под названием ZFC.

Что приводит к вопросу о том, что можно, а что нельзя вывести из этого. Есть утверждения, например, гипотеза континуума, которые невозможно доказать с помощью ZFC. Должна быть 11-я аксиома. И вы можете решить её любым способом, потому что можете выбрать свою аксиоматическую систему. Это довольно здорово. Мы продолжаем работать с этой множественностью. Неясно, что правильно, а что нет. По словам Курта Гёделя, нам всё ещё нужно делать выбор, основываясь на вкусе, и, надеюсь, у нас хороший вкус. Мы должны делать то, что имеет смысл. И мы так и делаем.

Говоря о Гёделе, он тоже играет здесь довольно большую роль.

Чтобы обсуждать математику, нужен язык и набор правил, которым нужно следовать в этом языке. В 1930-х годах Гёдель доказал, что независимо от выбранного языка, в нём всегда найдутся истинные утверждения, которые невозможно доказать, исходя из исходных аксиом. На самом деле всё сложнее, но всё же сразу возникает философская дилемма: какое утверждение является истинным, если его невозможно обосновать? Это безумие.

Так что тут полный бардак. Мы ограничены в своих возможностях.

Профессиональные математики в основном игнорируют это. Мы сосредоточены на том, что выполнимо. Как любит говорить Питер Сарнак: «Мы — рабочие». Мы берёмся за дело и пытаемся доказать то, что можем.

Как сейчас, с использованием не только компьютеров, но и искусственного интеллекта, меняется понятие доказательства?

Мы перешли в другое место, где компьютеры способны на невероятные вещи. Теперь люди говорят: «О, у нас есть этот компьютер, он может делать то, чего не могут люди». Но может ли он это сделать? Может ли он действительно делать то, чего не могут люди? Ещё в 1950-х годах Алан Тьюринг сказал, что компьютер создан для того, чтобы делать то же, что и человек, только быстрее. С тех пор мало что изменилось.

Математики десятилетиями используют компьютеры, например, для вычислений, помогающих им в понимании. Новизна ИИ заключается в проверке того, что мы считаем истинным. В области проверки доказательств произошли впечатляющие изменения. Например, [помощник по доказательству] Lean, который позволил математикам проверить множество доказательств, а также помог авторам лучше понять свою работу, поскольку им приходится разбивать некоторые идеи на более простые шаги, чтобы передать их в Lean для проверки.

Но так ли это надежно? Является ли доказательство доказательством только потому, что Lean признаёт его таковым? В каком-то смысле оно так же хорошо, как и люди, которые преобразуют доказательство во входные данные для Lean. Что очень похоже на то, как мы занимаемся традиционной математикой. Поэтому я не говорю, что верю, что что-то вроде Lean будет допускать много ошибок. Я просто не уверен, что оно более безопасно, чем большинство вещей, которые делают люди.

Боюсь, я скептически отношусь к роли компьютеров. Они могут быть очень ценным инструментом для правильного понимания вещей, особенно для проверки математических рассуждений, основанных на новых определениях, которые сложно проанализировать на первый взгляд. Бесспорно, полезно иметь в своём арсенале новые перспективы, новые инструменты и новые технологии. Но меня смущает мысль о том, что теперь у нас будут идеальные логические машины, выдающие верные теоремы.

Нужно признать, что мы не можем быть уверены в правильности работы компьютеров. Наше будущее должно опираться на чувство общности, на которое мы опирались на протяжении всей истории науки: на то, что мы обмениваемся знаниями друг с другом. На то, что мы общаемся с людьми, которые смотрят на то же самое с совершенно другой точки зрения. И так далее.

Но как вы видите развитие событий в будущем, по мере того как эти технологии становятся все более совершенными?

Возможно, это поможет в создании доказательства. Возможно, через пять лет я скажу модели искусственного интеллекта вроде ChatGPT: «Я почти уверен, что где-то это видел. Не могли бы вы проверить?» И она ответит мне похожим, но верным утверждением.

А когда вы станете в этом очень-очень хороши, возможно, вы могли бы сделать ещё один шаг и сказать: «Я не знаю, как это сделать, но есть ли кто-нибудь, кто делал что-то подобное?» Возможно, в конечном итоге модель ИИ сможет найти искусные способы поиска в литературе, чтобы задействовать инструменты, которые использовались где-то ещё, — таким образом, который математик, возможно, не предвидит.

Однако я не понимаю, как ChatGPT может выйти за рамки определённого уровня и предоставлять доказательства, превосходящие нас. ChatGPT и другие программы машинного обучения не мыслят. Они используют словесные ассоциации, основанные на множестве примеров. Поэтому маловероятно, что они превзойдут свои тренировочные данные. Но если это произойдёт, что будут делать математики? Большая часть нашей работы — это доказательства. Если у нас отнять доказательства, я не уверен, кем мы станем.

Как бы то ни было, размышляя о том, куда мы будем направлять компьютерную помощь, нам необходимо учитывать все уроки, извлеченные из человеческой деятельности: важность использования разных языков, совместной работы, учета различных точек зрения. В том, как различные сообщества объединяются для работы над доказательством и его понимания, есть определённая надёжность и целостность. Если мы хотим использовать компьютерную помощь в математике, нам нужно её таким же образом обогатить.

Источник: www.quantamagazine.org