Турбулентность — явление, которое, как известно, трудно изучать. Математики сейчас начинают распутывать его в самых малых масштабах. Комментарий Сохранить статью Прочитать позже
По поверхности мыльного пузыря дрейфуют турбулентные вихри и завитки.
Введение
Днем 30 сентября 1906 года толпа из 200 000 парижан собралась недалеко от центра города, чтобы посмотреть премьеру того, что станет самой престижной в мире гонкой на газовых шарах. Шестнадцать величайших ныне живущих воздухоплавателей из семи стран намеревались пролететь как можно дальше перед приземлением, имея в своем распоряжении только клапан выпуска водорода для управления своим аппаратом.
Когда желтые и янтарные шары, каждый высотой более 50 футов, взлетели в воздух, погода не могла быть спокойнее. Но после того, как солнце зашло и зрители разошлись, ветер изменился, яростно разбросав шары вокруг Нормандии и через Ла-Манш в Англию.
Аэронавты невольно участвовали в эксперименте, который изменил ход математической физики. Почти два десятилетия спустя ученый-квакер по имени Льюис Фрай Ричардсон наткнулся на таблицу мест их приземления в The Aeronautical Journal, изучая влияние турбулентной погоды. Он изобразил данные с воздушного шара в виде графика вместе с собранными им самим данными о перемещении пепла после извержения вулкана и траекториями семян одуванчика, разносимых ветром.
В каждом случае он наблюдал одну и ту же картину: турбулентное завихрение земной атмосферы, как в больших, так и в малых масштабах, рассеивало объекты с потрясающей эффективностью. Ричардсон продолжил писать общий закон о том, как работает этот процесс, который математики все еще пытаются доказать более 100 лет спустя.
Турбулентность — одна из величайших загадок современной науки. Уравнения, моделирующие потоки жидкостей — от рек до воздушных потоков — появились два столетия назад, и они хорошо работают, когда жидкость движется плавно. Но когда поток становится турбулентным, жидкость разделяется на вихри и водовороты, которые, в свою очередь, образуют более мелкие завихрения. Эта закономерность продолжается во все меньших и меньших масштабах, пока столкновения молекул в конечном итоге не предотвратят образование вихрей. Все эти завихрения разного размера влияют друг на друга, что делает невозможным использование уравнений для моделирования поведения жидкости. Мы просто не можем знать, что данная частица в жидкости — или, скажем, резиновая уточка, брошенная в бурную реку — сделает дальше.
Собирая данные и моделируя жидкости на компьютерах, физики смогли вывести некоторые качества турбулентности. Но математики часто не могут доказать эти утверждения. Математическая тайна турбулентности лежит в основе задачи Millennium Prize Problem стоимостью 1 миллион долларов, одной из величайших математических задач.
Целью Кубка Гордона Беннета является запуск газового баллона как можно дальше от места старта. Гонка 1908 года, показанная здесь, началась в Берлине.
Ричардсон сформулировал еще одно утверждение о турбулентности. Он выдвинул гипотезу, что если бросить в реку двух резиновых уток, то их будет уносить все дальше и дальше друг от друга гораздо быстрее, чем можно было бы ожидать. Что-то во взаимодействии всех этих завитков и водоворотов даст уткам особый импульс.
Сегодня это усиленное рассеяние, известное как супердиффузия, рассматривается как отличительный признак турбулентности. Но до недавнего времени оно не было строго доказано — даже в сильно упрощенных моделях жидкостей.
Это наконец изменилось в прошлом году. Впервые три математика доказали, что частицы, брошенные в упрощенную турбулентную жидкость, действительно демонстрируют супердиффузию: они распространяются предсказуемым, но аномально быстрым образом.
«Я думаю, это станет одним из самых важных открытий для математики турбулентности», — сказал Влад Викол, математик из Института Куранта Нью-Йоркского университета, не принимавший участия в работе.
Но для Скотта Армстронга, математика из Института Куранта и одного из авторов новой статьи, результат — это нечто большее, чем просто турбулентность. В течение последнего десятилетия он проповедовал потенциал таинственной математической техники. Он непреклонен в том, что она гораздо мощнее, чем осознают математики — утверждение, которое было встречено скептически многими его коллегами. Теперь, применив технику для борьбы с турбулентностью, он надеется начать менять умы.
Фокус-Покус
Армстронг не ожидал, что его исследования будут связаны с турбулентностью. «Десять лет назад я не знал, что такое турбулентность», — сказал он. «Я наткнулся на турбулентность после изучения очень малоизвестной проблемы».
Он анализировал упрощенную модель металлического материала, используя математическую процедуру, называемую гомогенизацией. В правильном сценарии гомогенизация позволяет доказать, что система, которая кажется сложной и шумной в малых масштабах, на самом деле демонстрирует простое поведение в больших масштабах. По сути, это набор аргументов, показывающих, как мелкомасштабный шум усредняется на больших расстояниях.
На протяжении десятилетия Скотт Армстронг продвигал математический метод, который он надеется применить к широкому кругу задач.
Но гомогенизация обычно работает только при очень строгих предположениях. Мелкомасштабный шум должен находиться в определенных границах — он не может быть слишком экстремальным. Это ограничивает полезность гомогенизации: математики применяют ее только для анализа простейших представлений физических систем.
Однако Армстронг увидел красоту и потенциал в гомогенизации, которые не увидели другие. Он считал, что если отточить технику, ее можно будет использовать в гораздо более шумных условиях, которые будут ближе к реальности. «Я всегда думал, что в конечном итоге эта штука должна применяться ко многим проблемам», — сказал он. «Что это будет важной идеей, если я когда-нибудь смогу заставить ее действительно работать».
Но сначала ему нужен был тестовый случай. Он хотел использовать гомогенизацию, чтобы доказать то, с чем никто не считал, что она может справиться — проблема, которая волновала математических физиков.
Вот тут-то и возникла турбулентность.
Ричардсон выдвинул гипотезу, что в турбулентной жидкости энергия, переносимая самыми большими вихрями, питает немного меньшие, и так далее до самого малого масштаба, где энергия превращается в тепло за счет трения между молекулами жидкости. Он обобщил эту идею в рифме: «У больших вихрей есть маленькие вихри, которые питаются их скоростью, а у маленьких вихрей есть меньшие вихри и так далее до вязкости».
Этот процесс, предположил Ричардсон, должен был привести к увеличению расстояния между двумя утками, брошенными в реку, в соответствии с простым уравнением, которое повсеместно встречается в классической физике и называется диффузией. Только в этом случае каскад энергии от больших вихрей к меньшим увеличит скорость этого роста — так что в турбулентной жидкости утки продемонстрируют то, что позже назовут супердиффузией.
Но, как и в случае со многими турбулентными явлениями, математики не смогли это доказать.
Нажимая кнопку просмотра этого видео, вы соглашаетесь с нашей политикой конфиденциальности.Видео : Физики используют уравнения Навье-Стокса для описания потоков жидкости, принимая во внимание вязкость, скорость, давление и плотность. Но из-за турбулентности в жидкостях доказательство того, что уравнения всегда имеют смысл, является одной из самых сложных проблем в физике и математике.
Итак, в конце 1980-х годов группа физиков упростила сценарий. Они создали упрощенную модель идеализированной турбулентной жидкости. Эта жидкость все еще демонстрировала характерные вихри и завихрения турбулентности, но она управлялась гораздо более простыми уравнениями. Затем команда задала тот же вопрос, что и Ричардсон: если бы они бросили твердые частицы (или уток) в эту воображаемую жидкость, как быстро они бы разошлись?
Исследователи предположили, как и Ричардсон, что частицы будут демонстрировать супердиффузию, хотя и с другой скоростью, чем в реальных жидкостях. Они определили эту скорость, используя метод из физики, называемый перенормировкой. Но перенормировка, как известно, не имеет строгости — известный физик Ричард Фейнман назвал ее «фокус-покусом» — хотя она часто дает правильный ответ. Математикам удалось сделать перенормировку строгой только в нескольких ситуациях, сказал Джереми Квастель из Университета Торонто. «Проблема в том, что это очень расплывчатая идея», — сказал он.
Итак, хотя математики смогли доказать другие утверждения о том, как распространяются частицы в идеализированной физиками жидкости, они не смогли доказать свою гипотезу о супердиффузии. Десятилетиями казалось, что у любого, кто изучает турбулентность, есть выбор — либо использовать неопределенные, неопределенные аргументы, чтобы делать сильные предположения, как это сделала команда физиков, либо придерживаться строгой математики и доказывать вещи, которые лишь немного менее значимы.
Если только, думал Армстронг, ему не удастся добиться гомогенизации, которая подведет объяснение физиков с помощью перенормировки под более прочную математическую основу.
Шаг за шагом
Чтобы показать, что частицы в турбулентной жидкости будут распространяться с достаточно высокой скоростью, получая дополнительный приток энергии от взаимодействия вихрей жидкости, Армстронгу сначала нужно было лучше понять, как выглядит это распространение.
Именно здесь он надеялся ввести гомогенизацию: показать, что в более крупных масштабах аспекты поведения жидкости можно описать простыми уравнениями, которые, в свою очередь, сообщат ему скорость диффузии частиц. У других математиков были свои сомнения. Исследователи ранее пытались использовать гомогенизацию для решения проблем, связанных с турбулентностью, но они никогда не продвигались слишком далеко. Поэтому, когда Армстронг упомянул о своей цели, он вспомнил, «они сказали, что я не могу этого доказать».
Но он не сдался. Он объединился со своим давним коллегой Туомо Кууси, математиком из Хельсинкского университета — «Я почти женат на нем. Я имею в виду, как вы описываете своего лучшего друга?» — сказал Армстронг — вместе с Ахмедом Бу-Раби, его научным сотрудником в Courant. Три математика намеревались укрепить гомогенизацию, чтобы она действовала как строгая версия исходного аргумента перенормировки.
Недавно Туомо Кууси помог доказать, что частицы, падающие в упрощенную турбулентную жидкость, проявляют свойство, называемое супердиффузией.
Они начали с того, что представили очень мелкую сетку, наложенную на их жидкость. Затем они вычислили, сколько времени частицы в среднем проводили в каждом квадрате сетки. В некоторых квадратах жидкость вела себя как стремительная река: частицы имели тенденцию нестись прямо через квадрат, проводя там лишь короткий промежуток времени. В других квадратах небольшие водовороты могли толкать частицы, замедляя их.
Проблема заключалась в том, что числа, которые вычисляли математики, могли существенно отличаться от квадрата к квадрату, что раскрывало именно тот тип мелкомасштабного беспорядка, который обычно мешал математикам использовать гомогенизацию.
Армстронгу, Бу-Раби и Кууси нужно было найти способ обойти это ограничение.
Упорядочение беспорядка
Математики надеялись показать, что в немного больших масштабах, чем тот, который запечатлела их сетка, поведение жидкости будет немного менее шумным и беспорядочным. Если бы им это удалось, они смогли бы использовать типичные методы гомогенизации, чтобы понять, что происходит в самых больших масштабах.
Но другие математики считали, что даже если им удастся проанализировать эти промежуточные малые масштабы, жидкость будет выглядеть только более шумной. Прежде чем все станет более гладким, вихри сначала сольются и будут взаимодействовать еще более сложными способами. Попытка доказать обратное будет бесполезной затеей.
Команда решила попробовать в любом случае. Они начали с рисования немного более грубой сетки, в которой каждый квадрат охватывал несколько квадратов из исходной. Более мелкие вихри, которые жили в отдельных квадратах исходной сетки, теперь могли группироваться вместе, изменяя среднее количество времени, которое частица провела в новом квадрате. Или могли возникнуть более сложные поведения.
Команда снова вычислила, как долго частицы оставались в каждом квадрате и насколько могли отличаться числа, связанные с соседними квадратами. Это потребовало кропотливых усилий: им пришлось отслеживать, как изменится поведение жидкости в каждом квадрате, и как это изменит вероятное движение частицы. Затем они показали, что в этой более грубой сетке соседние числа, как правило, отличаются на меньшую величину.
Они делали это для все более и более грубых сеток, пока не показали, что в большем — хотя все еще относительно небольшом — масштабе жидкость выглядит достаточно хорошо, чтобы использовать типичную гомогенизацию. «Вам нужно проделать эту процедуру, которая сама по себе была совершенно новой, бесконечно много раз», — сказал Викол. «Тот факт, что они смогли это сделать, был, с точки зрения математики, действительно безумным». Это потребовало более 300 страниц расчетов и доказательств и заняло у математиков почти два года.
«Это был очень интенсивный опыт», — сказал Бу-Раби. «Было много субботних утр, когда мы просыпались в 6 утра и шли в офис на работу, а затем повторяли это на следующий день».
Но как только они смогли применить обычный набор методов гомогенизации, у них появилось достаточно информации о жидкости в больших масштабах, чтобы знать, что две твердые частицы, упавшие в нее, распространятся в соответствии с уравнением диффузии. Затем трио оценило скорость этой диффузии и обнаружило, что это было именно то, что физики предположили десятилетиями ранее.
Они доказали гипотезу супердиффузии.
Долгий взгляд
Результат, который математики разделили на две разные статьи, дает первое строгое математическое понимание особенности турбулентных жидкостей: того, как они распространяют частицы с захватывающей дух эффективностью. Это первое доказательство явления, которое Ричардсон наблюдал столетие назад в распределении любителей воздушных шаров по всей Европе. «Вы не так часто получаете такие окончательные результаты», — сказал Квастель. «Я весьма впечатлен — многие люди весьма впечатлены».
Армстронг, со своей стороны, рассматривает эту работу как подтверждение своих амбиций по гомогенизации. «Никто не ожидал, что мы скоро сойдём со своей полосы», — сказал он. «Поэтому идея о том, что мы придём и начнём решать проблемы в других областях, используя эти методы, не имела никаких признаков».
Антти Купиайнен, математик из Хельсинкского университета, согласился. «Я думаю, что еще важнее то, что у них есть новый метод, новый способ подхода к этим проблемам», — сказал он. В реальной турбулентности — которую упрощенная жидкость из гипотезы моделировала только в самом грубом смысле — масштабы взаимодействуют сильнее и сложнее, что приводит к более экстремальному супердиффузионному поведению. Возможно, метод Армстронга, Бу-Раби и Кууси может помочь исследователям отсечь связанные вопросы для более реалистичных моделей турбулентности, а также другие проблемы.
В конце концов, перенормировка используется во всей физике, чтобы понять системы, которые демонстрируют разное поведение в разных масштабах. Армстронг надеется, что его методы можно будет адаптировать для доказательства утверждений в некоторых из этих контекстов, включая физику элементарных частиц, область исследований, где перенормировка была впервые разработана.
«Я чувствую, что сейчас так много открытых возможностей», — сказал Кууси. «Я думаю, что это последний раз, когда это произойдет со мной в жизни, и сейчас я собираюсь наслаждаться поездкой».
Источник: www.quantamagazine.org
