Математики преодолели давний барьер в изучении «минимизации поверхностей», играющей важную роль как в математике, так и в физике. Сохранить статью Прочитать позже
Гироид — это минимизирующая площадь поверхность, которая используется при проектировании материалов и доставке лекарств.
Введение
В середине XIX века бельгийский физик Жозеф Плато, занимавшийся разработкой и проведением научных экспериментов с детства, погружал проволочные петли в мыльный раствор и изучал образующиеся плёнки. Когда он сгибал проволоку в кольцо, мыльная плёнка растягивалась по ней, образуя плоский диск. Но когда он опускал в раствор два параллельных проволочных кольца, мыло растягивалось между ними, образуя фигуру в форме песочных часов — то, что математики называют катеноидом. Различные проволочные рамки создавали самые разные плёнки: одни имели форму сёдел или спиральных пандусов, другие были настолько сложными, что не поддавались описанию.
Эти мыльные плёнки, утверждал Плато, всегда должны занимать минимально возможную площадь. Математики называют их поверхностями минимизации площади.
Математикам потребовалось почти столетие, чтобы доказать его правоту. В начале 1930-х годов Джесси Дуглас и Тибор Радо независимо друг от друга показали, что ответ на «проблему Плато» — да: для любой замкнутой кривой (вашего проволочного каркаса) в трёхмерном пространстве всегда можно найти минимизирующую двумерную поверхность (вашу мыльную плёнку) с той же границей. Это доказательство впоследствии принесло Дугласу первую в истории медаль Филдса.
С тех пор математики расширили исследование задачи Плато в надежде узнать больше о минимизации поверхностей. Эти поверхности встречаются в математике и естественных науках — при доказательстве важных гипотез в геометрии и топологии, при изучении клеток и чёрных дыр и даже при конструировании биомолекул. «Это прекрасные объекты для изучения», — сказал Отис Чодош из Стэнфордского университета. «Очень естественные, привлекательные и интригующие».
Математики теперь знают, что предсказание Плато категорически верно вплоть до седьмого измерения. Но в более высоких измерениях есть нюанс: образующиеся минимизирующие поверхности могут не всегда быть гладкими и аккуратными, как диск или песочные часы. Вместо этого они могут складываться, сжиматься или пересекаться в определённых местах, образуя так называемые сингулярности. Когда минимизирующие поверхности имеют сингулярности, их становится гораздо сложнее понимать и работать с ними.
Математики, следовательно, хотят знать, насколько распространены такие негладкие минимизирующие поверхности и какими свойствами они могут обладать. Если сингулярности в данном измерении редки и возникают только при искусственно созданных обстоятельствах, то они исчезнут, если вы правильно пошевелите проволочный каркас. В результате у вас останется гладкая минимизирующая поверхность, которую будет легче изучать, что даст вам возможность глубже понять такие поверхности в данном измерении.
Мыльные пленки растягиваются внутри проволочных каркасов, образуя поверхности, минимизирующие площадь.
В 1985 году математики доказали, что в восьмимерном пространстве сингулярности действительно можно устранить. Но в высших измерениях, как сказал Чодош, «начинается настоящий ад». Анализ сингулярностей становится гораздо сложнее. Почти 40 лет никто не мог добиться существенного прогресса в решении этой проблемы.
Этот барьер наконец-то был преодолен. В 2023 году Чодош, совместно с Христосом Мантулидисом из Университета Райса и Феликсом Шульце из Уорикского университета, показал, что в измерениях девять и десять гладкие минимизирующие поверхности являются нормой. А ранее в этом году группа, к которой присоединился Чжихань Ван из Корнеллского университета, показала, что то же самое верно и для измерения одиннадцать.
Эта работа знаменует собой значительный шаг к пониманию странных типов минимизирующих поверхностей, которые могут возникать во всё более и более высоких измерениях. И теперь математики могут использовать этот результат для решения множества других математических задач, которые долгое время ограничивались восьмым измерением и ниже, что делает эти теоремы ещё более убедительными.
Уникальная история
В 1962 году математик Уэнделл Флеминг доказал, что все минимизирующие двумерные поверхности — любая возможная мыльная плёнка, которую Плато мог бы попытаться изучить — должны быть гладкими. Минимизирующих поверхностей с сингулярностями просто не существует.
Эти двумерные поверхности существуют в нашем привычном трёхмерном пространстве. Но что происходит при переходе к более высоким измерениям, где задачу становится сложнее визуализировать? Например, в четырёх измерениях аналогом нашего каркаса является двумерная поверхность, и задача Плато требует от нас найти трёхмерную форму, которая заполнит эту поверхность минимально возможным объёмом. Как может выглядеть эта форма? Насколько нам известно, сказал Брайан Уайт из Стэнфорда, «она может быть очень ужасной — фрактальной или крайне нерегулярной».
Христос Мантулидис (слева), Феликс Шульце (в центре) и Отис Чодош показали, что в измерениях девять и десять большинство минимизирующих поверхностей являются гладкими.
В годы, последовавшие за доказательством Флеминга, математики показали, что этого никогда не происходит в четырёх, пяти, шести или семи измерениях. Минимизирующие поверхности всегда гладкие. Но в 1968 году математик Джим Саймонс построил семимерную фигуру в восьми измерениях, имеющую сингулярность только в одной точке. В следующем году математики доказали, что эта фигура является минимизирующей поверхностью, тем самым установив, что минимизирующие поверхности в восьмимерном пространстве действительно могут быть сингулярными.
Тогда возник вопрос: насколько эти сингулярности на самом деле опасны? Редки они или распространены? И можно ли избавиться от них, немного изменив форму каркаса правильным образом? «Если вы хотите понять что-то о поверхности, сингулярности значительно затрудняют её анализ», — сказал Уайт. Но если сингулярности возникают редко и их можно легко устранить, получив гладкую поверхность, жизнь становится гораздо проще — можно, например, использовать инструменты математического анализа.
В 1985 году Роберт Хардт и Леон Саймон доказали, что минимизирующие поверхности в восьми измерениях обладают этим замечательным свойством, которое математики называют генерической регулярностью. Но никто не мог придумать, как адаптировать их методы, чтобы показать, существует ли оно в более высоких измерениях.
Так продолжалось десятилетиями, пока не вмешались Чодош, Мантулидис и Шульце.
В незнакомые области
Три математика хотели исследовать неизведанные многомерные миры и понять природу их минимизирующих поверхностей, подобно тому, как биолог пытается понять флору и фауну недавно открытого острова. Поэтому они решили проверить, смогут ли они избавиться от этих сингулярностей.
Катеноид (слева) и поверхность Коста являются примерами поверхностей, минимизирующих площадь.
Они начали с передоказательства результата Хардта и Саймона, полученного несколько десятилетий назад в восьми измерениях, на этот раз используя другой метод, который они надеялись проверить. Во-первых, они предположили противоположное тому, что хотели доказать: что при небольшом возмущении проволочного каркаса, определяющего поверхность, сингулярность (отдельная точка) всегда сохраняется. Каждый раз при возмущении получается новая минимизирующая поверхность, которая всё ещё имеет сингулярность. Затем можно наложить все эти минимальные поверхности друг на друга так, чтобы точки сингулярностей образовали линию.
Но это невозможно. В 1970 году математик Герберт Федерер обнаружил, что любая сингулярность на минимизирующей поверхности в n-мерном пространстве может иметь размерность не более n − 8. Это означает, что в восьми измерениях любая сингулярность должна быть нульмерной: изолированной точкой. Прямые линии не допускаются. Чодош, Мантулидис и Шульце расширили аргумент Федерера, применив его и к стопкам поверхностей в восьми измерениях. Однако в своём доказательстве они получили стопку поверхностей с такой же прямой. Противоречие показало, что их исходное предположение было ложным, то есть, можно возмущением проволочного каркаса избавиться от сингулярности.
Теперь они были готовы взяться за решение этой задачи в девяти измерениях. Они начали доказательство тем же способом: предположили худшее, провели ряд возмущений и в итоге получили бесконечный набор минимизирующих поверхностей, каждая из которых имела сингулярности. Затем они ввели новый инструмент, называемый функцией разделения, которая измеряет расстояние между этими сингулярностями. Если никакое возмущение не может повлиять на сингулярность, то эта функция разделения всегда должна оставаться малой. Однако троице удалось показать, что иногда функция может стать большой: некоторые возмущения могут привести к исчезновению сингулярности.
Математики доказали общую закономерность минимизации поверхностей в девятимерном измерении. Они смогли использовать тот же аргумент в десятимерном измерении, но в одиннадцатимерном измерении работать с сингулярностями становится ещё сложнее. Их методы не работали для определённого типа трёхмерных сингулярностей. «Существует целый зоопарк типов сингулярностей», — сказал Мантулидис. «Любой успешный аргумент должен быть достаточно широким, чтобы охватить их все».
Команда решила сотрудничать с Чжиханом Ваном, который тщательно изучал подобные сингулярности. Вместе они доработали свою функцию разделения, чтобы она работала и в этом случае. Им удалось решить задачу в 11-м измерении.
«Тот факт, что они расширили [наше понимание] на несколько измерений, действительно фантастичен», — сказал Уайт.
Но им, вероятно, придётся найти другой подход для работы с более высокими измерениями. «Нам нужен новый ингредиент», — сказал Шульце.
Тем временем математики ожидают, что новый результат поможет им продвинуться в решении других задач математики и физики. Доказательства многих гипотез в геометрии и топологии, например, о существовании и поведении фигур с определёнными свойствами кривизны, основаны на гладкости минимизирующих поверхностей. В результате эти гипотезы были доказаны только до размерности восемь. Теперь многие из них можно распространить на размерности девять, десять и одиннадцать.
То же самое верно и для важного утверждения общей теории относительности, называемого теоремой о положительной массе, которая, грубо говоря, утверждает, что полная энергия Вселенной должна быть положительной. В 1970-х годах Ричард Шён и Шин-Тун Яу использовали минимизирующие поверхности для доказательства этого утверждения в измерениях семь и ниже. В 2017 году они распространили свой результат на все измерения. Теперь, последний прогресс в решении проблемы Плато предлагает новый способ подтверждения теоремы о положительной массе в измерениях девять, десять и одиннадцать. «Они предлагают другой, более интуитивный способ сделать это расширение», — сказал Уайт. «Разные доказательства дают разные результаты».
Работа также может иметь множество непредвиденных последствий. Задача Плато использовалась для изучения множества других вопросов, включая вопрос о таянии льда. Математики надеются, что новые методы, разработанные группой, помогут углубить их понимание этих взаимосвязей.
Что касается самой проблемы Плато, то теперь есть два пути развития: либо математики продолжат доказывать общую закономерность во всё более и более высоких измерениях, либо обнаружат, что за пределами 11-го измерения избавиться от сингулярностей уже невозможно. Это было бы «тоже своего рода чудом», — сказал Шульце, — ещё одной загадкой, которую ещё предстоит разгадать. «В любом случае, это было бы очень интересно».
Примечание редактора: Джим Саймонс основал Фонд Саймонса, который также финансирует этот независимо в редакционном отношении журнал. Деятельность Фонда Саймонса не влияет на наше освещение событий.
Источник: www.quantamagazine.org
