Определения бывают двух видов. Иногда можно определить что-то как подмножество: «Наполеон» это такой торт (и уточнения), дирижабль это такой летательный аппарат (и растолковать), производная это некоторый предел (и пояснения), «верёвка есть вервие простое».
Это всё прекрасно, но только пока мы определяем что-то в рамках уже известного. Когда речь заходит о фундаментальных понятиях — возникают фундаментальные же сложности.
Иногда проблему «заметают под ковёр» декларацией неопределяемых понятий. Вот точки и прямые — они неопределяемые понятия, и множества тоже.
Но это не совсем правда.
Правда в том, что определения фундаментальных (в данном контексте, конечно) понятий есть, но они сильно отличаются от указания подкласса. Можно сказать так: определение-то есть, но вам не понравится.
Что у нас с точками и прямыми Евклида? А вот мы говорим «есть точки и прямые, пофигу, что это такое, но точки могут ‘лежать на’ прямой, прямые могут ‘проходить через’ точки, через две точки проходит единственная прямая, и так далее». Мы _определили_ точки и прямые, но определили мы их, задав правила их поведения. Они могут лежать и проходить через, и всё это подчинено ряду правил. Конечно, мы представляем себе точки как крохотные чёрные кружки, а прямые — как ровные тонкие линии, но это не так и обязательно. Вот, скажем, в проективной геометрии, в которой аксиомы чуть иные («любые две прямые пересекаются») есть такая модель: точки это прямые трёхмерного пространства, проходящие через начало координат, а прямые — это плоскости, проходящие через него же. Ну и да: через две точки проходит единственная прямая, любые две пересекаются и т.д. Ну вот такие точки, а кто обещал, что они другие будут?
Теория множеств тоже действует так, ибо иначе никак. Она декларирует, что множества существуют, могут быть элементами множеств и описывает свойства этого отношения. Есть пустое множество, для любых А и В есть {А,В}, цепочка вложенности обязательно конечна, есть множество всех подмножеств для любого А, и всё в таком роде. Множества определены: как какие-то сущности, которые могут «содержать» себе подобных и «содержаться» в них, и всё это обставлено рядом правил. И всё.
Потом можно попробовать придумать «модель», если получится: какие-нибудь коробки, которые могут пребывать в других коробках. Но с коробками вряд ли получится все аксиомы удовлетворить.
Но модели есть. Вот модель Гёделя, которая минималистичная и там аксиома выбора верна и гипотеза континуума тоже. А есть модель, где все аксиомы тоже выполнены (на то и модель), но эти два утверждения не имеют места.
Ну или натуральные числа, которые можно через множества ввести, первым способом, а можно вторым, как фундаментальные объекты. Есть «числа», и есть операция plus1, которая для каждого числа указывает другое число и для всех чисел, кроме одного, есть такое, которое указывается в данное, и ещё кое-что. Дальше можно на этой основе ввести сложение, умножение и вот у нас всё есть, но на вопрос «что такое число» эта теория не отвечает! Или отвечает, вот же они, числа, делайте с ними что хотите.
Ключевое недопонимание лежит в области разграничения этих двух типов определений. Когда кто-то требует определить, что же такое точка, число, множество, жизнь, свобода, время — он хочет определение первого типа. Чтобы ему сказали «множество — это такая совокупность» (как вариант, «разнородное, мыслимое как единое»), «жизнь — способ существования белковых тел», «свобода — осознанная необходимость», «время — последовательность событий, идущая из прошлого в будущее», но всё это его не устроит, потому что тавтологично. Совокупность не понятнее, чем множество (по-итальянски insieme это «вместе», и множество тоже), ну и далее везде.
Вот что такое «демократия»? Можно определить это понятие первым способом: это такой политический строй, который (и далее много уточнений). Но можно считать его фундаментальным понятием, и определить так: это соблюдение демократических правил. Вроде как мы ничего не прояснили, сведя Х к Х же. Но нет: мы описываем демократические правила (выборы там, ветви власти, вот это вот всё, довольно занудно) и потом у нас всё получается.
Или жизнь: мы можем описать её как «* знает что, но чтобы было размножение, развитие, изменчивость, обмен со средой и реакция на неё», и в принципе мы готовы искать жизнь даже в собственном компьютере. Не факт, что найдём, но искать можно.
Вернёмся к математике. Вот что такое «мнимая единица»? Иногда можно увидеть очень забавные комментарии на тему того, что совершенно неправильно говорить, что это «корень из -1», а надо говорить, что это такое i, что его квадрат равен -1. На самом деле, и то, и другое — не определения. Первое, кстати, лучше, потому что корня из -1 у нас в вещественной области нет, и можно его так определить, как «новое число», наподобие -1, которой тоже в положительных числах нет, и потом по правилам алгебры подтянуть остальное. Второй же подход грешит тем, что i=-i.
На самом же деле, это фундаментальное понятие надо определять соответственно. Оно, конечно, «локально» фундаментальное, у нас уже кое-что есть. Мы можем определить сразу всю совокупность комплексных чисел, например, как группу матриц 2 на 2, у которых на диагонали а, а на второй диагонали b и -b. Проверив, что это множество ещё и по умножению (матриц) замкнуто, мы убеждаемся, что это поле. Подполе с b=0 изоморфно R. А матрица с а=0, b=1 внезапно в квадрате даёт то, что отождествлено с -1.
Вот она и будет мнимая единица.
Такого рода определения иногда производят мощный психологический эффект. Что такое время? А вот бывают «часы,» которые могут измерять время или там частоту, и часы эти самые разные, на разных принципах — но друг другу не противоречат, и среди них есть … эээ … вот этот будильник (или фотонные часы, например). И вот это, что они измеряют, это время и есть.
Или «что такое алгоритм»? А это натуральное число. Как так? А вот это число N, в двоичной записи это набор байт, в ASCII это текст, который мы толкуем как программу на … эээ … фортране (ошибки допускаются), которая читает с диска число и записывает на диск другое. Можно доказывать теоремы: проблема останова, невычислимые функции и числа, оценки сложности и P против NP. Но «алгоритм приготовления чая» остался за кадром. Тут уж ничего не поделаешь.
Источник: vk.com
Источник: ai-news.ru
