Новое доказательство упрощает математику плавления

Мощный математический метод используется для моделирования таяния льда и других явлений. Но он долгое время подвергался угрозе из-за некоторых «кошмарных сценариев». Новое доказательство устраняет это препятствие. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже

Введение

Представьте себе кубик льда, плавающий в стакане воды. В конце концов, он растает, превратившись в крошечную замёрзшую крупинку, прежде чем исчезнуть. По мере уменьшения его объёма его поверхность становится более гладкой, а любые неровности и острые края постепенно исчезают. Математики хотят понять этот процесс более подробно, чтобы точно определить, как со временем меняется поверхность льда — или, скажем, форма постепенно разрушающегося песчаного замка.

Чтобы проанализировать это явление, они изучают, как более абстрактные математические поверхности и формы эволюционируют в соответствии с определённым набором правил. Этот набор правил определяет процесс, называемый потоком средней кривизны, который одновременно сглаживает поверхность — даже очень неровную — и сжимает её.

Но по мере эволюции поверхности могут образовываться сингулярности: точки, где наши математические описания перестают работать. Поверхность может резко выдаваться вперёд или сужаться до точки, где кривизна «взрывается» до бесконечности. Многие распространённые типы поверхностей, например, замкнутые, например, сферические, гарантированно демонстрируют сингулярности при течении средней кривизны.

Если эти сингулярности слишком сложны, продолжение течения становится невозможным.

Математики хотят быть уверены, что даже после образования сингулярности они смогут анализировать дальнейшее развитие поверхности. В 1995 году математик Том Ильманен, ныне работающий в Швейцарском федеральном технологическом институте Цюриха, выдвинул гипотезу «кратности-единицы». Она утверждала, что любые сингулярности, образующиеся в процессе течения средней кривизны, должны быть относительно простыми. «Плохое» поведение должно ограничиваться отдельными точками: например, никогда не следует видеть несколько областей (как одной, так и разных поверхностей), наложенных друг на друга.

Если гипотеза о кратности один верна, это подтверждает, что сингулярности не являются препятствием для потока средней кривизны. Если сингулярность появляется, поток может продолжаться, что позволяет математикам оценивать эволюцию поверхности.

За последние несколько десятилетий математики добились значительных успехов в описании поведения поверхностей при их движении в потоке средней кривизны. «Но многие из достигнутых до сих пор результатов зависели от истинности гипотезы кратности один», — сказал Ричард Бамлер, математик из Калифорнийского университета в Беркли. «Так или иначе, главным камнем преткновения всегда была гипотеза кратности один».

Теперь он и Брюс Кляйнер из Нью-Йоркского университета наконец доказали, что эта гипотеза на самом деле верна.

«Это большой прорыв», — сказал Брайан Уайт из Стэнфордского университета. Эта работа не только позволяет математикам лучше понять поток средней кривизны, но и может найти важные приложения в геометрии и топологии.

Поток на полном газу

Понятие потока средней кривизны было введено в 1950-х годах для объяснения различных явлений, происходящих в металлах при их охлаждении. В 1978 году Кеннет Бракке, ныне почётный профессор Университета Саскуэханна в Пенсильвании, формализовал это понятие математически. Его модель в конечном итоге дала более общее математическое описание, которое можно было применять также к абстрактным поверхностям и формам любой размерности.

Гипотеза о кратности один касается замкнутых двумерных поверхностей, таких как сферы или пончики, которые находятся в трёхмерном пространстве. В любой точке такой поверхности можно вычислить её кривизну в заданном направлении — меру того, насколько быстро поверхность изгибается в этом направлении. Существует бесконечно много направлений, которые можно рассмотреть. Но математикам часто достаточно рассматривать только направления, дающие наибольшее и наименьшее значения кривизны. Затем они вычисляют среднее значение этих двух чисел. Это среднее значение называется средней кривизной, и оно может дать много полезной информации о поверхности в этой точке.

Поток средней кривизны использует эту информацию для максимально быстрого и эффективного уменьшения площади поверхности. При течении средней кривизны каждая точка поверхности движется со скоростью, равной её средней кривизне, и в направлении, перпендикулярном её «касательной» плоскости – двумерной плоскости, наилучшим образом аппроксимирующей поверхность в этой точке. (Существует два таких перпендикулярных направления: одно направлено внутрь, другое – наружу. Если поверхность в этой точке выгнута наружу, то поток движется внутрь. Если же поверхность искривлена внутрь, то поток направлен наружу.)

Возьмём сферу. Поток средней кривизны будет сжимать её к центру всё быстрее и быстрее. (Это происходит потому, что по мере сжатия сферы средняя кривизна в каждой точке увеличивается: сферы меньшего размера изгибаются сильнее, чем сферы большего размера.) В конце концов, останется только одна точка, где когда-то был центр сферы.

Теперь предположим, что ваша поверхность представляет собой частично вмятую сферу, например, футбольный мяч, вдавленный в определённые места. При течении жидкости со средней кривизной вмятины будут выталкиваться наружу, в то время как остальная часть поверхности будет сжиматься. Она будет всё больше походить на идеальную сферу, а затем сожмётся в точку.

Тот же процесс превращает цилиндр в линию, а пончик — в круг. Но как насчёт более сложных форм, например, штанги, ручка которой сужается в центре? При течении со средней кривизной самое тонкое место на ручке сожмётся в точку, создав сингулярность. Эта сингулярность будет напоминать «точку защемления», где мыльный пузырь отделяется от пластиковой палочки или капля воды отрывается от крана. В этой точке защемления поверхность штанги перестаёт быть гладкой, и кривизна становится бесконечно большой.

Это проблема. В уравнение для потока средней кривизны нельзя включить бесконечность. Уравнение перестанет быть верным; оно больше не сможет предсказывать будущую эволюцию поверхности. Но если убрать сингулярность, то получим два отдельных участка каплевидной формы. Теперь можно продолжить изучение того, как поток средней кривизны повлияет на эти участки. Постепенно они будут становиться более гладкими и округлыми, почти превращаясь в идеальные сферы, прежде чем сжаться до двух отдельных точек.

Для любой замкнутой компактной поверхности, то есть поверхности конечного диаметра, имеющей чётко выраженные внутреннюю и внешнюю части, поток средней кривизны неизбежно приведёт к сингулярности. (Для простой сферы эта сингулярность — конечная точка, к которой сжимается поверхность.) «У нас есть поток, который должен упрощать поверхности, но мы знаем, что поток всегда становится сингулярным», — сказал Бэмлер. «Поэтому, если мы хотим понять, что делает поток, нам нужно понять, как он формирует сингулярность».

Вот тут-то и появляется гипотеза кратности один.

Разделение — ключ к успеху

Простые сингулярности, такие как точки защемления, можно устранить простым способом, что позволит потоку средней кривизны беспрепятственно двигаться. Но если сингулярность более сложная — например, если два слоя внутри поверхности сходятся, перекрывая всю область, а не только одну точку, — это невозможно. В таких случаях, сказал Бэмлер, «мы не знаем, как ведёт себя поток».

Ильманен сформулировал свою гипотезу, чтобы исключить эти проблемные ситуации. Спустя десятилетия Бамлер и Кляйнер решили доказать его правоту.

Для этого они представили необычную форму — то, что Кляйнер назвал «злым катеноидом». Она состоит из двух сфер, одна внутри другой, соединённых небольшим цилиндром, или шейкой, образуя единую поверхность. Кляйнер отметил, что если шейка будет сжиматься так быстро, что притянет две сферические области друг к другу, это будет «кошмарным сценарием». Чтобы исключить этот сценарий, он и Бамлер хотели понять, как эти две области будут взаимодействовать друг с другом и как расстояние между ними будет меняться со временем.

Итак, два математика разбили фигуру на отдельные строительные блоки — области, которые при увеличении выглядели как параллельные листы, и особые области, называемые минимальными поверхностями (имеющие нулевую среднюю кривизну и, следовательно, не движущиеся при течении средней кривизны). Затем они определили функцию для измерения расстояния от любой заданной точки поверхности до ближайшей точки в соседней области.

Они нашли способ проанализировать, как эта «функция разделения» меняется со временем, и доказали, что она никогда не обращается в ноль. Это означало, что этот кошмарный сценарий никогда не сможет осуществиться.

Математики могли бы легко применить этот метод к замкнутым поверхностям, состоящим из тех же типов строительных блоков. Но «общая [замкнутая] поверхность может выглядеть очень сложной в определённых областях», — сказал Бамлер, — настолько сложной, что «это могло бы помешать нам контролировать течение». Затем он и Кляйнер показали, что эти проблемные области должны быть очень малы. «Она лишь минимально влияет на течение в целом», — сказал Бамлер. «Поэтому мы можем её, по сути, игнорировать».

Функция разделения никогда не обратится в ноль со временем, какой бы сложной или странной ни была поверхность. Другими словами, соседние области никогда не могут сблизиться, и сложные сингулярности не могут возникнуть. Гипотеза Ильманена верна.

Фактически, Бамлер и Кляйнер показали, что поток средней кривизны почти всегда приводит к одному из двух типов особенно простых сингулярностей: сферам, сжимающимся в точку, или цилиндрам, сжимающимся в линию. «Любые другие типы сингулярностей встречаются только в редких, весьма специфических случаях, — сказал Бамлер, — где сингулярности настолько нестабильны, что даже малейшее возмущение устранит их».

С подтверждением гипотезы о кратности 1 «мы теперь, по сути, имеем полное понимание потока средней кривизны поверхностей в трёхмерных пространствах», — сказал Отис Чодош из Стэнфорда. Он добавил, что эти знания могут найти серьёзное применение в геометрии и топологии, особенно если математикам удастся доказать эту гипотезу для трёхмерных поверхностей, существующих в четырёхмерном пространстве. (Бамлер и Кляйнер уже начинают изучать этот следующий случай, хотя, по их словам, им потребуется найти подход, отличный от того, который они использовали для двумерных поверхностей.)

Чодош добавил, что доказательство уже сейчас может позволить математикам использовать поток средней кривизны для повторного доказательства важной проблемы симметрии сфер, известной как гипотеза Смейла. Предыдущие доказательства этой гипотезы были довольно сложными, отметил Бэмлер. Доказательство, использующее поток средней кривизны, может быть более простым для понимания.

Связанный процесс, известный как поток Риччи, уже использовался для доказательства важных гипотез, включая знаменитую гипотезу Пуанкаре (ещё одно утверждение о сферах). Математики надеются, что работа Бамлера и Кляйнера о потоке средней кривизны поможет ему стать столь же мощным методом. «Бамлер и Кляйнер значительно продвинулись в понимании сингулярностей, лежащих в основе потока средней кривизны», — сказал Уайт. «Это определённо открывает возможность использовать его в качестве инструмента… для самых разных удивительных вещей».

Источник: www.quantamagazine.org